Sequˆ encias Cohen fortemente p-som´ aveis

n=1

|ϕ(e_n)|=

∞

n=1

|J(y)(e_n)|=

∞

n=1

|y_n|<∞,

o que mostra que (en)^∞_n=1 ∈`^w₁(c0).

Em espa¸cos de Banach de dimensão infinita, sempre existem sequências fraca-mente p-somáveis que não são absolutamente p-somáveis. Resultados com esta caracte-riza¸cão são conhecidos como Teoremas do tipo Dvoretzky-Rogers.

Proposi¸cão 1.2.8 (Dvoretzky-Rogers, versão fraca). Seja E um espa¸co de Banach e 1≤p < ∞. Então `_p(E) = `^w_p(E) se, e somente se, E tem dimensão finita.

Demonstra¸cão. Uma demostra¸cão deste teorema é encontrada em [Pe05, Teorema 3.3].

1.3 Sequˆ encias Cohen fortemente p-som´ aveis

Nesta se¸cão estudaremos o espa¸co das sequências Cohen fortemente p-somáveis em um espa¸co de Banach E. Este espa¸co foi introduzido por Joel S. Cohen [Co73] e inicialmente era chamado de fortementep-somáveis. Este espa¸co de sequência é completo e é um subconjunto próprio do espa¸co `_p(E) quando E tem dimensão infinita, como se verá a seguir.

SejamEum espa¸co de Banach, 1≤p <∞ep⁰ o conjugado dep, isto ´e, ¹_p+_p¹0 = 1.

Parap= 1 tomaremos p⁰ =∞.

Defini¸cão 1.3.1. Uma sequência (x_i)^∞_i=1 em um espa¸co de BanachE éCohen fortemente p-somável se a série P∞

i=1ϕi(xi) convergir para toda sequˆencia (ϕi)^∞_i=1 ∈ `^w_p0(E⁰), com

p +_p¹0 = 1.

Denotaremos por `_phEi o conjunto de todas as sequências Cohen fortemente p-somáveis emE. Este conjunto é um espa¸co vetorial com as opera¸cões usuais de sequências.

De fato, a sequência identicamente nula é Cohen fortemente p-somável e portanto`_phEi

é não vazio. Dados (x_i)^∞_i=1,(y_i)^∞_i=1 ∈`_phEi e λ∈K, então

∞

i=1

ϕ_i(λx_i+y_i) =

∞

i=1

(λϕ_i(x_i) +ϕ_i(y_i))

= λ

∞

i=1

ϕ_i(x_i) +

∞

i=1

ϕ_i(y_i)<∞ para toda sequˆencia (ϕi)^∞_i=1 ∈`^w_p0(E⁰). Portanto, λ(xi)^∞_i=1+ (yi)^∞_i=1 ∈`phEi.

Proposi¸cão 1.3.2. Seja(x_i)^∞_i=1 uma sequência emE. Então a sérieP∞

i=1ϕ_i(x_i)converge para toda (ϕ_i)^∞_i=1 ∈ `^w_p0(E⁰) se, e somente se, a s´erie P∞

i=1|ϕ_i(x_i)| converge para toda (ϕ_i)^∞_i=1 ∈`^w_p0(E⁰).

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que a s´erieP∞

i=1ϕ_i(x_i) converge sempre que (ϕ_i)^∞_i=1 ∈`^w_p0(E).

Para o caso real, defina

ψ_j =

( ϕ_j, se ϕ_j(x_j)≥0

−ϕ_j, se ϕ_j(x_j)<0 . Dado (ϕ_j)^∞_j=1 ∈ `^w_p0(E⁰), por defini¸c˜ao, P∞

j=1|ξ(ϕ_j)|^p⁰ < ∞ para toda ξ ∈ B_E⁰⁰. Pela linearidade de ξ, resulta que

∞ Em ambos os casos, temos que

∞

A volta ´e imediata, pois, em um espa¸co de Banach, toda s´erie absolutamente convergente

´e convergente.

Em seu artigo, Cohen [Co73] define uma norma neste espa¸co pondo σ_p((x_i)^∞_i=1) = sup

Campos [Ca13] define a seguinte norma em`_phEi:

k(x_i)^∞_i=1k_C,p = sup

Estas normas s˜ao iguais. De fato, pela desigualdade triangular, temos

e consequentemente obtendo a desigualdade contr´aria.

