5.2 Mapa de ondas de deriva
6.1.3 Shear linear
Nesta etapa, o perfil do campo elétrico radial é aproximado por uma função quadrática, de forma que o shear, d�/d�, varia linearmente com o raio, como mostra a Figura 6.4. O número de rotação em função de �, para � = 0, é mostrado na Figura 6.5, onde os pontos indicam o mínimo da função, isto é, com d�/d� = 0, eles localizam a região onde deve ocorrer a curva sem shear. Para valores muito pequenos da perturbação, esses extremos se deslocam um pouco, alterando a posição da curva sem shear, como pode ser visto
nas Figuras6.8b e 6.9b. As Figuras 6.6a- f mostram como o espaço de fase se modifica conforme se altera o valor do bias. Os mesmos gráficos são mostrados e discutidos em maiores detalhes mais adiante.
Figura 6.4: Shear do campo elétrico, d�d�, em função do raio.
Figura 6.5: Número de rotação, �, para � = 0, na aproximação de shear linear do campo
6.1. Resultados 63
(a) (b) (c)
(d) (e) (f )
Figura 6.6: Espaço de fase do mapa de ondas de deriva com aproximação de shear do
campo elétrico linear, para (a) ���� = 0 V; (b) ���� = 4 V; (c) ���� = 8 V; (d) ���� = 10 V; (e) ���� = 15 V; (f) ���� = 20 V.
Na Figura 6.7a, com ���� = 0 V, observa-se a curva sem shear, destacada em azul. Nota-se que ela separa o espaço de fase em duas regiões. Na parte superior, há a formação de cadeias de ilhas nas proximidades da curva sem shear; mais acima, observa-se um forte stickiness em torno de uma série de ilhas menores. Na parte inferior, dominam órbitas caóticas, cuja concentração de pontos é bastante rarefeita, devido ao escape das trajetórias, isto é, a interrupção das iterações do mapa quando ︀��+1+ �2 ≤ 0.
Para traçar a curva sem shear, calculou-se o perfil do número de rotação sobre condições iniciais com � = 0,5, mostrado na Figura 6.7b. Nesta, o ponto em destaque, que corresponde a um máximo local, identifica a condição inicial �0 que traça a curva sem
shear mostrada ao lado.
Nas Figuras 6.8a e 6.9a, respectivamente com ���� = 4 e ���� = 6 V, as órbitas em vermelho e as órbitas em verde permanecem separadas pela curva sem shear (em azul), que forma uma barreira de transporte. As Figuras 6.8be6.9bmostram os perfis do número de rotação utilizados para identificar a curva sem shear nos respectivos espaços de fase.
(a) (b)
Figura 6.7: ���� = 0 V: (a) Espaço de fase do mapa de ondas de deriva mostrando a curva sem shear (em azul). (b) Perfil do número de rotação do mapa em (a), com condições iniciais sobre � = 0,5. O ponto em azul indica o máximo do número de rotação, correspondendo à localização da curva sem shear.
6.1. Resultados 65
(a) (b)
Figura 6.8: ���� = 4 V: (a) Espaço de fase do mapa de ondas de deriva mostrando a curva sem shear (em azul). (b) Perfil do número de rotação do mapa em (a), com condições iniciais sobre � = 0,5. O ponto em azul indica o máximo do número de rotação, correspondendo à localização da curva sem shear.
(a) (b)
Figura 6.9: ���� = 6 V: (a) Espaço de fase do mapa de ondas de deriva mostrando a curva sem shear (em azul). (b) Perfil do número de rotação do mapa em (a), com condições iniciais sobre � = 0,5. O ponto em azul indica o máximo do número de rotação, correspondendo à localização da curva sem shear.
