Neste cap´ıtulo, veremos que podemos associar a uma curva algebr´oide irredut´ıvel um semigrupo num´erico, ou seja, um semigrupo contido no conjunto dos n´umeros naturais. Tal semigrupo fornece importantes informa¸c˜oes sobre a curva e est´a relacionado com a quest˜ao que pretendemos responder e que foi apresentada no final do cap´ıtulo anterior.
2.1
Semigrupo Contido nos Naturais
Defini¸c˜ao 2.1. Um subconjunto S ⊆ N ´e chamado um semigrupo se:
(i) S ´e fechado com respeito `a adi¸c˜ao;
(ii) 0 ∈ S.
O menor elemento n˜ao nulo de um semigrupo S ´e chamado multiplicidade de S.
Defini¸c˜ao 2.2. Dado um subconjunto A de N, denotamos por hAi o menor semigrupo de N que cont´em A.
Exemplo 2.1. Seja W = {v0, v1, . . . , vg} ⊂ N, temos que
hW i = {α0v0+ · · · + αgvg ; αi ∈ N}.
Neste caso, chamamos hW i de semigrupo gerado por W e o denotamos por hv0, v1, . . . , vgi.
Proposi¸c˜ao 2.1. Seja S ⊆ N um semigrupo. Existe um conjunto W = {v0, v1, . . . , vg} tal
que S = hv0, v1, . . . , vgi, com g < v0, ou seja, todo semigrupo de N ´e finitamente gerado.
Demonstra¸c˜ao: Defina
v0 = min S \ {0} v1 = min S \ hv0i v2 = min S \ hv0, v1i .. . vi = min S \ hv0, v1, . . . , vi−1i .. .
Temos que vj 6≡ vk mod v0 sempre que j 6= k.
De fato, suponha sem perda de generalidade que vj > vk e que vj ≡ vkmod v0, ent˜ao
vj − vk = αv0 com α ∈ N. Deste modo
vj = vk+ αv0 ⇒ vj ∈ hv0, vki ⊂ hv0, v1, ..., vki ⊂ hv0, v1, ..., vj−1i
o que ´e uma contradi¸c˜ao. Como vj e vk possuem restos diferentes na divis˜ao por v0, temos
que a sequˆencia acima ter´a no m´aximo v0 termos, o que prova a proposi¸c˜ao.
O conjunto de geradores {v0, v1, . . . , vg} de um semigrupo S obtido como na proposi¸c˜ao
anterior ´e chamado de sistema m´ınimo de geradores.
Considere uma curva espacial irredut´ıvel C em Cn dada por uma parametriza¸c˜ao:
X1 = ϕ1(t) X2 = ϕ2(t) .. . Xn = ϕn(t)
com ϕi(t) ∈ C[[t]]. O conjunto
Sϕ = {multt(g(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))) ; g ∈ C[[X1, . . . , Xn]] e g(ϕ1(t), . . . , ϕn(t)) 6= 0}
´e um semigrupo de N.
De fato, uma vez que 0 = multt(1) temos que 0 ∈ Sϕ. Al´em disso, se α, β ∈ Sϕ,
ent˜ao existem g, h ∈ C[[X1, . . . , Xn]] tais que
α = multt(g(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))) e β = multt(h(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))),
ent˜ao
multt(gh(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))) = multt(g(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))h(ϕ1(t), . . . , ϕn(t)))
= multt(g(ϕ1(t), . . . , ϕn(t))) + multt(h(ϕ1(t), . . . , ϕn(t)))
= α + β.
Portanto Sϕ ´e um semigrupo de N, chamado semigrupo de valores da curva.
Exemplo 2.2. Seja a curva C dada por:
X = t4 Y = t6+ 2t7.
Claramente h4, 6i ⊂ Sϕ, no entanto h4, 6i 6= Sϕ, pois dada
g(X, Y ) = Y2− X3
∈ C[[X, Y ]]
temos que,
g(t4, t6+ 2t7) = 4t13+ 4t14.