Proposi¸cão 1.3.3. Sejam1≤p < ∞ e E um espa¸co de Banach. Então `_phEi,k · k_C,p Teorema do Gráfico Fechado. Suponha que



Mostraremos que (y_i)^∞_i=1 = (ϕ_i(x_i))^∞_i=1 =u_x((ϕ_i)^∞_i=1).

Assim, considerando o operador linear

J_E :E →E⁰⁰, J_E(x)(ϕ) = ϕ(x) para todo x∈E e ϕ∈E⁰,

e que E eJ_E(E) são isometricamente isomorfos (veja [BPT15], Proposi¸cão 4.3.1), então sup e, consequentemente, para todoi∈N,

k→∞lim ϕ^(k)_i (x_i) =ϕ_i(x_i). (1.4)

Assim, por (1.3) e (1.4) e pela unicidade do limite, temos que y_i = ϕ_i(x_i), para todo i ∈ N, o que mostra que (y_i)^∞_i=1 = u_x((ϕ_i)^∞_i=1). Portanto, u_x tem gráfico fechado, e consequentemente é cont´ınua (ver Proposi¸cão A.0.3). Assim,ku_xk<∞ e segue que:

ku_xk = sup

k(ϕ_i)^∞_i=1k_w,p0≤1

ku_x((ϕ_i)^∞_i=1)k₁

= sup

k(ϕi)^∞_i=1k_w,p0≤1

k(ϕ_i(x_i))^∞_i=1k₁

= sup

k(ϕi)^∞_i=1k_w,p0≤1

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)|

= k(x_i)^∞_i=1k_C,p, ou seja, k(x_i)^∞_i=1k_C,p <∞.

Verifiquemos as propriedades da norma:

(N1) Por defini¸cão, temos que k · k_C,p ≥0. Se a sequência é nula, então k0k_C,p = 0. Por outro lado, quandok(x_i)^∞_i=1k_C,p = 0, temos que (x_i)^∞_i=1 = 0, pois, caso contrário, existiria um x_j 6= 0 para algum j ∈ N e tomando a sequência (ϕ_i)^∞_i=1 = (e_jγ_i)^∞_i=1 em E⁰ com kγ_ik= 1 para todoi∈N e kx_jk=|γ_j(x_j)|, então

0<kx_jk=|γ_j(x_j)|=

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)| ≤ sup

k(ψi)^∞_i=1k_w,p0≤1

∞

i=1

|ψ_i(x_i)|=k(x_i)^∞_i=1k_C,p, o que nos levaria a um absurdo.

(N2) Dados λ ∈K e (x_i)^∞_i=1 ∈`_phEi, temos k(λx_i)^∞_i=1k_C,p = sup

k(ϕ_i)^∞_i=1k_w,p0≤1

∞

i=1

|ϕ_i(λx_i)|

= |λ| sup

k(ϕ_i)^∞_i=1k_w,p0≤1

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)|

= |λ| · k(x_i)^∞_i=1k_C,p.

(N3) Para provar a desigualdade triangular, dadas (x_i)^∞_i=1,(y_i)^∞_i=1 ∈`_phEi, como k · k₁ ´e norma em`₁, ent˜ao

∞

i=1

|ϕ_i(x_i +y_i)| = k(ϕ_i(x_i+y_i))^∞_i=1k₁

≤ k(ϕ_i(x_i))^∞_i=1k₁+k(ϕ_i(y_i))^∞_i=1k₁

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)|+

∞

i=1

|ϕ_i(y_i)|.

Da´ı,

k(x_i)^∞_i=1+ (y_i)^∞_i=1k_C,p = sup

k(ϕi)^∞_i=1k_w,p0≤1

∞

i=1

|ϕ_i(x_i+y_i)|

≤ sup

k=1 uma sequˆencia de Cauchy em `phEi. Logo, dado ε >0,existe N ∈N tal que se k, k⁰ ≥N, temos que

Observe ainda que para todox_i ∈E, temos kx_ik_E = sup e consequentemente converge. Digamos que, para cadai∈N, x^(k)_i ^∞

k=1 convirja para x_i.

