Seja F e F0 figuras, do plano ou do espa¸co, e r um n´umero real positivo. Diz-se que F e F0 s˜ao semelhantes, com raz˜ao de semelhan¸ca r, quando existe uma correspondˆencia biun´ıvoca σ : F → F0, entre os pontos de F e os pontos de F0, com a seguinte propriedades:
Se X, Y s˜ao pontos quaisquer de F e X0 = σ(X), Y0 = σ(Y ) s˜ao seus correspon- destes em F0 ent˜ao X0Y0 = r . XY .
A correspondˆencia biun´ıvoca σ : F → F0, com esta propriedade de multiplicar as distˆancia pelo fator constante r, chama-se uma semelhan¸ca de raz˜ao r entre F e F0. Se X0 = σ(X) diz-se que os pontos X e X0 s˜ao hom´ologos.
Evidentemente, toda figura ´e semelhante a si pr´opria, pois a fun¸c˜ao identidade σ : F → F0 ´e uma semelhan¸ca de raz˜ao 1. Isto ´e, semelhan¸ca entre figuras possui a propriedade reflexiva.
Tamb´em, se F ´e semelhante a F0, ent˜ao F ´e semelhante a F pois, dada uma semelhan¸ca σ : F → F0 de raz˜ao r, a fun¸c˜ao inversa σ−1 : F → F0 ´e uma semelhan¸ca de raz˜ao 1/r
Figura 5.10: Elaborado pelo autor
semelhante a F00, ent˜ao F ´e semelhante a F00. Com efeito, se σ : F → F0 e σ : F0 → F0
s˜ao semelhan¸cas de raz˜oes r e r0 respectivamente, ent˜ao a fun¸c˜ao composta σ · σ : F0 → F00 ´e uma semelhan¸ca de raz˜ao r.r0 .
Uma semelhan¸ca de raz˜ao 1 chama-se uma isometria. Portanto, uma isometria σ : F0 → F0 ´e uma correspondˆencia biun´ıvoca tal que para quaisquer pontos X, Y , a
distˆancia de X0 = σ(X) a Y0 = σ(Y ) ´e igual `a distˆancia de XaY .
Quando existe uma isometria entre as figuras F e F0, dizemos que F e F0 s˜ao congruentes.
Exemplo 5.2. Um exemplo simples de figuras semelhantes ´e dado por dois segmentos de retas arbitr´arias AB e CD. Se CD = r · AB, podemos definir uma semelhan¸ca σ : AB → CD de raz˜ao r. Fazendo corresponder a cada ponto X do segmento AB o ponto A0 de CD tal que CX0 = r · AX.
Para mostrar que σ ´e realmente uma semelhan¸ca, tomemos arbitrariamente os pontos X, Y em AB. Suponhamos a nota¸c˜ao escolhida de modo que X esteja A e Y . Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de σ, segue-se que X0 est´a entre C e Y0. Logo,
X0Y0 = CY0− CX0 = r · AY − r · AX = r · (AY − AX) = r · XY
Exemplo 5.3. Outro exemplo simples de semelhan¸ca pode ser dado mostrando-se que duas semi-retas quaisquer S e S0 s˜ao figuras semelhantes. Como efeito, seja O e O0 as origens de S e S0 respectivamente. Dado qualquer n´umero positivo r, definiremos uma semelhan¸ca σ : S → S0, de raz˜ao r, fazendo corresponder a cada pontos X em S o ponto X0 = σ(X)emS0 tal que O0X0 = r · OX. A verifica¸c˜ao de que σ ´e uma
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 52
Figura 5.11: Elaborado pelo autor
Propriedades das Semelhan¸cas.
Lema 5.1. Toda semelhan¸ca transforma pontos colineares em pontos colineares. Demonstra¸c˜ao:
Seja σ : F → F0 uma semelhan¸ca de raz˜ao r. Dados trˆes pontos A, B, C em F tais que C pertence ao segmento de reta AB, mostraremos que C0 = σ(C) pertence ao segmento A0B0, onde A0 = σ(A)eB0 = σ(B). Com efeito, temos AC + CB = AB. Logo,
A0C0 + C0B0 = r · CB = r · (AC + CB) = r · AB = A0B0
e da´ı conclu´ımos que C0 pertence a A0B0.
