Aluno: ________________________________________ Computador nº: ____________ Atividade 1-1
1. Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2− 1 definida em [-2,2]. Esboce a curva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo
dado e responda as demais perguntas com base neste esboço.
a) Observe a curva no intervalo [1,2]. Divida este intervalo em 4 subintervalos de mesma amplitude ∆𝑥𝑥 (mesmo tamanho) e identifique as abcissas 𝑥𝑥0= 1, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 e 𝑥𝑥4 = 2.
Responda:
• Se o intervalo [1,2] fosse dividido em 10 subintervalos, qual a amplitude de cada subintervalo? E se fossem 50 subintervalos?
• Seja um intervalo qualquer [a,b] dividido em 𝑏𝑏 subintervalos. Escreva uma fórmula para encontrar a amplitude ∆𝑥𝑥 dos subintervalos, levando em consideração o comprimento do intervalo e o número de subintervalos 𝑏𝑏.
b) Trace retas verticais nas abcissas 𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 e 𝑥𝑥4 até a intersecção com a curva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) e
forme 4 retângulos R1, R2, R3 e R4 cujas extremidades direitas coincidam com as retas verticais em 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 e 𝑥𝑥4. Responda:
• A altura dos retângulos é um valor positivo ou negativo?
• Escreva algebricamente a expressão que fornece as alturas dos retângulos. Calcule o valor de cada altura.
c) Escreva uma expressão algébrica (fórmula) para encontrar a área de cada retângulo R1, R2, R3 e R4 em função da amplitude ∆𝑥𝑥 e das alturas 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), … , 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) e em seguida calcule suas
áreas.
d) Seja A a área abaixo da curva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) e acima do eixo x, definida no intervalo [1,2]. Estime o valor da área A a partir da soma das áreas dos retângulos R1, R2, R3 e R4 (arredonde o valor para duas casas decimais). Reescreva esta soma usando o símbolo do somatório ∑, a amplitude ∆𝑥𝑥 e as alturas 𝑓𝑓(𝑥𝑥1), … , 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) .
• Observe o valor da estimativa da área A feita a partir da soma das áreas dos 4 retângulos e responda: O valor da área A é um valor maior, menor ou igual ao valor estimado que você encontrou? Justifique.
Aluno: ________________________________________ Computador nº: ___________ Orientações iniciais:
Crie uma pasta na Área de Trabalho com o nome Tese seguido do seu nome. Por exemplo: Tese-Ana. Nesta pasta serão inseridos os prints das telas do GeoGebra.
Abra o LibreOffice, crie um arquivo com o nome Atividades Tese e salve na pasta que você criou.
Para executar um print da tela do Geogebra, clique em Alt+PrintScreen e depois cole e salve no arquivo Atividades Tese.
Atividade 2 -1
2. Esboce a curva da função f(x) = x2− 1. Usando o software GeoGebra, digite diretamente
no Campo de Entrada a expressão 𝑥𝑥2− 1 e tecle Enter.
a) Identifique a região A abaixo da curva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), até o eixo 𝑥𝑥, no intervalo [1,2], pintando-a.
b) Estime a área da região A para um número b de subintervalos, ou seja, um número b de
retângulos. Use o comando SomaDeRiemannSuperior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ] substituindo a variável < Número de Retângulos > por b. Clique em Criar Controle Deslizante. Clique com o botão direito sobre b e clique em Propriedades – Controle Deslizante - min=1, Max=1.000 e incremento=1. Além da variável b aparece na tela do GeoGebra a variável a que mostra a soma das áreas dos retângulos. Teste valores para b, como 𝑏𝑏 = 4, 𝑏𝑏 = 10 e 𝑏𝑏 = 1000.
• Para que valor a área A se aproxima?
• O que se observa da relação entre o número de retângulos e o valor aproximado da área A?
• Por que o valor aproximado de A diminui quando o número de retângulos aumenta?
c) Atribua 𝑏𝑏 = 4 e observe a soma das áreas dos retângulos. Faça um print da tela e salve no arquivo Atividades Tese.
• Qual o valor aproximado da área A para 4 retângulos? Este valor coincide com o valor encontrado na atividade 1-1?
• Qual o valor da amplitude de cada subintervalo? Escreva a altura de cada retângulo em função de 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) , 𝑖𝑖 = 1,2,3,4 .
