SEREP modificado com extração de matrizes dinâmicas

O terceiro método de redução abordado, conhecido como SEREP modificado, ao contrário dos métodos precedentes, usa a equação de movimento do sistema completo amortecido, em espaço de estados, para processar a redução (Das e Dutt, 2008). Para o modelo completo do rotor, com os respectivos coeficientes dinâmicos linearizados dos mancais hidrodinâmicos adequadamente inseridos, tem-se a eq. (3.112).

[𝑀_𝑅]{𝑥̈_𝑅} + ([𝐷_𝑅] + [𝐶_𝑅𝑅(Ω)]){𝑥̇_𝑅} + ([𝐾_𝑅] + [𝐾_𝑅𝑅(Ω)]){𝑥_𝑅} = {𝐹_𝑅} (3.112) Na eq. (3.112), [𝐾𝑅𝑅(Ω)] e [𝐶𝑅𝑅(Ω)] são matrizes quadradas, de dimensão 𝑛 × 𝑛,

definidas, respectivamente, nas eqs. (3.53) e (3.54), que contêm os coeficientes dinâmicos de rigidez e amortecimento dos mancais, e [𝐷_𝑅] = [𝐶_𝑅] − Ω[𝐺_𝑅].

O problema dinâmico descrito pela eq. (3.112) pode ser convertido para uma representação em espaço de estados, eq. (3.113). Nesta, a primeira equação é denominada equação de estado e a segunda, equação de saída.

{𝑧̇} = [𝐴𝑠𝑠]{𝑧} + [𝐵𝑠𝑠]{𝑢}

(3.113) {𝑦} = [𝐶𝑠𝑠]{𝑧} + [𝐷𝑠𝑠]{𝑢}

Na eq. (3.113), [𝐴_𝑠𝑠] (2𝑛 × 2𝑛), [𝐵_𝑠𝑠] (2𝑛 × 𝑠), [𝐶_𝑠𝑠] (𝑡 × 2𝑛) e [𝐷_𝑠𝑠] (𝑡 × 𝑠) são, respectivamente, as matrizes do sistema, de entrada, de saída e de transmissão direta, detalhadas na eq. (3.114). {𝑧} = {{𝑥_𝑅}𝑇 _{𝑥̇

𝑅}𝑇}𝑇 é o vetor de estados, de dimensão 2𝑛 × 1,

enquanto {𝑢} (𝑠 × 1) e {𝑦} (𝑡 × 1) são os respectivos vetores de entrada e de saída.

[𝐴𝑠𝑠] = [ [0] [𝐼] −[𝑀_𝑅]−1_([𝐾 𝑅] + [𝐾𝑅𝑅(Ω)]) −[𝑀𝑅]−1([𝐷𝑅] + [𝐶𝑅𝑅(Ω)]) ] (3.114) [𝐵𝑠𝑠] = [ [0] [𝑀_𝑅]−1_[𝐸]] [𝐶𝑠𝑠] = [[𝐹] [0]]

Na eq. (3.114), [𝐸], de dimensão 𝑛 × 𝑠, é a matriz que distribui cada uma das 𝑠 entradas de força presentes no vetor {𝑢} aos GDLs corretos de {𝑥_𝑅} (𝑛 × 1), de modo a satisfazer a relação [𝐸]{𝑢} = {𝐹_𝑅}, em que {𝐹_𝑅} possui dimensão 𝑛 × 1. Já a matriz [𝐹] relaciona os elementos do vetor de estados (tipicamente, as coordenadas físicas de deslocamento) ao vetor de saída (geralmente, composto pelos deslocamentos medidos). Neste caso, a matriz [𝐹] é majoritariamente nula, de dimensão 𝑡 × 𝑛, com um elemento não nulo por linha, alocado nas colunas que representam cada um dos 𝑡 GDLs de saída. Acerca da matriz [𝐷_𝑠𝑠], esta é responsável por conectar diretamente o vetor de entradas, {𝑢}, ao vetor de saídas, {𝑦}, de acordo com o sistema analisado.