Figura 5.12: Elaborado pelo autor
1)Todo segmento de reta contido em F num segmento de reta contido em F0 2) Um c´ırculo de raio α contido em F num c´ırculo de raio r · α contido em F0 3) Pontos interiores de F em pontos interiores de F0
4) Pontos do contorno de F em pontos do contorno de F0. 5) V´ertices de F em v´ertices de F0 (se F e F0 forem pol´ıgonos). Demonstra¸c˜ao:
1) Dado o segmento de reta AB contido em F , seja A0 = σ(A) e B0 = σ(B). Para todo ponto C em AB, seu hom´ologo C0 = σ(C) pertence a A0B0 em virtude do lema 5.1. Reciprocamente, dado qualquer ponto C0 em A0B0, temos C0 = σ(C), onde C = σ−1(C0). Como σ−1 ´e uma semelhan¸ca, segue-se do lema 5.1 que C pertence a AB. Assim, a semelhan¸ca σ estabelece uma correspondˆencia biun´ıvoca entre os pontos dos segmentos de reta AB e A0B0.
2) O c´ırculo de centro O e raio α, suposto contido em F , ´e a reuni˜ao dos seg- mentos de reta OX tais que OX = α. Sua imagem por σ ´e a reuni˜ao dos segmentos O0X0, como O0X0, com O0 = σ(O), tais que O0X0 = r · α, portanto ´e o c´ırculo de
centro O0 e raio r · α.
Figura 5.13: Elaborado pelo autor
3) Um ponto X dize-se interior `a figura F quando ´e centro de algum c´ırculo inteiramente contido em F . Seu hom´ologo X0 = σ(X) ´e, pelo que vimos acima, o centro de um c´ırculo de raio r · α contido em F0. Portanto, X0 ´e ponto interior a F0.
4) Diz-se que um ponto X pertence ao contorno da figura F quando X pertence a F mas n˜ao ´e ponto interior de F , ou seja, nenhum c´ırculo de centro X pode estar inteiramente contido em F . Neste caso, X0 = σ(X) deve pertencer ao contorno de
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 54 F0; pois, se X0 estivesse no interior de F0 ent˜ao, em virtude de 3), Xσ−1(X0) tamb´em estaria no interior de F .
5) Suponhamos agora que F e F0 sejam pol´ıgonos e que X seja um v´ertice de F . Em particular, X est´a no contorno de F logo, por 4), seu hom´ologo X0 = σ(X) est´a no contorno de F0. Se n˜ao fosse v´ertice, o ponto X0 pertenceria ao lado A0B0 de F0, sendo diferente de A0 = σ(A) e de B0 = σ(B). Ent˜ao X n˜ao seria v´ertice do lado AB de F , como X 6= A e X 6= B, logo X n˜ao seria v´ertice de F .
Se σ : F −→ F0 ´e uma semelhan¸ca que transforma o segmento de reta AB, contido em F , no segmento A0B0, contido em F0, ent˜ao estes segmentos se dizem hom´ologos.
5.4
Congruˆencia
Defini¸c˜ao 5.2.
1. Dois segmentos s˜ao congruentes se possuem a mesma medida ou compri- mento.
2. Dois ˆangulos s˜ao congruentes quando possuem a mesma medida.
3. De modo intuitivo, duas figuras planas s˜ao congruentes se uma delas puder ser deslocada, sem que sejam modificadas sua forma e suas medidas, at´e que passe a coincidir com a outra. Se duas figuras F1 e F2 forem congruentes, isso ser´a denotado
por F1 ∼= F2.
As duas figuras abaixo s˜ao exemplos de figuras congruentes.
Figura 5.14: Elaborado pelo autor
Duas circunferˆencias que possuem raios diferentes s˜ao exemplos de figuras n˜ao congruentes
Pode-se observar, dessa forma, que a congruˆencia entre figuras planas satisfaz as propriedades: reflexiva, sim´etrica e transitiva.
5.5
Isometrias
No estudo dos conceitos de isometria abordaremos alguns conceitos sobre trans- forma¸c˜ao no plano no qual desenvolveremos solu¸c˜oes para determinadas situa¸c˜oes geom´etricas. Consideremos o problema a seguir.
Problema A: O retˆangulo ABCD representa uma mesa de bilhar, e os pontos P e Q ,representam duas bolas. Desenhar a trajet´oria da bola P , que deve atingir a bola Q depois de choca-se sucessivamente e ordenadamente com os lados AD, AB, CD e BC. Lembrando que essa trajet´oria ´e o menor caminho por ela percorrido.