Assim, 13 ∈ Sϕ e 13 /∈ h4, 6i.
ir˜ao caracterizar um semigrupo de valores de uma curva. Defini¸c˜ao 2.3. Considere uma parametriza¸c˜ao
X1 = ϕ1(t) X2 = ϕ2(t) .. . Xn = ϕn(t)
de uma curva C. O anel
Oϕ = C[[ϕ1(t), . . . , ϕn(t)]] ⊆ C[[t]]
´e chamado anel local da curva.
Note que o semigrupo de valores da curva pode ser reescrito como
Sϕ = {multt(g(t)); g(t) ∈ Oϕ\{0}}
e temos (conforme [AM]) que o corpo de fra¸c˜oes de Oϕ ´e
(
g(t)
h(t) ; g(t), h(t) ∈ Oϕ e h(t) 6= 0
)
= C((t)),
onde C((t)) ´e o corpo de fra¸c˜oes de C[[t]].
Desta forma, temos que existem g(t), h(t) ∈ Oϕ tais que
t = g(t) h(t)
e assim g(t) = t.h(t), ou seja,
α = multt(g(t)) = multt(t.h(t)) = 1 + multt(h(t)) = 1 + β,
onde, α = multt(g(t)), β = multt(h(t)) ∈ Sϕ. Da´ı conclu´ımos que o semigrupo de valores de
uma curva sempre possui dois n´umeros naturais consecutivos. Tal fato permitir´a apresentar- mos uma importante propriedade das curvas irredut´ıveis. Antes por´em, vejamos um conceito
importante.
Defini¸c˜ao 2.4. Seja S ⊆ N um semigrupo. Dizemos que S possui condutor c se:
(i) c + n ∈ S, para todo n ∈ N;
(ii) c − 1 6∈ S.
Observa¸c˜ao 2.1. Seja S = hv0, v1, . . . , vgi. Se houver em S v0 elementos consecutivos,
α, α + 1, α + 2, . . . , α + v0 − 1,
ent˜ao S possui condutor c ≤ α.
De fato, α, α + 1, α + 2, . . . , α + v0− 1 ∈ S α + v0, α + v0+ 1, α + v0+ 2, . . . , α + 2v0− 1 ∈ S α + 2v0, α + 2v0+ 1, α + 2v0+ 2, . . . , α + 3v0− 1 ∈ S .. .
e assim sucessivamente. Donde conclu´ımos que todo natural maior ou igual a α pertence a
S.
Exemplo 2.3. (1) S = h4, 6i = {0, 4, 6, 8, 10, 12, . . . } n˜ao possui condutor, uma vez que n˜ao cont´em nenhum natural ´ımpar;
(2) Se S = h4, 5i = {0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, →}, ent˜ao pela observa¸c˜ao anterior, S possui condu- tor c = 12.
(→ denota que todos os inteiros consecutivos est˜ao contidos no conjunto)
A pr´oxima proposi¸c˜ao nos d´a uma caracteriza¸c˜ao dos semigrupos com condutor.
(1) S possui condutor se, e somente se, S possui dois elementos consecutivos.
(2) S possui condutor se, e somente se, mdc(v0, v1, . . . , vg) = 1.
Demonstra¸c˜ao:
(1) (⇒) ´Obvio!
(⇐) Suponha que a, a + 1 ∈ S, ent˜ao
(∗) 0(a + 1), 1(a + 1), 2(a + 1), . . . , (a − 1)(a + 1) ∈ S.
Tome agora um n´umero natural n ≥ (a − 1)(a + 1), ent˜ao como a e a + 1 s˜ao primos entre si, cada elemento da sequˆencia (∗) deixa um resto distinto na divis˜ao por a. Deste modo, dividindo n por a temos,
n = qa + r 0 ≤ r < a.
Ou seja,
n ≡ i(a + 1)mod a, 0 ≤ i ≤ a − 1 isto ´e,
n = i(a + 1) + ja, com j ≥ 0
pois n ≥ (a − 1)(a + 1). Deste modo, n ∈ ha, a + 1i ⊂ S. Al´em disso, note que o condutor de S ´e menor ou igual a (a − 1)(a + 1).