Na sequência, o autoproblema homogêneo associado à eq. (3.113) deve ser solucionado. Todavia, uma vez que a matriz [𝐴𝑠𝑠] não é simétrica, os autovetores à direita e

à esquerda serão diferentes, e a solução completa do autoproblema poderá ser obtida por meio da eq. (3.115).

{𝑧̇} = [𝐴𝑠𝑠]{𝑧} (3.115)

A solução completa do autoproblema é composta pelas matrizes [𝑈] e [𝑉], de dimensão 2𝑛 × 2𝑛, constituídas pelos autovetores, respectivamente, à direita e à esquerda. Com estas matrizes, é possível associar o vetor de estados {𝑧} ao vetor modal completo {𝑞} (2𝑛 × 1), também conhecido como vetor de participação modal (Das e Dutt, 2008; Meirovitch 2001), como descrito na eq. (3.116).

{𝑧} = [𝑈]{𝑞}

(3.116) {𝑞} = [𝑉]𝑇_{𝑧}

Deriva diretamente da eq. (3.116) que o produto entre as matrizes de autovetores à direita e à esquerda deve corresponder à matriz identidade (i.e., [𝑈][𝑉]𝑇 _{= [𝑉]}𝑇_{[𝑈] = [𝐼]).}

Este fato é crucial para o sucesso do método SEREP modificado e pode ser alcançado normalizando-se adequadamente cada um dos autovetores.

O próximo passo do método consiste em selecionar os modos próprios de vibrar que mais influenciam a resposta dinâmica do sistema mecânico a ser reduzido na faixa de frequências de interesse. Supondo que sejam selecionados 𝑚 modos a serem mantidos no modelo reduzido (de modo que 𝑚 ≤ 𝑛), é possível obter as matrizes particionadas [𝑈_𝑚] e [𝑉𝑚], ambas de dimensão 2𝑛 × 2𝑚, a partir da seleção apropriada das colunas de [𝑈] e [𝑉].

Nesta seleção, a cada um dos 𝑚 modos selecionados corresponderá um par complexo conjugado de autovetores. O mesmo processo é aplicado às linhas do vetor modal {𝑞}, resultando no vetor particionado {𝑞𝑚} (2𝑚 × 1).

A seguir, a eq. (3.116) pode ser reescrita conforme a eq. (3.117), na qual o vetor de estados truncado em relação aos 𝑚 modos selecionados, {𝑧_𝑚}, do mesmo tamanho de {𝑧}, pode ser particionado de acordo com os estados tomados ou como ativos ou como descartados. Por estados deve-se entender que, dada a natureza da representação em espaço de estados, a cada estado constituído por um deslocamento, corresponderá um outro, de velocidade. Deste modo, no método SEREP modificado, seleciona-se 𝑎 estados ativos, restando 𝑑 estados descartados, de modo que 2𝑛 = 𝑎 + 𝑑. O mesmo processo de partição via estados ativos é aplicado às matrizes [𝑈𝑚] e [𝑉𝑚], resultando em matrizes particionadas

[𝑈_𝑎𝑚] e [𝑉_𝑎𝑚], ambas de dimensão 𝑎 × 2𝑚, e [𝑈_𝑑𝑚] e [𝑉_𝑑𝑚], de dimensão 𝑑 × 2𝑚. Observa-se que, uma vez que o número de estados selecionados como ativos pode diferir do dobro do número de modos selecionados (i.e., 𝑎 ≠ 2𝑚), as matrizes [𝑈_𝑎𝑚], [𝑉_𝑎𝑚], [𝑈_𝑑𝑚] e [𝑉𝑑𝑚] podem não ser quadradas.