Figura 5.15: Elaborado pelo autor
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 56
Transforma¸c˜oes no Plano
Defini¸c˜ao 5.3. Definimos uma Transforma¸c˜ao T no plano Π como uma fun¸c˜ao bijetora T : Π → Π, isto ´e, um fun¸c˜ao tal que:
a) A ponto distintos P e Q de Π, T associa imagens T (P ) e T (Q) de Π; b) Para cada ponto Y de Π, existe um ´unico ponto X em Π tal que Y = T (X). Seja F uma figura contida em Π. A imagem de F pela transforma¸c˜ao T ´e definida como T (F ) = {T (P )|P ∈ F }.
Defini¸c˜ao 5.4. Isometrias s˜ao transforma¸c˜oes no plano que preservam distˆancias. Isto ´e, se T : Π → Π ´e uma isometria, para qualquer par de pontos A e B de Π vale a rela¸c˜ao d(T (A), T (B)) = d(A, B), ou simplesmente , T (A)T (B) = AB.
Figura 5.16: Elaborado pelo autor
Teorema 5.4. Uma isometria T : α → α possui as seguintes propriedades:
a) T leva pontos colineares em pontos colineares. Al´em disso, se A, B e C s˜ao pontos tais que B est´a entre A e C, ent˜ao T (B) est´a entre T (A) e T (C).
Como consequˆencia, temos que T leva retas em retas e leva ˆangulos em ˆangulos. b) T preserva medidas de ˆangulos, ou seja, para qualquer ˆangulo θ, m dT (θ) = mbθ. Em particular, T leva retas perpendiculares em retas perpendiculares.
c) T preserva paralelismo entre retas, isto ´e, se r e s s˜ao retas paralelas, ent˜ao T (r) e T (s) tamb´em s˜ao retas paralelas.
Demonstra¸c¸c˜ao:
a) Consideremos os pontos colineares A, B e C, tais que A − B − C e sejam A0, B0 e C0 suas imagens pela isometria T :
Se A0, B0 e C0 n˜ao fossem colineares, ent˜ao determinariamos um triˆangulo, o triˆangulo A0B0C0. Pelo teorema da desiguladade triangular, obter´ıamos a rela¸c˜ao A0C0 < A0B0+B0C0. O que contradiria a hip´otese A−B −C, que ´e equivalente AC = AB +BC.
Figura 5.17: Elaborado pelo autor Logo, temos
A0B0+ B0C0 = A0C0 (5.5) Portanto A0, B0 e C0 s˜ao colineares.
Vamos provar que A0, B0 e C0 s˜ao tais que A0− B0 − C0.
Suponhamos que B0 n˜ao estivesse entre A0 e C0. Ent˜ao ter´ıamos B0− A0− C0 ou
A0− C0− B0.
Se valesse B0− A0− C0, ent˜ao ter´ıamos B0A0+ A0C0 = B0C0. Mas, por 5.5 temos
A0B0+ B0C0 = A0C0. Disso resulta A0B0+ (A0B0+ A0C0) = B0C0, ou seja, 2A0B0 = 0, e portanto A0 e B0 coincidiram, contrariando a hip´otese.
Para o caso A − C0− B0 a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga. Portanto B0 est´a entre A0 e
C0.
b) Consideremos o ˆangulo θ com v´ertice O e sua imagem θ = T (θ) um ˆangulo com v´ertice O0
Escolhemos pontos A e B, um cada lado de θ, tal que OA = OB. ´E claro que: se A0 e B0 s˜ao as imagens de A e B pela isometria T , temos OA0 = OB0. Ainda pela defini¸c˜ao, temos A0B0 = AB. Logo, pelo caso L.L.L, os triˆangulos AOB e A0O0B0 s˜ao congruentes, sendo congruentes portanto os ˆangulos θ e θ0.
c) Consideremos as retas paralelas r e s e suas imagens r0 = T (r) e s0 = T (s) Suponhamos por absurdo, que as retas r0 e s0 sejam concorrentes no ponto O, com O = T (A) = T (B), onde A e B s˜ao pontos distintos do plano. Logo, r0 e s0 s˜ao retas paralelas
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 58
Figura 5.18: Elaborado pelo autor
Figura 5.19: Elaborado pelo autor
As propriedades acima nos levam a apresentar a seguinte defini¸c˜ao de congruˆencia entre duas figuras planas.
Defini¸c˜ao 5.5. Duas figuras F e G no plano euclidiano Π s˜ao congruentes se existe uma isometria T : Π → Π tal que G ´e imagem de F por essa isometria.
Defini¸c˜ao 5.6. A identidade I : Π → Π, tal que I(A) = A para qualquer ponto A de Π, ´e uma isometria.