(2) (⇒) Se mdc(v0, v1, . . . , vg) = d > 1, ent˜ao como um elemento de S ´e da forma:
n = α0v0+ α1v1+ · · · + αgvg , com αi ∈ N
temos que n sempre ´e m´ultiplo de d, e deste modo n˜ao h´a dois elementos consecutivos em S e, por (1), S n˜ao pode ter condutor.
(⇐) Se mdc(v0, v1, . . . , vg) = 1, ent˜ao existem γ0, γ1, . . . , γg ∈ Z tais que,
γ0v0+ γ1v1+ · · · + γgvg = 1.
Denotemos por δi = −γi sempre que γi < 0, ent˜ao
X j∈J γjvj = 1 + X l∈L −γlvl = 1 + X l∈L δlvl
onde J ⊂ {0, 1, . . . , g} tal que γj ≥ 0 para todo j ∈ J e L ⊂ {0, 1, . . . , g} tal que γl < 0
para todo l ∈ L. Assim, temos que
X l∈L δlvl, 1 + X l∈L δlvl ∈ S
ou seja, h´a dois naturais consecutivos em S, portanto pelo item (1), S possui condutor.
Como corol´ario imediato desta proposi¸c˜ao, temos:
Corol´ario 2.1. O semigrupo S de uma curva irredut´ıvel admite condutor.
2.2
Semigrupos de Arf
Considere um semigrupo S = {h0 = 0, h1, h2, . . . } ⊆ N. Dado hi ∈ S, definimos:
Shi − hi = {α − hi ; α ∈ S, α ≥ hi}
S(i) = hShi − hii.
Defini¸c˜ao 2.5 (Semigrupo de Arf). Um semigrupo S ⊆ N ´e chamado semigrupo de Arf se o conjunto Shi − hi ´e um semigrupo para todo hi ∈ S, isto ´e, Shi − hi = S(i) para todo
hi ∈ S.
Exemplo 2.4. Seja S = h2, 2p + 1i, verifiquemos que S ´e um semigrupo de Arf para todo
Inicialmente note que
S = {0, 2, 4, 6, . . . , 2p, →}
e o condutor de S ´e 2p. Seja h ∈ S, temos que:
• Se h ≥ 2p, segue que
Sh− h = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } = N
que ´e semigrupo.
• Se h < 2p, ent˜ao h = 2k para algum k < p e k ∈ N, assim
Sh− h = {0, 2, 4, 6, . . . , 2(p − k), →} = h2, 2(p − k) + 1i.
Dado um semigrupo S ⊆ N ´e sempre poss´ıvel encontrar um menor semigrupo de Arf em N que contenha S. De fato, N ´e claramente um semigrupo de Arf. Assim para qualquer subsemigrupo S de N a cole¸c˜ao de semigrupos de Arf contidos em N que cont´em S ´e n˜ao vazia e pelo Lema de Zorn deve existir um menor elemento. Isto motiva a pr´oxima defini¸c˜ao. Defini¸c˜ao 2.6 (Fecho de Arf de um semigrupo). Seja S ⊆ N um semigrupo. O fecho de Arf ∗S de S ´e o menor semigrupo de Arf em N que cont´em S.
Considere um semigrupo com condutor
S = {0, h1, h2, . . . , hr−1, →}.
O fecho de Arf∗S de S pode ser obtido da seguinte maneira:
Teorema 2.1. Sejam um semigrupo S e h1 = min S\{0}. Ent˜ao ∗S = {0, h1+∗S(1)}.
Demonstra¸c˜ao: Seja o semigrupo {0, h1+ S(1)}, onde S(1) = hSh1 − h1i.