{𝑧_𝑚} = [𝑈_𝑚]{𝑞_𝑚} ⟺ {{𝑧𝑎𝑚} {𝑧𝑑𝑚} } = [[𝑈𝑎𝑚] [𝑈𝑑𝑚] ] {𝑞_𝑚} (3.117) {𝑞𝑚} = [𝑉𝑚]𝑇{𝑧𝑚} ⟺ {𝑞𝑚} = [[𝑉𝑎𝑚]𝑇 [𝑉𝑑𝑚]𝑇] { {𝑧𝑎𝑚} {𝑧_𝑑𝑚}}

Então, considerando-se apenas o conjunto de expressões nos estados ativos do produto [𝑈𝑚]{𝑞𝑚} , a eq. (3.118) é obtida.

{𝑧𝑎𝑚} = [𝑈𝑎𝑚]{𝑞𝑚} (3.118)

Substituindo {𝑞𝑚} na eq. (3.118) por [𝑉𝑚]𝑇{𝑧𝑚}, eq. (3.117), obtém-se a eq. (3.119).

{𝑧𝑎𝑚} = [𝑈𝑎𝑚]([𝑉𝑚]𝑇{𝑧𝑚}) = ([𝑈𝑎𝑚][𝑉𝑚]𝑇){𝑧𝑚} = [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] {𝑧𝑚} (3.119)

A eq. (3.119) contempla a matriz de transformação à esquerda, [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}], de dimensão 𝑎 × 2𝑛, destacada na eq. (3.120).

[𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] = [𝑈𝑎𝑚][𝑉𝑚]𝑇 (3.120)

Para a matriz de transformação à direita, [𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}], Das e Dutt (2008) esclarecem que dois casos podem ocorrer dependendo do número de modos selecionados, 𝑚, e daquele de estados tomados como ativos, 𝑎: (1) 𝑎 ≥ 2𝑚, comum em problemas de dinâmica estrutural; e (2) 𝑎 < 2𝑚, caso não muito comum, mas que pode eventualmente ocorrer.

(a) Se 𝑎 ≥ 2𝑚, seja {𝑤₁} um vetor de mesmo tamanho de {𝑧_𝑎𝑚}. Então, tomando-se a expressão {𝑞𝑚} = [𝑉𝑎𝑚]𝑇{𝑧𝑎𝑚}, eq. (3.117), e substituindo {𝑧𝑎𝑚} por {𝑤1}, tem-se a eq.

(3.121).

{𝑞𝑚} = [𝑉𝑎𝑚]𝑇{𝑤1} (3.121)

A combinação das eqs. (3.121) e (3.118) resulta na eq. (3.122). {𝑧_𝑎𝑚} = [𝑈_𝑎𝑚]{𝑞_𝑚} = [𝑈_𝑎𝑚]([𝑉_𝑎𝑚]𝑇_{𝑤

1}) ⟹ {𝑤1} = ([𝑈𝑎𝑚][𝑉𝑎𝑚]𝑇)†{𝑧𝑎𝑚} (3.122)

Na eq. (3.122), o produto matricial [𝑈_𝑎𝑚][𝑉_𝑎𝑚]𝑇 _{é uma matriz quadrada de dimensão}

𝑎 × 𝑎. No entanto, esta matriz pode não ser diretamente invertível uma vez que ambas, [𝑈𝑎𝑚] e [𝑉𝑎𝑚]𝑇, e consequentemente seu produto, possuem rank 2𝑚 e 2𝑚 pode ser menor

do que 𝑎. Assim, a abordagem da pseudoinversa deve novamente ser empregada para estimar a inversa generalizada ([𝑈𝑎𝑚][𝑉𝑎𝑚]𝑇)† quando 2𝑚 < 𝑎.

A eq. (3.122) pode ser combinada à eq. (3.121) e a expressão resultante para {𝑞_𝑚} substituída na eq. (3.117) para se obter a eq. (3.123).

A eq. (3.123) contempla a matriz de transformação à direita, [𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}], de dimensão 2𝑛 × 𝑎, destacada na eq. (3.124).

[𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}] = [𝑈_𝑚][𝑉_𝑎𝑚]𝑇_([𝑈

𝑎𝑚][𝑉𝑎𝑚]𝑇)† (3.124)

(b) Se 𝑎 < 2𝑚, seja {𝑤₂} um vetor do mesmo tamanho de {𝑞𝑚}. Então, tomando-se

a expressão {𝑞_𝑚} = [𝑉_𝑎𝑚]𝑇_{𝑧

𝑎𝑚}, eq. (3.117), e substituindo {𝑞𝑚} por {𝑤2}, tem-se a eq.

(3.125).

{𝑤₂} = [𝑉_𝑎𝑚]𝑇_{𝑧

𝑎𝑚} (3.125)

A combinação das eqs. (3.125) e (3.118) resulta na eq. (3.126).

{𝑤2} = [𝑉𝑎𝑚]𝑇{𝑧𝑎𝑚} = [𝑉𝑎𝑚]𝑇([𝑈𝑎𝑚]{𝑞𝑚}) ⟹ {𝑞𝑚} = ([𝑉𝑎𝑚]𝑇[𝑈𝑎𝑚])†{𝑤2} (3.126)

Na eq. (3.126), o produto matricial [𝑉_𝑎𝑚]𝑇_[𝑈

𝑎𝑚] é uma matriz quadrada de dimensão

2𝑚 × 2𝑚. No entanto, esta matriz não é diretamente invertível, uma vez que ambas, [𝑉_𝑎𝑚]𝑇

e [𝑈_𝑎𝑚], e consequentemente seu produto, possuem rank 𝑎 e 𝑎 < 𝑚. Neste caso, a abordagem da pseudoinversa deve ser empregada para estimar ([𝑉_𝑎𝑚]𝑇_[𝑈

𝑎𝑚])†.

A eq. (3.126) pode ser combinada à eq. (3.125) e a expressão resultante para {𝑞_𝑚} substituída na eq. (3.117) para se obter a eq. (3.127).

{𝑧_𝑚} = [𝑈_𝑚]{𝑞_𝑚} = [[𝑈_𝑚]([𝑉_𝑎𝑚]𝑇[𝑈_𝑎𝑚])†[𝑉_𝑎𝑚]𝑇] {𝑧_𝑎𝑚} = [𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}]{𝑧_𝑎𝑚} (3.127)

A eq. (3.127) contempla a matriz de transformação à direita, [𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}], de dimensão 2𝑛 × 𝑎, destacada na eq. (3.128).

[𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}] = [𝑈𝑚]([𝑉𝑎𝑚]𝑇[𝑈𝑎𝑚])†[𝑉𝑎𝑚]𝑇 (3.128)

As eqs. (3.124) e (3.128) permitem determinar [𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}], mesmo quando 𝑎 ≠ 2𝑚, por meio da abordagem da pseudoinversa. Contudo, determinados inconvenientes podem surgir quando da utilização da pseudoinversa, como observado para o método SEREP, na subseção precedente. Estes inconvenientes podem incluir modelos reduzidos não únicos, adição de resposta dinâmica não pertencente ao modelo completo original, incapacidade de reproduzir modos próprios relevantes na faixa de frequências de interesse e/ou pouco controle sobre como os modos são afetados pelo método de obtenção da pseudoinversa. Recomenda-se, pois, utilizar 𝑎 = 2𝑚 sempre que possível.

Uma vez que o método SEREP modificado utiliza a representação do modelo completo em espaço de estados, o processo de redução aplica-se às matrizes [𝐴𝑠𝑠], [𝐵𝑠𝑠] e [𝐶𝑠𝑠], de

acordo com a eq. (3.129), resultando em matrizes reduzidas [𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] (𝑎 × 𝑎), [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] (𝑎 × 𝑠) e [𝐶_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] (𝑡 × 𝑎). A matriz [𝐷_𝑠𝑠] não é alterada pela redução.

[𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] [𝐴𝑠𝑠][𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}]

(3.129) [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] [𝐵_𝑠𝑠]

[𝐶_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝐶_𝑠𝑠][𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}]

E a equação de movimento do modelo reduzido em espaço de estados, nos estados ativos do modelo completo, é dada pela eq. (3.130).

{𝑧̇𝑎𝑚} = [𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}]{𝑧𝑎𝑚} + [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}]{𝑢}

(3.130) {𝑦} = [𝐶_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}]{𝑧_𝑎𝑚} + [𝐷_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}]{𝑢}

O método SEREP modificado é o mais robusto a ser abordado neste trabalho. De acordo com Das e Dutt (2008), o modelo reduzido, eq. (3.130), será equivalente ao modelo completo, eq. (3.113), quando o número de estados ativos selecionados corresponder ao dobro do número de modos selecionados (i.e., 𝑎 = 2𝑚). Ademais, uma vez que o método SEREP modificado é capaz de processar quaisquer matrizes [𝑀_𝑅], [𝐶𝑅], [𝐺𝑅] e [𝐾𝑅], os

coeficientes dinâmicos dos mancais podem ser inseridos ao modelo do rotor previamente à redução, eq. (3.114).

Por outro lado, o método SEREP modificado apresenta a desvantagem de ser dependente da velocidade de rotação, eq. (3.114), uma vez que a matriz [𝐴_𝑠𝑠] do sistema em espaço de estados contempla o efeito giroscópico, Ω[𝐺_𝑅], e os coeficientes dinâmicos de rigidez e amortecimento dos mancais, [𝐾𝑅𝑅(Ω)] e [𝐶𝑅𝑅(Ω)], respectivamente. Portanto, para

cada velocidade de rotação Ω_𝑖 considerada, haverá uma matriz [𝐴_𝑠𝑠𝑖] = [𝐴_𝑠𝑠(Ω_𝑖)] diferente, que implicará uma nova rodada do método de redução.

O método SEREP modificado resulta em um modelo reduzido em espaço de estados. Contudo, de acordo com Saint Martin et al. (2020), é possível extrair matrizes reduzidas [𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}], [𝐶_{𝑅𝑟𝑒𝑑}], [𝐺_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] e [𝐾_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] para o rotor e [𝐾_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] e [𝐶_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] para os mancais, a partir das matrizes [𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}(Ω)] e [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}(Ω)], bastando- se, para que esta extração seja factível e viável, que três condições sejam satisfeitas.

A primeira é estabelecida por Friswell et al. (1999): matrizes dinâmicas de um sistema físico de segunda ordem podem ser extraídas de uma representação em espaço de estados quando a eq. (3.131) é satisfeita.

[𝐶_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}][𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [0] (3.131)

A segunda condição versa sobre a matriz [𝐴𝑠𝑠] da eq. (3.114): a extração será efetiva

quando esta matriz puder ser decomposta em termos associados ao rotor, [𝐴_𝑠𝑠𝑅], e termos relacionados aos mancais, [𝐴_𝑠𝑠𝑀], de acordo com a eq. (3.132).

[𝐴𝑠𝑠] = [𝐴_𝑠𝑠𝑅] + [𝐴_𝑠𝑠𝑀] (3.132) [𝐴_𝑠𝑠𝑅] = [ [0] [𝐼] −[𝑀_𝑅]−1_[𝐾 𝑅] −[𝑀𝑅]−1[𝐷𝑅] ] [𝐴_𝑠𝑠𝑀] = [ [0] [0] −[𝑀_𝑅]−1_[𝐾 𝑅𝑅(Ω)] −[𝑀𝑅]−1[𝐶𝑅𝑅(Ω)] ]

Neste caso, a substituição de [𝐴𝑠𝑠], eq. (3.132), na eq. (3.129) resultaria na eq. (3.133).