Transla¸c˜ao
Defini¸c˜ao 5.7. Sejam A e B pontos distintos do plano α. A transla¸c˜ao T : α → α ´e a isometria no plano α que leva um ponto X de α no ponto TAB(X) = X0 tal que
ABX0X ´e um paralelogramo, se A, B e X n˜ao s˜ao colineares. Se A, B e X s˜ao colineares, ent˜ao TAB ´e tal que XX0 est´a na reta AB e os segmentos AX0 e BX tˆem
Figura 5.20: Elaborado pelo autor
Observa¸c˜ao 5.1. O sentido de X para X0, que ´e o mesmo que o de A para B; e que tamb´em no caso n˜ao-colinear, AX0 e BX0 tˆem o mesmo ponto m´edio M .
Observa¸c˜ao 5.2. Dados os pontos A e B, podemos considerar tamb´em a transla¸c˜ao TAB : α → α definida da mesma maneira que TAB, mas levando em conta o sentido
oposto ao sentido de TAB.
Figura 5.21: Elaborado pelo autor
Neste caso, M ´e ponto m´edio dos segmentos BX0 e AX; e o paralelogramo ´e ABXX0.
Rota¸c˜ao
Na defini¸c˜ao de rota¸c˜ao vamos necessitar da no¸c˜ao de ˆangulo orientado, isto ´e, um ˆangulo no qual est˜ao bem determinado seu lado inicial, que ´e chamando origem do ˆ
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 60 Como exemplo, consideremos dado o ˆangulo BAC, da figura abaixo, onde foi escolhida a semi-reta AB para ser seu lado inicial, e a semi-reta AC, para o lado final. Dizemos que este ˆangulo est´a orientado de−→AB para−→AC e o denotamos por (−→AB,−→AC). Este ˆangulo ´e agora considerando diferente do ˆangulo orientado (−→AC,−→AB).
Figura 5.22: Elaborado pelo autor
Consideremos ˆangulo orientados com medida positiva,ou simplesmente ˆangulos positivos, aqueles orientados no sentindo anti-hor´ario. E os negativos, aqueles orienta- dos no sentido hor´ario.
Defini¸c˜ao 5.8. Seja O um ponto do plano e θ um n´umero real −180 < θ 6 180. A rota¸c˜ao de centro O e ˆangulo θ ´e a isometria 4O,θ : α → α, que deixa fixo o ponto
O e leva o ponto X de α, X 6= O, no ponto X0 = 4O,θ(X), tal que OX = OX0 e a
medida do ˆangulo oreintado (−−→OX,−−→OX0) ´e igual a θ, se θ 6= 0 e θ 6= 180. Al´em disso, OX0 = OX, sendo O o ponto m´edio de XX0, se θ = 180; e X0 = X se θ = 0.
Vamos executar a rota¸c˜ao 4θ0,75 do segmento AB dado ao redor do ponto O dado
Figura 5.24: Elaborado pelo autor
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 62 Vamos executar a rota¸c˜ao 4θ0,−120 da semicircunferˆencia dada ao redor do ponto
O dado.
Figura 5.25: Elaborado pelo autor
Em particular, se θ = 180 40,θ ´e chamado de meio-giro, ou reflexi˜ao em rela¸c˜ao
ao ponto fixo o.c. Ela esta associada a cada ponto P do plano Π o ponto P0 = 4θ0,1809(P ), tal que O ´e o ponto m´edio do segmento P P0
Figura 5.26: Elaborado pelo autor
Vamos executar a rota¸c˜ao do triˆangulo ABC ao redor do ponto A e no sentido anti-horario
Figura 5.27: Elaborado pelo autor
Se executarmos rota¸c˜oes 4A,60, 4A,120, 4A,180, 4A,−120 e 4A,−60 do triˆangulo
ABC, obteremos a figura a seguir.
Figura 5.28: Elaborado pelo autor
Podemos observar que B, D, F, H, J eL s˜ao pontos da mesma circunferˆencia C(A, AB) e C, E, G, I, KeM est˜ao em C(A, AC)
Esta figura final constitui um exemplo de figura que possui simetria θ −rotacional no caso θ = 60, o que definimos a seguir.
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 64 Defini¸c˜ao 5.9. Uma figura tem simetria de rota¸c˜ao de um ˆangulo θ, ou tem simetria θ − rotacional, quando coinciede com sua imagem pela rota¸c˜ao do ˆangulo θ ao redor do seu centro.