• Escreva uma fórmula para encontrar o valor aproximado da área A a partir da soma das áreas dos 4 retângulos, usando o símbolo ∑, a amplitude ∆𝑥𝑥 e os valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖), 𝑖𝑖 = 1,2,3,4.
d) Atribua 𝑏𝑏 = 10 e observe a soma das áreas dos retângulos.
• Qual o valor aproximado da área A quando houver 10 retângulos? • Qual o valor da amplitude de cada subintervalo?
• Escreva uma fórmula para encontrar o valor aproximado da área A a partir da soma das áreas dos 10 retângulos, usando o símbolo ∑, a amplitude ∆𝑥𝑥 e os valores de 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖), 𝑖𝑖: 1,2, . . , 10.
e) Atribua 𝑏𝑏 = 1000 e observe a soma das áreas dos retângulos . Faça um print da tela e salve no arquivo Atividades Tese.
• Qual o valor aproximado da área A quando houver 1000 retângulos? • Qual o valor da amplitude de cada subintervalo?
• Escreva uma fórmula para estimar o valor da área A para 1000 retângulos, usando o símbolo do somatório ∑.
f) Atribua 𝑏𝑏 = 1.000. Usando o comando Ctrl + aumente o zoom da tela até à escala 0.01 para os eixos 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 e observe os retângulos. Com esta grande quantidade de retângulos é possível afirmar que a área A vale 1,72? Justifique.
g) Clique com o botão direito sobre a quantidade b de retângulos e altere o valor para 10.000. Atribua 𝑏𝑏 = 10.000 e aumente o zoom da tela até à escala 0.001, observando os retângulos. Com esta quantidade muito grande de retângulos é possível chegar à área A? Justifique.
h) É possível considerar uma quantidade infinita de retângulos? Neste caso, chega-se à área A? Justifique.
• Para estimar a área A, abaixo do gráfico de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) e acima do eixo x, no intervalo [1,2] foi utilizada uma soma finita de retângulos (primeiro para 4 retângulos, depois para 10, para 1.000 e para 10.000 retângulos), chamada soma de Riemann de 𝒇𝒇(𝒙𝒙). Escreva a soma de Riemann de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para n retângulos num intervalo qualquer [a,b] usando o símbolo ∑, a amplitude ∆𝑥𝑥 e 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖), 𝑖𝑖: 1,2, . . , 𝑏𝑏.
• O que a soma de Riemann de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) fornece?
CONSIDERAÇÕES:
• Soma de Riemann: Nesta atividade, em que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2− 1 é contínua e não negativa no intervalo [1,2], a soma de Riemann representa uma boa aproximação para a área A, já que a quantidade de retângulos pode ser aumentada quanto se queira. Isso significa que a área A é aproximada com qualquer grau de precisão por uma soma de Riemann, ou seja, é possível tornar a soma das áreas dos retângulos suficientemente próxima da área A. Considerando estas informações e traduzindo a ideia intuitiva do termo suficientemente próxima para a linguagem matemática, escreva uma fórmula para a área A sob a curva de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), de a até b, a partir da soma de Riemann.
• Integral Definida: Seja f é uma função contínua definida no intervalo [a,b]. Dividindo [a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais a ∆𝑥𝑥 tem-se 𝑎𝑎 = 𝑥𝑥0, 𝑥𝑥1, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 as extremidades
desses subintervalos. Se 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑛𝑛→∞∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 existe para todas as extremidades, então este limite
é chamado Integral Definida de f de a até b e denotado por ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥. Logo, tem-se que: � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑏𝑏
𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑛𝑛→∞� 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 𝑛𝑛
em que a e b são os limites de integração, chamados respectivamente de limite inferior e limite superior.
i) No conceito de integral definida aparece a palavra limite. Por que é necessário aplicar o limite à soma de Riemann? Justifique sua resposta.
j) Observe a expressão ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑛𝑛→∞∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥.
• Na sua opinião, pode 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) ser um valor negativo? Por quê?
• Caso 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖) seja negativo, como a amplitude ∆𝑥𝑥 é sempre positiva, então a soma ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 seria negativa também. Neste caso, a integral definida ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙
𝑛𝑛→∞∑ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖)∆𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑑𝑑𝑥𝑥 representaria a área da região abaixo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥), em [a,b]? Justifique.