De fato, visivelmente tem-se que S ⊆ {0, h1 + S(1)}, mostremos agora a outra
inclus˜ao. Uma vez que ∗S ´e semigrupo de Arf, temos que ∗Sh1 − h1 ´e semigrupo e assim
obtemos Sh1 − h1 ⊂ ∗S h1 − h1 S(1) = hSh1 − h1i ⊂ ∗S h1 − h1 h1+ S(1) ⊂ ∗Sh1 ⊂ ∗S {0, h1+ S(1)} ⊂ ∗S.
Como o semigrupo {0, h1 + S(1)} est´a contido em ∗S, o mesmo ´e verdade para
{0, h1+∗S(1)}, o qual cont´em {0, h1+ S(1)} ⊃ S e que ´e de Arf, portanto
∗
S = {0, h1 +∗S(1)}.
Pelo teorema acima a constru¸c˜ao de ∗S ´e reduzida `a constru¸c˜ao do fecho de Arf de um semigrupo da forma
S(1) = {0, h01, h02, . . . , h0r−1, →}
onde h0r−1 ≤ hr−1− h1.
O processo continua, at´e que para um N suficientemente grande tenhamos S(N ) = N, que ´e o seu pr´oprio fecho de Arf.
Exemplo 2.5. Seja o semigrupo S = h8, 10, 12, 23, 27i. Encontremos ∗S.
Temos que S = {0, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, →}. Note que S n˜ao ´e um semigrupo de Arf, pois
Sh1 − h1 = {0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, →}
Temos que o semigrupo S(1) ´e dado por
S(1) = hSh1 − h1i = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, →} = h2, 15i,
que pelo exemplo (2.4) ´e de Arf, assim ∗S(1) = S(1). Pela constru¸c˜ao do fecho de Arf de um semigrupo, temos:
∗
S = {0, 8 +∗S(1)} = {0, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, →} = h8, 10, 12, 14, 23, 25, 27, 29i.
Portanto o fecho de Arf ∗S de S = h8, 10, 12, 23, 27i ´e ∗S = h8, 10, 12, 14, 23, 25, 27, 29i.
Observa¸c˜ao 2.2. Note que os elementos de∗S constru´ıdos dependem apenas dos elementos
de S que n˜ao os excedam. De fato, suponha que isto seja v´alido para o fecho ∗S(1) de S(1).
Os elementos de ∗S(1) que s˜ao inferiores a hi− h1 dependem apenas dos elementos de S(1)
que s˜ao inferiores a hi− h1, mas estes, por sua vez, dependem dos n´umeros h1, h2, . . . , hi.
Resulta assim que os elementos de {0, h1 +∗S(1)} = ∗S que s˜ao inferiores a hi+1 dependem
apenas de h1, h2, . . . , hi.
Teorema 2.2. Dado um semigrupo S, a interse¸c˜ao de todos os semigrupos S, tais que∗S =
∗S, ´e um semigrupo S
χ tal que ∗Sχ=∗S.
Demonstra¸c˜ao: Claramente a interse¸c˜ao de semigrupos ´e ainda um semigrupo. Assim, resta mostrar que ∗Sχ = ∗S. Considere S um semigrupo tal que ∗S = ∗S e que nenhum
subsemigrupo pr´oprio de S possua esta propriedade. Vamos mostrar que S = Sχ. Claramente
Sχ ⊂ S.
Suponha que S 6= Sχ. Seja hj o menor elemento de S que n˜ao pertence a Sχ e
sejam {h0 = 0, h1, . . . hj−1} ⊂ S ∩ Sχ elementos inferiores a hj. Como hj 6∈ Sχ, segue que
hj ∈ hh/ 1, . . . , hj−1i.
Por outro lado Sχ´e a interse¸c˜ao dos semigrupos cujo fecho de Arf ´e∗S, deste modo
deve existir um semigrupo S0 tal que∗S0 =∗S que n˜ao cont´em o elemento hj. Os elementos de
∗S que s˜ao inferiores a h
S00 obtido em excluir de S0 todos os inteiros positivos inferiores a hj, exceto h1, h2, . . . , hj−1,
´e ainda tal que ∗S00=∗S.