Para o caso do mapa com ���� = 8 V, não foi possível encontrar a curva sem shear. A Figura6.10amostra o espaço de fase e uma ampliação das estruturas regulares na região onde se esperaria encontrá-la. Nota-se o surgimento de algumas ilhas em meio às curvas invariantes. Como se pode verificar na Figura6.10b, dentro da precisão do cálculo efetuado, não identificamos um ponto de máximo ou mínimo no perfil do número de rotação. Para tentar verificar quando ocorre essa mudança, foram interpolados perfis radiais do campo elétrico para os valores de bias 7 e 9 V, ou seja, valores inteiros imediatamente abaixo e acima de ���� = 8 V. Os resultados são mostrados nas Figuras 6.11a - d. Uma mudança notável que ocorre entre esses casos é a direção da concavidade do perfil do número de rotação. Pode-se supor, então, que o comportamento particular do mapa quando ���� = 8� ocorre para um parâmetro de transição do perfil do número de rotação.
6.1. Resultados 67
(a)
(b)
Figura 6.10: ���� = 8 V: (a) Espaço de fase do mapa de ondas de deriva com ampliação da região onde se esperaria encontrar a curva sem shear. (b) Perfil do número de rotação do mapa em (a), com condições iniciais sobre � = 0,5.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 6.11: Mapas com perfil radial do campo elétrico interpolado dos valores experi-
mentais. Os pontos destacados nos perfis do número de rotação, calculados sobre � = 0,5, indicam as localizações das curvas sem shear, mostradas em azul nos mapas.
���� = 7 V: (a) Espaço de fase. (b) Número de rotação. ���� = 9 V: (c) Espaço de fase. (d) Número de rotação.
6.1. Resultados 69
Com o aumento do bias, em particular, a partir de ���� = 10 V, ocorre a quebra da curva sem shear. As Figuras 6.12a -c ilustram o comportamento das órbitas caóticas após esse evento. Nesses casos, sem a barreira de transporte, o espaço de fase não fica mais divido em duas partes e as órbitas caóticas podem se difundir por ele. Nota-se, entretanto, que, logo após a quebra da curva sem shear, o efeito da barreira ainda persiste e as trajetórias tendem a permanecer provisoriamente (durante um número finito de iterações) nas regiões antes delimitadas. Tal efeito, conhecido como stickiness (Efthymiopoulos et al. ,1997; Contopoulos & Harsoula, 2008;Szezech Jr et al. ,2009, 2012) pode ser visto na Figura 6.13, com ampliação da região que separa as trajetórias. As Figuras 6.12b
e c mostram que, gradativamente, as órbitas se espalham mais pelo espaço de fase. É natural que esse efeito tenha um impacto sobre o transporte e, nesse sentido, possa ser caracterizado pelo cálculo do desvio quadrático médio, discutido a seguir.
(a) (b) (c)
Figura 6.12: (a) ���� = 10 V; (b) ���� = 15 V; (c) ���� = 20 V. Em (a), ocorre a quebra
da curva sem shear, mas o efeito de barreira de transporte ainda é visível. Em (b) e (c), o efeito da barreira se desvanece.
Figura 6.13: ���� = 10 V: Ampliação da região onde antes existia a curva sem shear. A área hachurada destaca a região onde se localizam as condições iniciais para o cálculo do desvio quadrático médio e do tempo de escape das mesmas.
Para analisar o impacto da destruição da curva sem shear sobre o transporte, foram calculados o desvio quadrático médio da posição radial, �2, e o tempo de escape das
trajetórias, para cada valor de bias. O desvio quadrático médio é dado pela Equação (4.2.11), �2(�) = 1 � � ︁ �=1 (��(�) − ��(0))2
O tempo de escape é melhor ilustrado em termos da quantidade de órbitas remanescentes ao longo do tempo, �(�), para uma dada quantidade de condições iniciais. Vale lembrar que os mapas foram iterados com a condição de escape ︀��+1+ �2 ≤ 0, ou seja, as
iterações são interrompidas sempre que a variável � satisfaz essa condição. Tanto �2
quanto � foram calculados para 2 × 104 condições iniciais uniformemente distribuídas na
região entre 0,4 ≤ � ≤ 0,6 e 0,9 ≤ � ≤ 1, ilustrada na área hachurada da Figura6.13. A Figura6.14ilustra o “decaimento” exponencial das órbitas, ou seja, a quantidade de trajetórias que permanecem na região do espaço de fase definido pela condição ��+1+�2 > 0.
