No MPM, como foi explicado nos itens anteriores, são utilizadas duas discretizações. Uma nas partículas e outra da malha. O caso de carga em faixa sobre uma camada finita elástica foi selecionado para fazer uma análise da eficiência destas duas discretizações. O exemplo é apresentado na Figura 4.17. Este mesmo exemplo foi simulado com o MEF utilizando o programa Plaxis®. No código NairnMPM foi feita uma primeira análise que será considerada a referência para a comparação com as posteriores análises nas quais se variou o número de partículas e o tamanho da malha. Para a análise considerada como referência foram utilizadas 4 partículas por célula e um tamanho de célula quadrada de 50mm. Os valores de tensão e deslocamento vertical da simulação são apresentados na Figura 4.18 em conjunto com os resultados obtidos com o MEF e com a solução analítica apresentada por Poulos & Davis (1974).
Figura 4.17. Carga em faixa sobre material elástico. Geometría do modelo.
a) b)
Figura 4.18. (a) Tensão vertical e (b) deslocamento vertical embaixo do canto esquerdo da carga.
Os resultados obtidos com GIMP e MEF são praticamente iguais. No caso das tensões, perto da superfície, há discrepância dos resultados, ocorrendo no caso do GIMP uma oscilação no valor para uma profundidade de Z=3.8m. Este problema é conhecido como bloqueio cinemático e é evidenciado nas analises como uma rigidez fictícia que afeta o resultado das deformações e, portanto das tensões. Este problema é frequente no MPM quando são utilizadas funções de interpolação da malha lineares e malhas regulares retangulares (Mast et al., 2012). Este problema deve ser mitigado utilizando passos de tempo menores.
As tensões verticais obtidas pelos métodos numéricos aqui utilizados quando comparados com a solução analítica, oferecem resultados muito similares. No entanto os deslocamentos verticais neste caso são menores que os obtidos com os métodos numéricos. Isto pode ser em parte devido ao valor de adotado nas simulações não ser exatamente 0,5 como está sendo utilizado para o cálculo analítico e a que a solução analítica utilizando a teoria de elasticidade
para o caso da condição de contorno de uma camada rígida a determinada profundidade não é exata.
Para analisar como os resultados são sensíveis à discretização foram feitos três modelos adicionais com a mesma quantidade de partículas e um extra com a mesma malha e maior número de partículas. Na Tabela 4.1 são apresentadas as quantidades de partículas utilizadas por célula e o tamanho das células, assim como o tempo de cálculo das simulações e o erro na tensão e no deslocamento vertical para cada modelo. Os resultados apresentados na Figura 4.18 correspondem ao modelo identificado como 50-4 na Tabela 4.1. Este modelo é utilizado como referência para o cálculo dos erros apresentados a seguir.
Tabela 4.1. Identificação, discretização dos modelos e erro no resultado da simulação.
Identificador do modelo Tamanho da célula (mm) Número de Partículas Total de partículas Tempo de cálculo (sec) Erro médio na tensão vertical Erro médio no deslocamento vertical 50-4 50 x 50 4 38400 119,2 - - 125-1 125 x 125 1 1536 10,78 12,48% 4,41% 250-4 250 x 250 4 1536 4,25 34,90% 12,93% 500-16 500 x 500 16 1536 1,94 59,97% 32,35% 125-4 125 x 125 4 6144 35,44 12,44% 3,18% Observa-se na Tabela 4.1 que o erro aumenta à medida que aumenta o tamanho da célula, embora o número de partículas por célula seja maior. Por outro lado, o tempo de cálculo diminui muito com o aumento do tamanho das células da malha, mas isso leva ao aumento do erro.
Outra observação é que o aumento do número de partículas para um mesmo tamanho da malha não melhorou os resultados de forma significativa, mantendo-se praticamente iguais os valores do erro médio. Isto pode se entender fazendo uma analogia com MEF. As partículas em MPM podem ser vistas como os pontos de Gauss utilizados em MEF, onde as tensões são calculadas. O aumento de pontos de Gauss não melhora o resultado geral em análises com o MEF, unicamente melhora a distribuição de tensões dentro do elemento finito.
Finalmente, uma boa ideia para conseguir uma discretização ótima pode ser a de utilizar uma malha fina com o número de partículas mínimas. Porém isto nem sempre é possível por questões geométricas dos modelos.
a) b)
Figura 4.19. Tensão e deslocamento vertical embaixo do canto externo da carga para varias discretizações.
4.6 RESUMO
Neste capítulo foram apresentados os aspectos relevantes sobre a implementação computacional do modelo numérico, e as equações necessárias para se entender o funcionamento dos modelos Cam Clay Modificado (MCC) e Subloading Cam Clay (SCC). Comentaram-se as principais vantagens do modelo SCC em relação ao modelo MCC, e se realizou a implementação dos modelos constitutivos por meio da modificação do programa de MPM NairnMPM. A estrutura básica do programa foi apresentada seguindo a estrutura de classes. Suas principais modificações foram a implementação de uma classe que permite a introdução de modelos de estado critico, a implementação de dois modelos específicos, o MCC e o SCC e a implementação de uma condição de estado inicial de tensões geostática s.
Apresentaram-se as validações para os dois modelos constitutivos implementados utilizando trajetórias de tensões conhecidas. Posteriormente foi realizada uma validação, mediante a comparação para um caso de grandes deformações, com um resultado da literatura que utilizou outro método numérico. Finalmente se compararam as respostas dos modelos ao carregamento cíclico, contrastando-as com um ensaio de laboratório.
5 ANÁLISES NUMÉRICAS DE CRAVAÇÃO DE ESTACAS
O NairnMPM tem sido utilizado por vários pesquisadores para realizar um grande número de simulações, incluindo algumas aplicações geotécnicas. De um modo geral, os resultados obtidos pelo código durante as validações podem ser considerados satisfatórios. A seguir são apresentadas duas simulações de cravação de estaca utilizando o código NairnMPM. A primeira é uma estaca prancha instalada num solo em condições não drenadas e a segunda uma estaca de seção circular cravada uma em areia seca.
5.1 CRAVAÇÃO DE ESTACA PRANCHA EM SOLO COM CONDIÇÕES NÃO