Resulta que os elementos de ∗S que s˜ao menores ou iguais a hj dependem apenas de
h1, h2, . . . , hj−1, j´a que S00 n˜ao cont´em hj. Deste modo o fecho do subsemigrupo de S obtido
em excluir o elemento hj ´e ainda igual a ∗S, contrariando a escolha de S.
Portanto Sχ = S e, consequentemente, ∗Sχ =∗S.
O subsemigrupo Sχ de∗S ´e chamado de semigrupo caracter´ıstico de S.
Defini¸c˜ao 2.7. Seja S um semigrupo e Sχ seu semigrupo caracter´ıstico. Os elementos
χ1, χ2, . . . , χr do sistema m´ınimo de geradores de Sχ s˜ao chamados caracteres de S.
Teorema 2.3. Seja S = hv0, v1, . . . , vgi um semigrupo. Dado um caracter χi de S, se χi ∈ S
ent˜ao χi = vj para algum 0 ≤ j ≤ g.
Demonstra¸c˜ao: Suponhamos χi o menor dos caracteres χ1, χ2, . . . , χr de S tal que χi ∈/
{v0, v1, . . . , vg}. Assim,
χi = α0v0+ α1v1+ · · · + αlvl
com {α0, α1, . . . , αl} ⊂ N, αl 6= 0 e vl < χi.
Temos que
v0, v1, . . . , vg ∈ S ⊆∗S =∗Sχ
e qualquer semigrupo de Arf contendo χ1, . . . , χi−1, conter´a os elementos v0, v1, . . . , vl. Isto
implicaria que o fecho de Arf do semigrupo gerado pelos elementos χ1, χ2, . . . , χi−1, χi+1. . . , χr
cont´em χi e isto nos levaria a concluir que Sχ n˜ao ´e o semigrupo caracter´ıstico de S.
Portanto, se χi ∈ S, ent˜ao χi ∈ {v0, v1, . . . , vg}.
n´umeros naturais, tais que
S = {0, γ1, γ1+ γ2, . . . , γ1+ γ2+ · · · + γr, →},
com γ1 ≥ γ2 ≥ γ3 ≥ · · · ≥ γr > 1. De fato, como S ´e semigrupo de Arf, temos que
S(i) = Shi − hi para todo hi ∈ S e mais,
∗S(i) = S(i). Pela constru¸c˜ao do fecho de Arf de
um semigrupo temos as seguintes rela¸c˜oes recursivas:
∗ S = S = {0, h1+∗S(1)} ∗ S(1) = {0, h2− h1+∗S(2)} ∗ S(2) = {0, h3− h2+∗S(3)} .. . ∗ S(r − 1) = {0, hr− hr−1+∗S(r)} ∗ S(r) = N.
Assim podemos reescrever S como segue
S = {0, h1, h1+ (h2− h1), h1+ (h2− h1) + (h3− h2), . . . , h1+ (h2− h1) + · · · + (hr− hr−1), →},
basta agora tomar γ1 = h1, γ2 = (h2− h1), γ3 = (h3− h2), . . . , γr = (hr− hr−1). Al´em disso,
como Si ´e um semigrupo para todo 0 ≤ i ≤ r, ent˜ao
hi+2− hi ≤ 2(hi+1− hi)
hi+2− hi+1 ≤ hi+1− hi
donde, γi+2≤ γi+1.
Teorema 2.4. Seja S = hv0, v1, . . . , vgi um semigrupo com condutor. Os inteiros
γ1, γ2, . . . , γr−2, γr−1 tais que
∗
s˜ao obtidos de v0, v1, . . . , vg pelo Algoritmo Jacobiano Modificado. Reciprocamente, se
γ1, γ2, . . . , γr−2, γr−1, 1 s˜ao determinados por v1, v2, . . . , vg atrav´es do Algoritmo Jacobiano
Modificado, o fecho de Arf do semigrupo S = hv0, v1, . . . , vgi ser´a ∗S.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que S seja um semigrupo com condutor e v0 ≥ 1. Se v0 = 1,
ent˜ao S = N = ∗S. Assim, γ1 = v0, r = 1 e o teorema ´e verdadeiro. Vamos assumir que
v0 > 1 e que o teorema ´e satisfeito para qualquer semigrupo hv00, v 0
1, . . . , v 0
g0i, com v00 < v0,
vamos concluir que o mesmo ´e verificado para o semigrupo S = hv0, v1, . . . , vgi.