Observamos que uma figura possui simetria θ −rotacional se, e somente se, possui simentria θ − rotacional. N˜ao importando o sentido da rota¸c˜ao, vamos tomar sempre θ em valor absuluto.
Um exemeplo de figura que possui simetria de rota¸c˜ao ´e o paralelograma, que n˜ao possui simetria de reflex˜ao, mas possui simetria 180-rotacional.
Figura 5.29: Elaborado pelo autor outro exemplo:
O quadrado, que possui simetria de 90-rotacional (´e tamb´em180-rotacional)
Figura 5.30: Elaborado pelo autor
O pent´agono regular possui simetria 72-rotacional e tamb´em 144-rotacional. O triˆangulo equil´atero possui sim´etria de 120-rotacional
Generalizando, qualquer pol´ıgno regular de n-lados possui θ − rotacional onde θ = i360n , i um n´umero inteiro positivo, sendo i = 0 . . .n2 para n par, ou i = 0 . . . ,n−12
Figura 5.31: Elaborado pelo autor
Figura 5.32: Elaborado pelo autor para n ´ımpar.
5.6
Simetria
Defini¸c˜ao 5.10. Consideremos uma reta r. A isometria dada pela transforma¸c˜ao, que leva cada ponto P do plano em seu sim´etrico P0 em rela¸c˜ao `a reta r, ´e chamado reflex˜ao na reta r, ou simetria de reflex˜ao na reta r, a qual vamos indicar por Rr. A
reta r ´e chamada eixo de reflex˜ao de Rr
Vejamos graficamente o sim´etrico P0 de uma ponto P n˜ao pertencente a uma reta r, em rela¸c˜ao a essa reta.
Para isso, basta tra¸camos a reta s, perpendicular `a r e passando por P . E tomarmos P0 em s tal que P0Q0 = P Q, onde Q = projrP .
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 66 Observemos que a reta r ´e a mediatriz P P0.
Figura 5.33: Elaborado pelo autor
Propriedade da Reflex˜ao em Reta
Para as propriedades valem:
a) Rr(P ) = P se, e somente se, P ´e ponto de r;
b) Se s ´e uma reta perpendicular a r, ent˜ao Rr(s) = s;
c) Rr(Rr(P ))= P para todo ponto P do plano;
d) A transforma¸c˜ao inversa de um reflex˜ao numa reta r ´e uma reflex˜ao nessa mesma reta.
Existem figuras U que podem ser vistas como a uni˜ao de uma figura F com sua imagem F0, pela reflex˜ao numa reta r que intersecciona essa figura. Dizemos, ent˜ao que essa figura U = F ∪ F0 ´e uma figura sim´etrica em rela¸c˜ao `a reta r ou tamb´em, que U possui simetria de reflex˜ao ou simetria axial. Neste caso, dizemos que a reflex˜ao Rr ´e uma simetria axial interna e r ´e o eixo de simetria interna, ou simplesmente eixo
de simetria da figura U , o qual ´e denotado pela letra e.
Exemplo 5.4. Um exemplo ´e o triˆangulo is´osceles ABC, cujo eixo de simetria ´e a mediatriz da base BC, do triˆangulo.
Exemplo 5.5. Outras figuras geom´etricas admitem um ou mais eixos de simetria in- terna:
a) Segmento de Reta: Um segmento AB possui sua mediatriz como eixo de simetria interna.
b) ˆAngulo: Um ˆangulo possui a reta suporte de sua bissetriz como eixo de simetria interna.
Figura 5.34: Elaborado pelo autor
Figura 5.35: Elaborado pelo autor
Figura 5.36: Elaborado pelo autor
c) Trap´ezio Is´osceles: Assim como o triˆangulo is´osceles, o trap´ezio is´osceles tamb´em possui como eixo de simetria interna a mediatriz de suas bases.
d) Losango e Retˆangulo: O losango e o retˆangulo, que s˜ao tipos de paralelo- gramos, possuem dois eixos de simetria: e1 e e2, como pode-se ver nas figuras abaixo:
CAP´ITULO 5. DEFINIC¸ ˜OES E CONCEITOS MATEM ´ATICOS 68
Figura 5.37: Elaborado pelo autor
Figura 5.38: Elaborado pelo autor
e) Quadrado: O quadrado ´e sim´etrico em rela¸c˜ao a quatro eixos de simetria: as retas suporte de suas diagonais e as mediatrizes de seus lados.
Figura 5.39: Elaborado pelo autor
eixos: as retas suporte de suas medianas.