6.1. Resultados 71
existente para valores menores de bias impede o acesso daquelas condições iniciais à região de escape. Neste gráfico, é notável a persistência das órbitas no mapa com ���� = 10 V, devido ao efeito remanescente da barreira de transporte relacionado ao fenômeno de stickiness. Com o aumento do bias, as trajetórias escapam mais rapidamente, e apenas algumas centenas delas ainda permanecem ao fim de 106 iterações.
Figura 6.14: Escape das trajetórias: órbitas remanescentes em função do tempo. 2 × 104
condições iniciais entre 0,4 ≤ � ≤ 0,6 e 0,9 ≤ � ≤ 1.
A Figura 6.15amostra o desvio quadrático médio para as primeiras mil iterações, enquanto a Figura 6.15bmostra o mesmo cálculo até 106 de iterações. Em (a), mesmo
com poucas iterações, já é possível notar a diferença no comportamento dos mapas para diferentes valores de bias. Nesse sentido, observa-se um deslocamento maior para os valores 10, 15 e 20 V, relacionando-se à quebra da curva sem shear nesses casos. No gráfico mostrado em (b), fica ainda mais evidente a diferença entre os mapas antes e depois da quebra da barreira de transporte. Para os bias 4, 6 e 8 V, o desvio quadrático médio tende a saturar rapidamente, uma vez que a região do espaço de fase acessível às órbitas é limitada pela curva sem shear. Por outro lado, para os valores 10, 15 e 20 V, após a quebra da barreira, �2 aumenta significativamente, e é tanto maior quanto maior o valor do bias,
últimos casos, �2 passa a oscilar cada vez mais ao longo do tempo, em decorrência do
escape das trajetórias e consequente diminuição dos dados estatísticos. No entanto, as curvas para os bias 4, 6 e 8 V apresentam pouca variação, pois o número de trajetórias que contribuem para o cálculo de �2 permanece sempre o mesmo.
(a) (b)
Figura 6.15: Desvio quadrático médio, �2, calculado para 20000 condições iniciais dis-
tribuídas entre 0,4 ≤ � ≤ 0,6 e 0,9 ≤ � ≤ 1, ou seja, na região superior do espaço de fase.
Com isso, é possível calcular o coeficiente de difusão, dado pela Equação (4.2.12), e estimar o valor do expoente � que satisfaz �2 ∝ ��, fornecendo, assim, uma estimativa sobre
o tipo de transporte. A Tabela6.1 resume os valores de � encontrados em três intervalos de tempo distintos, para cada valor de bias. As primeiras 100 iterações apresentam valores de � mais próximos de 1, em particular para ���� = 15 V, que pode ser considerado difusivo, enquanto ���� = 20 V corresponde a um valor maior que 1, indicando um sistema superdifusivo. Em seguida, no intervalo de 100 a 1000 iterações, os valores de � diminuem, mesmo para o caso de ���� = 20 V. De maneira geral, o intervalo de 0 a 1000 iterações apresenta valores ligeiramente abaixo de 1, de forma que esse transporte é, essencialmente, subdifusivo.
6.1. Resultados 73
Tabela 6.1: Valores do expoente � para três intervalos de tempo distintos.
bias (V) Iterações (n) 4 6 8 10 15 20 0 - 100 0,855 0,883 0,841 0,909 0,998 1,102 100 - 1000 0,851 0,813 0,871 0,832 0,803 0,908 0 - 1000 0,860 0,824 0,849 0,813 0,835 0,918
Considerações gerais
Os resultados acima foram divididos conforme a aproximação para a dependência radial do campo elétrico de equilíbrio. Em particular, a aproximação quadrática do perfil do campo elétrico introduz uma dependência do parâmetro � em relação à variável �, de forma que o mapa não satisfaz a condição twist e o número de rotação adquire um perfil não monotônico, cujo ponto de mínimo corresponde à localização da curva sem shear.