BLOCO 2
Aluno: ________________________________________ Computador nº: _________ Orientações iniciais:
Abra o arquivo com o nome Atividades Tese.
Para executar um print da tela do Geogebra, clique em Alt+PrintScreen e depois cole e salve no arquivo Atividades Tese.
Abra um novo arquivo no GeoGebra. Atividade 1 -2
1. Seja a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥.
a) Esboce a curva da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) e identifique a área A abaixo desta curva, de 0 a 2, pintando- a. No GeoGebra, digite diretamente no Campo de Entrada a expressão 𝑥𝑥 e tecle Enter.
b) Determine a soma de Riemann da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no intervalo [0,2], para um número b de retângulos. Use o comando SomaDeRiemannSuperior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ] substituindo a variável < Número de Retângulos > por b. Clique em Criar Controle Deslizante. Clique com o botão direito sobre b e clique em Propriedades – Controle Deslizante - min=1, Max=1.000 e incremento=1. Além da variável b aparece na tela do GeoGebra a variável a que mostra a soma de Riemann da função. Teste valores para b, como 𝑏𝑏 = 4, 𝑏𝑏 = 10 e 𝑏𝑏 = 1000 e observe os valores desta soma. Para que valor a área A se aproxima?
c) Reduza a quantidade de retângulos para 𝑏𝑏 = 4. Faça um print da tela e salve no arquivo Atividades Tese. No intervalo [0,2], observe a posição dos retângulos e a posição da curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no plano cartesiano. Com base nestas observações justifique suas respostas:
• A curva está posicionada acima ou abaixo do eixo x?
• Os retângulos estão posicionados acima ou abaixo do eixo x? Neste caso, a altura dos retângulos é positiva ou negativa? Quem fornece a altura?
• A área de cada retângulo é positiva ou negativa? Por quê?
• O que a soma de Riemann representa?
d) Calcule a área da região A usando conhecimentos de geometria.
e) Use o comando Integral (<Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>) para calcular a integral da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 em [0,2] e escreva algebricamente esta integral. Compare o resultado obtido com a área A encontrada via geometria. O que se observa? O que a integral definida fornece neste caso?
Aluno: ________________________________________ Computador nº:_____________ Atividade 2 -2
2. Considere a mesma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥.
a) Abra um novo arquivo no GeoGebra. Esboce a curva da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), digitando no Campo
de Entrada do GeoGebra a expressão 𝑥𝑥. Identifique a região B sob esta curva, no intervalo [-1,0], pintando-a.
b) Determine a soma de Riemann da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) em [-1,0] para um número b de retângulos. Use o comando SomaDeRiemannInferior[ <Função>, <Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>, <Número de Retângulos> ] substituindo a variável < Número de Retângulos > por b. Clique em Criar Controle Deslizante. Clique com o botão direito sobre b e clique em Propriedades – Controle Deslizante - min=1, Max=1.000 e incremento=1. Além da variável b aparece na tela do GeoGebra a variável a que mostra a soma de Riemann da função. Teste valores para b, como 𝑏𝑏 = 4, 𝑏𝑏 = 10 e 𝑏𝑏 = 1000. A soma de Riemann é positiva ou negativa? Por quê?
• Para que valor a soma de Riemann se aproxima? Qual a relação entre o número de retângulos e o valor desta soma?
c) Reduza a quantia de retângulos para 𝑏𝑏 = 4. Faça um print da tela e salve no arquivo Atividades Tese. No intervalo [-1,0], observe a posição dos retângulos e a posição da curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no plano cartesiano. Com base nestas observações justifique suas respostas:
• A curva está posicionada acima ou abaixo do eixo x?
• Os retângulos estão posicionados acima ou abaixo do eixo x? Neste caso, a altura dos retângulos é um valor positivo ou negativo? Calcule a altura do maior retângulo.
• Por que a soma de Riemann ∑ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑖𝑖)∆𝑥𝑥
𝑖𝑖=1 é negativa no intervalo [-1,0]? Justifique.
• Para que valor a soma de Riemann se aproxima?
d) Calcule a área da região B usando conceitos da geometria e compare com o valor aproximado pela soma de Riemann. O que se percebe?