Seja vio menor dos inteiros v0, v1, . . . , vg que n˜ao ´e divis´ıvel por v0e seja q o quociente
de vi por v0. Considere o semigrupo S0 = hvi− qv0, vi+1− qv0, . . . , vg− qv0, v0i.
Afirma¸c˜ao: S ⊆ {0, v0, 2v0, . . . , qv0+ S0} ⊆∗S.
De fato, visivelmente j´a temos a primeira inclus˜ao, agora veja que
{vi− qv0, vi+1− qv0, . . . , vg− qv0, v0} ⊂ Sqv0 − qv0 ⊂
∗S
qv0 − qv0.
Como ∗Sqv0 − qv0 ´e semigrupo temos que
S0+ qv0 ⊂∗Sqv0 ⊂ ∗ S {0, v0, 2v0, . . . , qv0+ S0} ⊆ ∗S. Segue que, ∗ S = {0, v0, 2v0, . . . , qv0+∗S0}.
Por hip´otese temos que ∗S = {0, γ1, γ1 + γ2, . . . , γ1 + γ2 + · · · + γr−1, →}. Assim,
γ1 = v0, γ2 = v0, . . . , γq = v0 e∗S0 = {0, γq+1, γq+1+ γq+2, . . . , γq+1+ · · · + γr−1, →}.
Os inteiros vi− qv0, vi+1− qv0, . . . , vg− qv0, v0 s˜ao obtidos ap´os o (i − 1)-´esimo passo
do Algoritmo Jacobiano Modificado aplicado aos n´umeros v0, v1, . . . , vg. Resta mostrar que
os inteiros γq+1, γq+2, . . . , γr−1 s˜ao obtidos mediante a aplica¸c˜ao do algoritmo aos inteiros
indu¸c˜ao, temos o resultado desejado.
Reciprocamente se os n´umeros γ1, γ2, . . . , γr−2, γr−1 s˜ao obtidos a partir de
v0, v1, . . . , vg pelo Algoritmo Jacobiano Modificado, ent˜ao como ∗S = {0, v0+∗S(1)} temos
que γ1 = v0e S(1) = hv0, v1−v0, . . . , vg−v0i. Deste modo, γ2 = min{v0, v1−v0} e procedendo
deste modo, temos que o fecho de Arf do semigrupo S = hv0, v1, . . . , vgi ´e
∗
S = {0, γ1, γ1+ γ2, . . . , γ1+ γ2+ · · · + γr−1, →}.
Observa¸c˜ao 2.3. Podemos concluir dos teoremas (2.3) e (2.4) que os inteiros
γ1, γ2, . . . , γr−2, γr−1 s˜ao determinados dos caracteres de S pelo Algoritmo Jacobiano Modifi-
cado e que todo conjunto de elementos v0, v1, . . . , vg, dos quais o algoritmo forne¸ca o mesmo
resultado s˜ao provenientes de combina¸c˜oes dos caracteres de S.
Vamos apresentar agora um m´etodo para encontrar os caracteres de um semigrupo de Arf qualquer. Para tanto, seja um semigrupo de Arf
∗
S = {0, γ1, γ1+ γ2, . . . , γ1+ γ2+ · · · + γr, →} (γr6= 1).