Esse efeito é observado nos mapas com os valores de bias disponíveis entre 4 e 10 V. A partir de ���� = 10 V, a curva sem shear é destruída, embora, para este valor, o efeito da barreira de transporte ainda persista. Já para os valores de bias 15 e 20 V, o efeito da barreira de transporte desaparece e as órbitas podem se difundir pelo espaço de fase. Para o valor de ���� = 8 V, não foi possível encontrar a curva sem shear e a interpolação do perfil do campo elétrico para os valores de 7 e 9 V mostrou que ocorre a inversão da concavidade do perfil do número de rotação para os mapas entre esses valores.
A quantidade de trajetórias que permanece no espaço de fase definido pela condição de escape mostrou-se notavelmente maior para ���� = 10 V, enquanto valores maiores do bias apresentam apenas algumas poucas trajetórias remanescentes ao fim de 106 iterações.
O desvio quadrático médio também apresenta diferenças significativas entre os diversos valores de bias. Nos mapas com bias 4, 6 e 8 V, este tende a saturar rapidamente, enquanto os demais casos, após a quebra da curva sem shear, apresentam �2 ainda crescente com o
tempo.
Com isso, para as primeiras 100 iterações, o mapa para ���� = 15 V apresenta um valor de � muito próximo de 1, podendo ser considerado um sistema difusivo. Já para ���� = 20 V, encontrou-se um valor maior que 1, indicando um sistema superdifusivo. Por outro lado, os demais valores de bias resultam em coeficiente menores que 1, indicando sistemas subdifusivos. No intervalo de 100 a 1000 iterações, os valores de � diminuem, bem como se observados sobre todo o intervalo, ou seja, de 0 a 1000 iterações, apresentando valores ligeiramente abaixo de 1.
Capítulo 7
Conclusão
Como apresentado na introdução desta dissertação, o objetivo do trabalho foi in- troduzir um mapa de ondas de deriva para o Texas Helimak, visando estudar o efeito do potencial de bias sobre o transporte de partículas no plasma confinado neste equipamento. Este consiste em um mapa simplético bidimensional, descrito em termos das variáveis canônicas de ação-ângulo, (�, �). Ele possui dois parâmetros de controle adimensionais, � e �, relacionados às grandezas físicas do sistema. O parâmetro � é proporcional à amplitude da perturbação, enquanto o parâmetro � é dependente do perfil radial do campo elétrico, que varia para cada valor do potencial de bias.
Os parâmetros do mapa foram calculados a partir de dados experimentais obtidos em trabalhos recentes, nos quais o valor do potencial de bias é fixado em cada disparo. Os valores de bias disponíveis foram 4, 6, 8, 10, 15 e 20 V, além do valor nulo. Com isso, tem-se uma configuração do campo elétrico para cada um desses valores, e, consequentemente, um conjunto de parâmetros associado a cada um deles.
Os resultados foram apresentados conforme a aproximação para a dependência radial do campo elétrico de equilíbrio. Na aproximação de um campo elétrico uniforme, o parâmetro � permanece constante e o mapa apresenta características de mapas simpléticos twist. Por outro lado, as aproximações linear e quadrática do perfil do campo elétrico introduzem uma dependência do parâmetro � em relação à variável �, de forma que o
mapa não mais satisfaz a condição twist.
Com isso, o número de rotação adquire um perfil não monotônico, cujo ponto de mínimo corresponde à localização da curva sem shear. Esta, por sua vez, tem o efeito de uma barreira de transporte, dividindo o espaço de fase em duas regiões: órbitas com condições iniciais acima da curva sem shear não acessam a região do espaço de fase abaixo dela, e vice-versa. Esse efeito é observado nos mapas com valores de bias aplicados ao Texas Helimak entre 4 e 10 V.
A partir de ���� = 10 V, a curva sem shear é destruída. Para avaliar como ocorre sua destruição, consideramos mapas com valores de bias diferentes dos medidos experimen- talmente. Mais precisamente, escolhemos os valores de 7 e 9 V. Ao fazer a interpolação do perfil do campo elétrico para esses valores, observa-se a inversão da concavidade do perfil do número de rotação. Ou seja, para ���� = 9 V, a curva sem shear passa a ser localizada por um máximo local do perfil do número de rotação, e não mais por um ponto de mínimo, como para os valores de bias menores que 9 V. É interessante notar que, para o valor de ���� = 8 V, não foi possível encontrar a curva sem shear.
