(Matemática)
3º ANO
2019
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
128 1 – DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Disciplina: Matemática Série/turma: 3º ano “B” Tempo previsto: 120 min
Colégio Militar Dom Pedro II – CZS Sujeito de pesquisa ministrador: Lucas
Sujeitos de pesquisa observadores: Elaine, Tairleide, Thaísa, Maria das Graças, Bruna e Bismarque
Período: Vespertino Data: 24 de maio de 2019
2 – TEMA:
Geometria Analítica. 2.1. – ASSUNTO (S):
Ponto e Plano Cartesiano; Distância entre dois pontos.
3 – OBJETIVOS: 3.1. – GERAL:
Compreender os conceitos básicos e primitivos relacionados a Geometria Analítica e deduzir a equação da distância entre dois pontos
3.2. – ESPECÍFICOS:
Compreender o conceito de plano cartesiano;
Aprender a situar um ponto no plano cartesiano de acordo com as coordenadas;
Compreender a demonstração da fórmula da distância entre dois pontos, bem como sua aplicação.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS:
Apresentação;
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
129
Iniciar a aula com o questionamento: Vocês já ouviram falar da linha do Equador e do meridiano de Greenwich estudados em Geografia?
Depois de debater as possíveis respostas, introduzir o conteúdo de Geometria Analítica com os conceitos básicos:
Plano cartesiano: é o plano determinado por dois eixos orientados, x e y, perpendiculares em O (que é a interseção dos eixos e recebe o nome de origem).
Quadrante: é cada uma das partes em que o plano fica dividido pelos eixos x e y. Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, como mostra a figura abaixo:
Eixo das Abscissas: é o eixo 𝑥 (ou eixo 𝑂𝑥). Eixo das Ordenadas: é o eixo 𝑦 (ou eixo 𝑂𝑦).
O ponto 𝑂 é a origem do sistema de eixos cartesianos ortogonal ou retangular. Esse sistema é frequentemente indicado por 𝑥𝑂𝑦.
Dado um ponto 𝑃 qualquer do plano cartesiano, traçamos por 𝑃 as retas paralelas aos eixos 𝑥 e 𝑦. Sejam 𝑃1 e 𝑃2 os pontos de interseção dessas retas com os eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. Dizemos que: a abscissa de 𝑃 (indica-se por X𝑃) é a medida algébrica do segmento OP1; a ordenada de P (indica-se por Y𝑃) é a medida algébrica do segmento OP2 e; as coordenadas de 𝑃 são os números reais X𝑃 e Y𝑃 , indicados, em geral, na forma do par ordenado (X𝑃, Y𝑃).
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
130
A cada ponto 𝑷 do plano cartesiano corresponde um par ordenado (𝑋𝑃, 𝑌𝑃) de números reais e, inversamente, para cada par ordenado (𝑋𝑃, 𝑌𝑃) de números reais corresponde um ponto 𝑷 do plano.
Um ponto pertence ao eixo das abscissas se sua ordenada é nula. Desse modo, para todo 𝑎 ∈ ℝ, o ponto (𝑎, 0) pertence ao eixo 𝒙.
Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se sua abscissa é nula. Assim, para todo 𝑏∈ ℝ, o ponto (0, 𝑏) pertence ao eixo 𝒚.
Conversa informal indagando-os com questões do tipo: Vocês já assistiram algum filme em que dois personagens passam entre si as coordenadas da sua localização?
Debater as possíveis respostas;
A partir das respostas dos alunos, iremos introduzir os conceitos básicos do plano cartesiano relacionando o mapa-múndi num plano bidimensional Exibiremos, usando um notebook, projetor e o Software GeoGebra o mapa de parte do bairro onde a escola se localiza, incluindo na imagem pontos de referências perto da escola como uma praça poliesportiva conhecida como todos como “praça da juventude”
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
131
Posteriormente inserir essa imagem no GeoGebra, de modo que ele se posicione somente no 1º quadrante
Questioná-los sobre as coordenadas aproximadas do Colégio que eles estudam e da praça da juventude situada nas proximidades;
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
132
Questioná-los como poderíamos encontrar a distância em linha reta do Colégio até a praça;
Nesse momento, caso não haja respostas relevantes para darmos continuidade no raciocínio que queremos chegar, entraremos com o plano cartesiano confeccionado para situarmos nos pontos na qual os alunos disseram que estavam o Colégio e Praça
Com isso, iremos propor que situemos um terceiro ponto no painel, de coordenadas geradas a partir dos pontos que eles mesmo determinadas para o Colégio e para a Praça: (abscissa do ponto do Colégio, ordenada do ponto que está a praça da juventude)
Iremos então pegar um elástico e esticá-lo no painel nesse três pontos e em seguida faremos a mesma coisa no GeoGebra
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
133
A intenção nessa atitude é que eles percebam o triângulo retângulo que estava esmaecido entre os pontos, a partir daí questioná-los sobre que relação temos com esse tipo de triângulo (triângulo retângulo);
Com a possível resposta emergida em sala de aula, iremos então questioná-los agora sobre como podemos encontrar as medidas dos segmentos levando em consideração as coordenadas dos pontos que situamos juntos.
A expectativa nesse momento é que a turma deduza (mesmo que nossa ajuda) o procedimento para determinarmos o comprimento de cada segmento
Com isso, formalizaremos a equação para determinar a distância entre dois pontos:
O segmento AB não é paralelo a qualquer um dos eixos coordenados.
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
134
Como para todo 𝑎 ∈ ℝ, |𝑎|2 = 𝑎2, podemos escrever:
Complementar a aula falando sobre as bissetrizes:
Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares (𝐛13) se suas coordenadas são iguais. Assim, para todo a 𝜖 ℝ, o ponto (a, a) pertence à bissetriz 𝐛13.
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
135 Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares (𝐛24) se suas
coordenadas são opostas. Para todo a 𝜖 ℝ, o ponto (a, 2a) pertence à bissetriz 𝐛24.
Consolidarei esse conteúdo com um plano cartesiano feito de isopor e papel madeira, em que tirando do livro didático o exercício de número 01 da página 09; as coordenadas contidas nesse exercício serão coladas em alfinetes para que os alunos marquem no material fornecido;
Para finalizar, os alunos resolverão os exercícios 02 e 03 da página 09 e, 05 e 10 da página 10 do livro didático.
5 – RECURSOS DIDÁTICOS:
Livro didático;
Quadro branco e pinceis; Papel madeira branco; Pincel permanente; Projetor; Notebook; Software GeoGebra; Tesoura; Caneta; Cola isopor; Régua; Folha de isopor; Alfinete;
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
136
Fita dupla face; Folha de papel A4.
6– REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Matemática: ciência e aplicações, volume 3: ensino médio / Gelson Iezzi. . . (et. al.]. – 9. ed. – São Paulo: Saraiva, 2016.
Universidade Federal do Acre
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação – PROPEG Centro de Ciências Biológicas e da Natureza - CCBN
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática - MPECIM
137 Figura 7: Plano Cartesiano confeccionado pelos licenciandos para ministração