Proposi¸c˜ao 1.3.4. Seja E um espa¸co de Banach. Se 1≤p≤ ∞, ent˜ao `_phEi ⊆`_p(E).

Mais ainda, `₁hEi=`₁(E).

Demonstra¸c˜ao. Dado (x_i)^∞_i=1 ∈`_phEi, ent˜ao k(x_i)^∞_i=1k_p Hahn-Banach

= sup

ϕ∈B_`p_(E)0

|ϕ((x_i)^∞_i=1)|

= sup

(ϕi)^∞_i=1∈B_`

p0(E0)

∞

i=1

ϕ_i(x_i)

≤ sup

(ϕi)^∞_i=1∈B_`

p0(E0)

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)|.

Pela Proposi¸c˜ao 1.2.5, sup

(ϕi)^∞_i=1∈B_`

p0(E0)

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)| ≤ sup

(ϕi)^∞_i=1∈B_`w

p0(E0)

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)|=k(x_i)^∞_i=1k_C,p,

Portanto, segue quek(xi)^∞_i=1k_p ≤ k(xi)^∞_i=1k_C,p.

Consideremos o caso p=∞. Tome (x_i)^∞_i=1 ∈`∞hEi. Sendo que kx_ik_E ≤ k(x_i)^∞_i=1kC,∞

para todo i∈ N, temos que (x_i)^∞_i=1 ´e limitada e portanto (x_i)^∞_i=1 ∈ `∞(E). Como (x_i)^∞_i=1 foi escolhida de forma arbitr´aria, segue que `∞hEi ⊂`∞(E).

Verifiquemos agora que`₁hEi=`₁(E). Se (ϕ_i)^∞_i=1 ∈`^w_∞(E), uma vez que`^w_∞(E) =

`∞(E⁰), então (ϕi)^∞_i=1 é limitada. Logo, existe M ≥0 tal quekϕik ≤M, para todo i∈N. Da´ı, para todas as sequências (x_i)^∞_i=1 ∈`₁(E) e (ϕ_i)^∞_i=1 ∈`^w_∞(E), então

∞

i=1

|ϕ_i(x_i)| ≤

∞

i=1

kϕ_ik · kx_ik ≤

∞

i=1

Mkx_ik ≤M

∞

i=1

kx_ik<∞.

Operadores Entre Espa¸cos de Sequˆencias

Já sabemos que a inclusão `_p(E) ⊂ `^w_p(E) sempre é válida (Proposi¸cão 1.2.5) e que quando o espa¸co de Banach E tem dimensão infinita, esta inclusão é estrita (Exem-plo 1.2.7). Isto motiva introduzir a no¸cão de operador que melhora a convergência de séries no sentido de transformar sequências fracamente p-somáveis em absolutamente p-somáveis¹. Com racioc´ınio similar, podemos falar de operadores que levam uma sequência absolutamentep-somável em Cohen fortemente p-somável, uma vez que `_phEi ⊆`_p(E).

O objetivo central deste cap´ıtulo é estudar os operadores (lineares) Cohen for-temente p-somantes - que operam entre os espa¸cos `p(E) e `phEi. Devido à rela¸cão existente entre o operador Cohen fortemente p-somante e o seu operador adjunto, aqui também serão apresentados os operadores absolutamente p-somantes (que operam entre os espa¸cos `^w_p(E) e `_p(E)) e alguns resultados clássicos desta teoria.

2.1 Operadores absolutamente p-somantes

Todo operador linear cont´ınuo T entre os espa¸cos de Banach E e F transforma uma sequˆencia (x_i)^∞_i=1 ∈ `^w_p(E) em uma sequˆencia (T(x_i))^∞_i=1 ∈ `^w_p(F). Em outras pala-vras, existe um operador induzido

Tb^w : `^w_p(E) →`^w_p(F)

(x_i)^∞_i=1 7→Tb^w((x_i)^∞_i=1) := (T(x_i))^∞_i=1

1Um estudo detalhado desta teoria ´e dado por Pietsch [Pi67].

e o que mostra queTb^w est´a bem definido. Disso, temos que

é ditoabsolutamente p-somante seT transforma sequências fracamente p-somáveis em E em sequências absolutamentep-somáveis em F, isto é, o operador

Tb: `^w_p(E) →`_p(F) (x_i)^∞_i=1 7→(T(x_i))^∞_i=1 est´a bem definido.