Ainda para ���� = 10 V, no entanto, o efeito da barreira de transporte ainda persiste, devido ao efeito de stickiness, de maneira que poucas órbitas cruzam a região onde antes se encontrava a curva sem shear e ainda é possível observar uma divisão do espaço de fase. Já para os valores de bias 15 e 20 V, o efeito da barreira de transporte desaparece e as órbitas podem facilmente se difundir pelo espaço de fase. Em vista disso, foram calculados o desvio quadrático médio e o tempo de escape das trajetórias, �2 e �, respectivamente, que
fornecem informações acerca do impacto da quebra da curva sem shear sobre o transporte. A quantidade de trajetórias que permanece no espaço de fase definido pela condição de escape mostrou-se notavelmente maior para ���� = 10 V, enquanto valores maiores do bias apresentam apenas algumas poucas trajetórias remanescentes ao fim de 106 iterações.
Isso ocorre em função da persistência do efeito da barreira de transporte e do efeito de stickiness nas proximidades de pequenas ilhas remanescentes, mesmo após a quebra
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da curva sem shear. Tal resultado também possui efeito sobre o cálculo de �2, pois a
diminuição da quantidade de órbitas ao longo do tempo prejudica a estimativa daquela grandeza.
Logo nas primeiras iterações (� ∼ 103), o desvio quadrático médio apresenta di-
ferenças significativas entre os diversos valores de bias, aumentando mais rapidamente para valores maiores do bias. Após diversas iterações (� ∼ 106), é possível observar o
impacto da quebra da curva sem shear sobre �2: nos mapas com bias 4, 6 e 8 V, para os
quais o espaço de fase é dividido pela barreira de transporte, o desvio quadrático médio tende a saturar rapidamente, enquanto os demais casos, após a quebra da curva sem shear, apresentam �2 ainda crescente com o tempo.
Utilizando os resultados para o desvio quadrático médio, pôde-se calcular o valor do expoente � que satisfaz �2 ∝ ��, obtendo, assim, uma estimativa sobre o tipo de transporte.
Com isso, observou-se que, para as primeiras 100 iterações, o mapa para ���� = 15 V pode ser considerado como um sistema difusivo, apresentando valor de � muito próximo de 1. Já para ���� = 20 V, encontrou-se um valor maior que 1, indicando um sistema superdifusivo. Por outro lado, os demais valores de bias resultam em coeficiente menores que 1, indicando sistemas subdifusivos. No intervalo de 100 a 1000 iterações, os valores de � diminuem, bem como se observados sobre todo o intervalo, ou seja, de 0 a 1000 iterações, apresentando valores ligeiramente abaixo de 1.
Portanto, este trabalho constituiu uma oportunidade para o estudo do transporte de partículas no Texas Helimak, considerando suas características geométricas e de confina- mento do plasma. Nesse sentido, o modelo do mapa de ondas de deriva permitiu observar a formação e destruição da curva sem shear, bem como seu efeito sobre o transporte, em função do valor do potencial de bias. Também pôde-se trabalhar conceitos fundamentais da teoria de sistemas dinâmicos, com a possibilidade de visualizar sua aplicação a um sistema conhecido, baseado em dados experimentais e através da elaboração de códigos computacionais específicos para o problema.
Por fim, nota-se, ainda, a possibilidade de uma investigação mais acurada sobre o comportamento do mapa com ���� = 8 V, para o qual ocorre a inversão da concavidade do perfil do número de rotação e a dificuldade, no âmbito deste trabalho, de investigar a dinâmica da curva sem shear. Também seria possível estudar o comportamento do mapa em função da variação da amplitude da perturbação, à qual é proporcional o parâmetro � do mapa, bem como introduzir o shear do campo magnético.
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