Figura 5.40: Elaborado pelo autor
g) A circunferˆencia: A circunferˆencia ´e sim´etrica em rela¸c˜ao `a reta suporte de qualquer um dos seus diˆametros, isto ´e, possui infinitos eixos de simetria.
Exemplo 5.6. Um paralelogramo, exclu´ıdo as possibilidades dele ser retˆangulo ou lo- sango, n˜ao possui eixo de simetria.
Figura 5.41: Elaborado pelo autor
Observa¸c˜ao 5.3. Podemos generalizar que qualquer pol´ıgono regular de n − lados possui n eixos de simetria.
Cap´ıtulo 6
Considera¸c˜oes Finais
Estudos e trabalhos apresentados na Educa¸c˜ao Matem´atica como dePASSOS(2006); LORENZATO(2006); KALEFF(2006); TURRIONI, PEREZ (2006), R ˆEGO, R ˆEGO(2006) defendem o uso de
materiais did´aticos no ensino e na aprendizagem da Matem´atica como um bom recurso no desenvolvimento de conceitos e conte´udos, uma vez que o aluno se envolve com a constru¸c˜ao do pr´oprio conhimento. Dessa forma, consideramos os pentamin´os como um material did´atico que insere o aluno num processo de ensino atrativo e dinˆamico.
Enfatizamos que as possibilidades ao introduzir geometricamente e algebrica- mente conceitos de ´areas e per´ımetro por meio petamin´os ´e bastante produtiva, pois o aluno, em um ambiente no qual se utiliza material manipul´avel pode aprender con- ceitos vis´ıveis, num primeiro momento, e depois, possa fazer compara¸c˜oes e silogismos; at´e passar a elaborar conclus˜oes em ambientes alg´ebricos, tomando como base o que aprendeu em um ambiente manipul´avel.
Consideremos que o trabalho com os pentamin´os pode romper o estere´otipo de que a Matem´atica ´e apenas um conjunto de f´ormulas expostas no quadro. Se- gundo, Serrazina “ [...]a constru¸c˜ao de conceitos matem´aticos ´e um processo longo que requer o envolvimento ativo do aluno que vai progredindo do concreto para o abs- trato”.(SERRAZINA, 1990, p. 1). Diante dessas considera¸c˜oes, que atividades na qual possa ter uma aprendizagem matem´atica l´udica, desenvolva estrat´egias para resolver problemas que modelam seu cotidiano.
Defendemos que a utiliza¸c˜ao desses materiais em sala de aula requer uma abor- dagem no procedimento da aprendizagem de forma contextualizada para explorar os
conte´udos de matem´atica. Segundo Souza (1996): “Na interven¸c˜ao, o procedimento adotado interfere no processo, com o objetivo de compreendˆe-lo, explicit´a-lo ou corrigi- lo”. (SOUZA, 1996: p.114)
Dessa forma, cabe ao professor desenvolver atividades com os polimin´os que con- templem outros conceitos matem´aticos al´em dos conceitos da geometria. A sala de aula pode ser um laborat´orio de ensino e aprendizagem de conceitos matem´aticos onde o aluno possa experimentar e descobrir com o aux´ılio de materiais did´aticos `a apro- xima¸c˜oes entre a disciplina e o seu cotidiano. Esse fato ´e destacado por Grossnickle e Bruekner (1965).
“Se por outro lado, a sala de aula for um laborat´orio de aprendizagem onde as crian¸cas v˜ao experimentar des- cobrir significados e processos para essas experiˆencias ou atividade de aprendizagem, materiais adequados s˜ao ne- cess´arios”(ROSSNICKLE; BRUEKNER, 1965: p. 87).
Neste sentido, acreditamos que o uso dos polimin´os no processo de ensino de ´area e per´ımetro possibilita ao aluno que formalize e construa o conhecimento significativo n˜ao apenas desses conte´udos espec´ıficos, mas tamb´em quanto aos de geometria e aritm´etica. Al´em, disso, que ´e poss´ıvel tamb´em explorar a hist´oria da matem´atica ao trabalho apresentado.
Por fim, ressaltamos que o desenvolvimento de tais atividade em sala de aula pos- sam confirmar, ou n˜ao, as considera¸c˜oes apresentadas neste trabalho, podendo assim, ser objeto de novas investiga¸c˜oes.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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[9] BRASIL: Minist´erio da Educa¸c˜ao: Secretaria de Educa¸c˜ao Fundamental - PCN’s