O espa¸co de todos os operadores absolutamente p-somantes entre os espa¸cos de BanachE e F ser´a denotado por Π_p(E;F).

Dados um espa¸co vetorialE ex₁, . . . , x_m ∈E, as sequências (x₁, . . . , x_m,0,0, . . .) serão identificadas como as sequências finitas (x₁, . . . , x_m) = (x_i)^m_i=1.

E poss´ıvel caracterizar os operadores absolutamente´ p-somantes atrav´es de desi-gualdades. A fim de precisar melhor esta ideia, consideremos a seguinte

Proposi¸cão 2.1.2. Sejam 1 ≤ p < ∞ e T ∈ L(E;F). As seguintes condi¸cões são equivalentes:

(i) T ´e absolutamente p-somante;

(ii) Existe uma constante C > 0 tal que

∞

i=1

kT(x_i)k^p

!¹_p

≤C sup

ϕ∈B_E0

∞

i=1

|ϕ(x_i)|^p

!¹_p

, (2.1)

sempre que (xi)^∞_i=1 ∈`^w_p(E);

(iii) Existe uma constante C > 0 tal que

i=1

kT(x_i)k^p

!¹_p

≤C sup

ϕ∈B_E0

i=1

|ϕ(x_i)|^p

!¹_p

, (2.2)

para toda sequˆencia finita x₁, . . . , x_m em E.

Denotando porπ_p(T)o ´ınfimo das constantesC que satisfazem a desigualdade (2.2), temos que π_p(T) =

bT .

Demonstra¸c˜ao. Veja [Si10, Proposi¸c˜ao 2.1.7] (fazendo p=q).

A proposi¸c˜ao a seguir afirma que π_p(·) ´e uma norma em Π_p(E;F).

Proposi¸c˜ao 2.1.3. (Π_p(E;F), π_p(·))´e um espa¸co vetorial normado.

Demonstra¸c˜ao. Veja [Sa08, Proposi¸c˜ao 2.3.15] (fazendo p=q).

A classe dos operadores absolutamente p-somantes satisfaz a seguinte ordem de inclus˜ao baseada no parˆametro p:

Proposi¸cão 2.1.4 (Teorema de Inclusão). Sejam E e F espa¸cos de Banach e 1≤ p₁ ≤ p₂ <∞. Então

Π_p₁(E;F)⊂Π_p₂(E;F).

Demonstra¸c˜ao. Sejam T ∈Π_p₁(E;F), m∈N e x₁, . . . , x_m ∈ E. Sendop₁ < p₂ e fazendo

1 p = _p¹

1 − _p¹

2 e λ_i =kT(x_i)k^p^p², parai= 1, . . . , m, temos kT(λixi)k^p¹ =

kT(xi)k^p^p²xi

=kT(xi)k^p¹^p^p² · kT(xi)k^p¹

= kT(x_i)k^p¹^p^p²^+p¹ =kT(x_i)k^p². Note que, como ¹_p = _p¹

1 − _p¹

2, ent˜ao ¹p p1

+ p¹2 p1

= 1. Da´ı,

i=1

kT(x_i)k^p²

!_p¹

i=1

kT(λ_ix_i)k^p¹

!_p¹

≤ C sup

O teorema a seguir ´e um resultado central da teoria dos operadores absolutamente somantes e pode ser encontrado em ([PS11], Theorem 2.1).

Teorema 2.1.5 (Dvoretzky-Rogers). Sejam E um espa¸co de Banach e 1 ≤ p < ∞.

Ent˜ao Π_p(E;E) = L(E;E) se, e somente se, dimE <∞.

Do que foi dito no teorema acima, em particular, o operador identidade em E ´e absolutamentep-somante se, e somente se, a dimens˜ao deE for finita.

No documento GideoneOliveiraRibeiro CoerênciaeCompatibilidadedasSequênciasdeIdeaisdeOperadoresMúltiploCohenFortementeSomantes UniversidadeFederaldaBahia-UFBAInstitutodeMatemáticaeEstat´ıstica-IME (páginas 24-34)