Serviço de Urgência Geral

Pour un champ magn´etique dipolaire, les potentiels d’Euler permettent d’utiliser un

syst`eme de coordonn´ees orthogonales, ce qui simplifie la d´erivation des ´equations de la

convection magn´etosph´erique. Cela n’est g´en´eralement pas possible pour une configuration

quelconque de champ magn´etique.

Potentiels d’Euler

Les potentiels d’Euler α et β sont d´efinis `a partir de la relation (Stern, 1994b) :

B =∇α× ∇β (5.1)

D’apr`es cette d´efinition, les lignes de champ magn´etique repr´esentent les courbes α=

constanteetβ =constante. Les potentiels d’Euler sont compl´et´es par l’abscisse curviligne

s, variant de fa¸con monotone le long des lignes de champ magn´etique, afin de se rep´erer

dans un espace `a trois dimensions. Le choix de l’abscisse curviligne est motiv´e par le fait

qu’elle est facilement calculable pour n’importe quel mod`ele de champ magn´etique. Elle

est rep´er´ee depuis le plan de l’´equateur magn´etique (s = 0) et croˆıt dans la direction de

∇s. Cette d´efinition, diff´erente de celle commun´ement utilis´ee, sera discut´ee par la suite.

Les potentiels d’Euler ne sont pas uniques. Le champ magn´etiqueBpeut ˆetre repr´esent´e

par d’autres fonctions α(α, β) et β(α, β) pourvu que (Peymirat et Fontaine, 1999) :

∂α

∂α

∂β

∂β − ^∂β

∂α

∂α

∂β ^{= 1 (5.2)}

Dans le cas d’un champ magn´etique dipolaire, il est possible de trouver une expression

analytique o`u α etβ sont donn´es par (Stern, 1976) :

α=−B₀(R_T sinθ)²r⁻¹ (5.3)

86

5.2. Equations de la dynamique coupl´ee du syst`eme Magn´etosph`ere–Ionosph`ere dans le

cas d’un champ magn´etique quelconque

o`u B<sub>0</sub> est l’amplitude du champ magn´etique `a l’´equateur terrestre, R_T le rayon de la

Terre, θ la colatitude, ϕ la longitude et r la distance radiale.

Dans le cas d’un champ magn´etique quelconque, il n’existe pas en g´en´eral de solution

analytique et il faut calculer num´eriquementαetβ`a partir de (5.1).Peymirat et Fontaine

(1999) ont propos´e une m´ethode g´en´erale de calcul num´erique des potentiels d’Euler que

nous r´esumons bri`evement et qui proc`ede en deux ´etapes.

Ils calculent un premier jeu de potentiels d’Eulerα₁ et β₁ `a partir des volumes ϑ des

tubes de force en s’imposant `a priori la valeur deα₁ :

α₁ =−B₀^0.75R_T^1.25ϑ^−0.25 (5.5)

qui est exactement la relation que l’on a entre α et ϑ pour un dipˆole. Les isocontours

de α₁ reproduisent les isocontours de ϑ. A proximit´e de la Terre, ils sont axisym´etriques

et se referment sur eux-mˆemes comme pour un dipˆole. Loin de la Terre, les volumes des

tubes de force sont plus importants du cˆot´e nuit que du cˆot´e jour et les contours de α₁

s’ouvrent du cˆot´e jour de part et d’autre du m´eridien midi–minuit l`a o`u les lignes de

champ magn´etique ne sont plus ferm´ees. Le long de ces contours, la longitude ϕ varie et

atteint une valeur maximaleϕ_max(α₁) `a l’endroit o`u ils s’ouvrent. Cette valeur d´epend du

contour consid´er´e α₁. Peymirat et Fontaine (1999) en d´eduisent alors β₁ par int´egration

num´erique de (5.1). Loin de la Terre, les contours de β₁ s’´ecartent de ceux attendus pour

un dipˆole, et la relation (5.4) n’est plus v´erifi´ee.

Pour s’affranchir de ce probl`eme, ils calculent `a partir de α₁ et β₁ un deuxi`eme jeu

de potentiels d’Euler α₂ et β₂. Ils imposent `a β₂ de v´erifier pour chaque contour de α₁ la

relation suivante en ϕ_max(α₁) :

β₂ =R_Tϕ_max(α₁) (5.6)

ce qui permet de retrouver en ces points exactement la relation entre ϕ et β pour un

dipˆole. α₂ s’en d´eduit alors par int´egration num´erique de (5.1). Ils aboutissent ainsi `a

un jeu de potentiels d’Euler qui diff`erent des potentiels d’Euler dipolaires mais en s’en

´

ecartant le moins possible. Il est important de noter que α₂ ne v´erifie plus exactement la

relation (5.5), ce que nous utiliserons par la suite.