[𝐴_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] [𝐴𝑠𝑠][𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}] = [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] ([𝐴_𝑠𝑠𝑅] + [𝐴_𝑠𝑠𝑀])[𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}] =

(3.133)

= [𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] [𝐴_𝑠𝑠𝑅][𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}]+[𝑇_{𝑆𝑀𝑒𝑠𝑞}] [𝐴_𝑠𝑠𝑀][𝑇_{𝑆𝑀𝑑𝑖𝑟}]=[𝐴_{𝑠𝑠𝑅𝑟𝑒𝑑}]+[𝐴_{𝑠𝑠𝑀𝑟𝑒𝑑}]

Por fim, a terceira condição é que um número par de estados ativos seja selecionado. Se as três condições são simultaneamente satisfeitas, as matrizes reduzidas [𝐴_{𝑠𝑠𝑅𝑟𝑒𝑑}], [𝐴_{𝑠𝑠𝑀𝑟𝑒𝑑}] e [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] podem ser expressas de acordo com a eq. (3.134).

[𝐴_{𝑠𝑠𝑅𝑟𝑒𝑑}] = [[𝐴11𝑅] [𝐴12𝑅] [𝐴_21𝑅] [𝐴_22𝑅]] = [ [0] [𝐼] −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]−1[𝐾_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]−1[𝐷_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]] [𝐴_{𝑠𝑠𝑀𝑟𝑒𝑑}] = [[𝐴11𝑀] [𝐴12𝑀] [𝐴_21𝑀] [𝐴_22𝑀]] = [ [0] [0] −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]−1[𝐾_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]−1[𝐶_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)]] [𝐵_{𝑠𝑠𝑟𝑒𝑑}] = [[𝐵1] [𝐵2] ] = [ [0] [𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]−1] (3.134)

Donde as matrizes [𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}], [𝐷_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] e [𝐾_{𝑅𝑟𝑒𝑑}], todas de dimensão 𝑎/2 × 𝑎/2, são derivadas, eq. (3.135).

[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] = [𝐵₂]−1

(3.135) [𝐷_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] = −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}][𝐴_22𝑅]

[𝐾_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] = −[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}][𝐴_21𝑅]

Ademais, se a matriz [𝐶_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] puder ser determinada independentemente para o rotor (como ocorrerá se se considerar amortecimento estrutural do tipo proporcional, retendo-se os mesmos coeficientes 𝛼𝐶 e 𝛽𝐶, isto é, [𝐶_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] = 𝛼𝐶[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] + 𝛽𝐶[𝐾_{𝑅𝑟𝑒𝑑}]), então a matriz

[𝐺_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] poderá ser determinada, para uma dada velocidade de rotação Ω, a partir da eq. (3.136).

[𝐺_{𝑅𝑟𝑒𝑑}] = 1

Ω([𝐷𝑅𝑟𝑒𝑑] − [𝐶𝑅𝑟𝑒𝑑]) (3.136) Por sua vez, as matrizes reduzidas transformadas dos coeficientes dinâmicos de rigidez e amortecimento dos mancais, respectivamente, [𝐾_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] e [𝐶_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)], ambas de dimensão 𝑎/2 × 𝑎/2, poderão ser determinadas, para uma dada velocidade de rotação Ω, de acordo com a eq. (3.137).

[𝐾_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] =−[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}][𝐴_21𝑀]

(3.137)

[𝐶_{𝑅𝑅𝑟𝑒𝑑}(Ω)] =−[𝑀_{𝑅𝑟𝑒𝑑}][𝐴_22𝑀]

Salienta-se que, acerca da seleção de um número par de estados ativos para o método SEREP modificado, Saint Martin et al. (2020) recomendam associar, a cada GDL linear ou angular de deslocamento, 𝑥𝑖, escolhido, o respectivo GDL de velocidade, 𝑥̇𝑖. Deste modo,

garante-se, de um lado, que o número de estados selecionados como ativos seja sempre par e, de outro, que o método de redução apresente maior acurácia.