O semigrupo ∗S(r) = N tem visivelmente um ´unico caracter, a saber χ(r)1 = 1. Os caracteres do semigrupo
∗
S(r − 1) = {0, γr+ n, n ∈ N}
s˜ao χ(r−1)1 = γr e χ
(r−1)
2 = γr+ 1, uma vez que γr 6= 1. Os caracteres de
∗
S(r − 2) = {0, γr−1+∗S(r − 1)} = {0, γr−1, γr−1+ γr+ n, n ∈ N}
• Se γr−1 > γr+ 1, ent˜ao os caracteres de ∗S(r − 2) s˜ao: χ(r−2)1 = γr−1, χ (r−2) 2 = γr−1+ γr, χ (r−2) 3 = γr−1+ γr+ 1;
• Se γr−1 = γr+ 1, ent˜ao obtemos os seguintes caracteres para∗S(r − 2):
χ(r−2)1 = γr−1, χ (r−2) 2 = γr−1+ γr; • Se γr−1 = γr ent˜ao teremos: χ(r−2)1 = γr−1, χ (r−2) 2 = γr−1+ γr+ 1.
Deduzimos sucessivamente os caracteres de todos os semigrupos
∗S(i) = {0, γ
i+1+∗S(i+1)} aplicando a mesma regra, ou seja, se considerarmos χ
(i) 1 , χ (i) 2 , . . . , χ (i) l
os caracteres de∗S(i), ent˜ao os caracteres do semigrupo∗S(i − 1) = {0, γi+∗S(i)} s˜ao:
• Se γi = χ
(i)
h para algum 1 ≤ h ≤ l, ent˜ao
χ(i−1)1 = γi χ(i−1)2 = γi+ χ (i) 1 .. . χ(i−1)h−1 = γi+ χ (i) h−2 χ(i−1)h = γi+ χ (i) h−1 χ(i−1)h+1 = γi+ χ (i) h+1 .. . χ(i−1)l = γi+ χ (i) l ;
• Se γi 6= χ
(i)
h para todo h = 1, . . . , l, temos
χ(i−1)1 = γi
χ(i−1)j = γi+ χ(i)j−1
para todo 1 < j ≤ l + 1.
Exemplo 2.6. Retomando o exemplo (2.5), vamos determinar os caracteres do semigrupo
S = h8, 10, 12, 23, 27i.
Visto que o fecho de Arf deste semigrupo ´e ∗S = {0, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, →},
temos que
γ1 = 8, γ2 = γ3 = · · · = γ8 = 2, γ9 = γ10= · · · = 1.
Pela constru¸c˜ao dada acima, temos:
∗ S(8) = N =⇒ χ(8)1 = 1 ∗ S(7) = {0, γ8+∗S(8)} =⇒ χ (7) 1 = γ8 = 2 e χ (7) 2 = γ8+ χ (8) 1 = 3 ∗ S(6) = {0, γ7+∗S(7)} =⇒ χ (6) 1 = γ7 = 2 e χ (6) 2 = γ7+ χ (7) 2 = 5 ∗ S(5) = {0, γ6+∗S(6)} =⇒ χ (5) 1 = γ6 = 2 e χ (5) 2 = γ6+ χ (6) 2 = 7 ∗ S(4) = {0, γ5+∗S(5)} =⇒ χ (4) 1 = γ5 = 2 e χ (4) 2 = γ5+ χ (5) 2 = 9 ∗ S(3) = {0, γ4+∗S(4)} =⇒ χ (3) 1 = γ4 = 2 e χ (3) 2 = γ4+ χ (4) 2 = 11 ∗ S(2) = {0, γ3+∗S(3)} =⇒ χ (2) 1 = γ3 = 2 e χ (2) 2 = γ3+ χ (3) 2 = 13 ∗ S(1) = {0, γ2+∗S(2)} =⇒ χ (1) 1 = γ2 = 2 e χ (1) 2 = γ2+ χ (2) 2 = 15 ∗ S = {0, γ1+∗S(1)} =⇒ χ1 = γ1 = 8, χ2 = γ1 + χ(1)1 = 10 e χ3 = γ1+ χ(1)2 = 23.
Temos assim que os caracteres do semigrupo S = h8, 10, 12, 23, 27i s˜ao 8, 10 e 23, e consequentemente o semigrupo caracter´ıstico de S ´e Sχ= h8, 10, 23i.