Peymirat et Fontaine (1999) ont utilis´e cette m´ethode pour calculer les potentiels

d’Euler associ´es au mod`ele de champ magn´etique ´elabor´e par Tsyganenko (1987). Les

potentiels d’Euler ne sont plus orthogonaux comme pour le cas d’un dipˆole et leur

in-clusion dans le mod`ele IMM n´ecessite de modifier les ´equations de transport du plasma

magn´etosph´erique.

Syst`emes de coordonn´ees g´en´eralis´ees non orthogonales

Avant d’aborder la d´erivation des ´equations de la convection magn´etosph´erique, nous

rappelons quelques r`egles de calcul relatives aux coordonn´ees g´en´eralis´ees non

orthogo-Dans ce qui suit les potentiels d’Eulerα etβ seront d´enomm´es respectivement par x₁

et x₂, et l’abscisse curviligne s par x₃. Nous supposons que les coordonn´eesx_i d´efinissent

un syst`eme de coordonn´ees direct. Nous introduisons le param`etre de volume :

W= (∇x₁× ∇x₂· ∇x₃)⁻¹ (5.7)

reli´e au volume ´el´ementairedϑ dans l’espace (x₁, x₂, x₃) par :

dϑ =W dx₁dx₂dx₃ (5.8)

et les vecteurs d’aire a_i qui sont donn´es par les produits de W et des gradients de x_i

a_i=W∇x_i (5.9)

On peut v´erifier `a partir de (5.1) et (5.9) que a<sub>1</sub> eta<sub>1</sub> sont perpendiculaires `aB :

B= ^a1×a₂

W^{2 (5.10)}

Par cons´equent, n’importe quelle fonction vectorielle peut ˆetre d´evelopp´ee localement

sur le plan qu’ils d´efinissent et sur la composante a₃. Pour un syst`eme de coordonn´ees

g´en´eralis´ees, les expressions du gradient et de la divergence sont donn´ees par (Richmond,

1995a) :

∇ξ= ¹

W

3

i=1

∂ξ

∂x_i^{ai (5.11)}

∇ ·Ψ = ¹

W

3

i=1

∂

∂x_i^(ai·Ψ) (5.12)

o`u ξ and Ψ sont respectivement des fonctions scalaire et vectorielle.

En ins´erant B et a₃ dans (5.7) et en divisant par W (suppos´e non nul), on montre

que :

B·a₃ = 1 (5.13)

Comme nous le verrons, cette relation permettra de simplifier les calculs.

Volume d’un tube de flux

Comme nous l’avons vu dans le chapitre 2, le passage des ´equations du transport du

plasma magn´etosph´erique de trois `a deux dimensions repose sur une int´egration des ces

´

equations le long des lignes de champ magn´etique, o`u intervient le volume ϑdes tubes de

champ magn´etique de flux ´egal `a l’unit´e.

88

5.2. Equations de la dynamique coupl´ee du syst`eme Magn´etosph`ere–Ionosph`ere dans le

cas d’un champ magn´etique quelconque

Dans la relation 5.8, dx₁ et dx₂ sont orthogonaux `a B et un ´el´ement dx₁dx₂ occupe

une surface ´el´ementaire dS donn´ee par :

dS = (∇x₁× ∇x₂·n)⁻¹dx₁dx₂ (5.14)

o`u n est la normale `a dx₁dx₂ donn´ee par B/B, et si dx₁dx₂ = 1 alors :

BdS = 1 (5.15)

dϑ =W dx₃ (5.16)

o`u dϑ est le volume de flux magn´etique unit´e le long de x₃ qui peut ˆetre diff´erent du

volume le long deB. L’int´egration le long du tube de flux entre ses extr´emit´esx_3,S etx_3,N

aboutit `a :

ϑ=

_x

_3,N

x

3,S

W dx₃ (5.17)

o`u ϑ est le volume du tube de force de flux ´egal `a l’unit´e.

No documento A sépsis na pessoa em situação crítica da urgência ao internamento - uma intervenção de enfermagem especializada (páginas 40-49)