Os significados da média aritmética

Particularmente importante para nossa pesquisa também é a aplicação dos significados. A respeito do caráter complexo do conceito estatístico de "média", Batanero (2000) sugere que este emerge progressivamente de um campo de problemas dos quais ela elenca quatro tipos aplicáveis a média, que são os seguintes:

Tabela 3 - Significado da média aritmética

Ordem Significados do conceito de média aritmética

1º Estimação de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medição – cálculo da melhor estimativa de um valor desconhecido

2º Necessidade de obter um valor justo/equitativo para uma distribuição uniforme.

3º Servir de elemento representativo de um conjunto de dados, cuja distribuição é simétrica. 4º Valor mais provável quando aleatoriamente tomamos um elemento de uma população.

Batanero (2000) argumenta que o campo composto pelos problemas, primeiro práticos e mais tarde teóricos (no sentido da formalização, generalização), exemplificados por esses tipos descritos acima, tem levado a definição do conceito de média à identificação de suas propriedades.

Descrevemos com mais detalhes os quatro significados definidos por Batanero(2000) a respeito do conceito da média. Incluímos, também, considerações sobre as dificuldades dos estudantes associadas a esses elementos que foram identificados nas pesquisas relacionadas ao conceito de média aritmética.

A autora destaca que o reconhecimento dos problemas, das situações que envolvem o conceito de média é um aspecto fundamental para resolvê-los. Por exemplo, não é suficiente conhecer o algoritmo e as definições de medidas de tendência central, ou mesmo saber calcular, se não há reconhecimento dos problemas que envolvem o conceito de média.

No significado 1, conforme apresentado na TABELA 3, a autora destaca que precisamos medir, em algumas situações, uma quantidade desconhecida x várias vezes para poder obtermos um valor mais aproximado da amostra real. A autora traz o seguinte exemplo: “um pequeno objeto é pesado com o mesmo instrumento por oito alunos de uma classe, obtendo os seguintes valores em gramas: 6,2; 6,0; 6,0; 6,3; 6,1; 6,23; 6,15; 6,2. Qual seria a melhor estimativa do peso real do objeto?” (BATANERO, 2000, p. 2).

Segundo Batanero (2000), se os alunos se depararem com este tipo de problema, é muito provável que a maioria somará os valores e dividirá por oito, obtendo assim o valor de 6,1475. A autora destaca que, em muitas situações, precisamos medir uma quantidade desconhecida x de certa magnitude. Contudo, devemos considerar as imperfeições de nossos instrumentos, pois com várias medições será comum obtermos números diferentes como medidas de x. Assim, não devemos pensar que um valor estará mais próximo de um ou de outro dos dados obtidos. Questões desse tipo são muito comuns em áreas como a Física, a Química e a Astronomia. Esse significado, em pesquisas como as de Melo (2010) e de Marcolino (2017), apresentaram um alto índice de dificuldades por parte dos participantes.

No significado 2, apresentado na TABELA 3, a autora coloca em evidência que, ao precisarmos realizar uma distribuição uniforme de determinada amostra, fazemos uso da média aritmética. A autora destaca um exemplo para uma melhor compreensão, vejamos: “algumas crianças levam doces para as aulas. André leva 5, Maria 8, José 6, Carmem 1 e Daniel não leva nenhum. Como distirbuir esses doces de forma equitativa?” (BATANERO, 2000, p. 3).

Neste exemplo, Batanero (2000) destaca a necessidade de se obter uma quantia equitativa para dividir uniformemente; sendo assim, é necessário que se considere todos os

dados da amostra. Esse tipo de significado é muito comum no nosso cotidiano, como, por exemplo, ao calcularmos a nota final de uma disciplina que foi composta por várias atividades avaliativas. Algumas pesquisas (MELO, 2010; EUGÊNIO, 2013; MAGINA et al., 2001; MARCOLINO, 2017; LIMA, 2005) observaram que este significado é considerado abstrato para alguns alunos e que outros apresentam um alto índice de dificuldades.

No significado 3, a autora leva em consideração a propriedade de localização central, tomando a média como representante de um conjunto de dados. Vejamos o exemplo destacado pela autora (2000, p.3, grifos nossos): “ao medir a altura em cm, que um grupo de estudantes pode pular, antes e depois de ter um treinamento esportivo, os seguintes valores foram anotados. Você acha que o treinamento é significativo?” (BATANERO, 2000, p. 3).

Tabela 4 - Exemplo do significado 3

Altura que saltou em cm

Aluno Ana Bia Carol Diana Elena Fanny Gia Hilda Ines Joana Antes do treinamento 115 112 107 119 115 138 126 105 104 115 Depois do treinamento 128 115 106 128 122 145 132 109 102 117

Fonte: Batanero (2000)

Nesse exemplo, a autora destaca alguns dados da altura média antes e depois de um treinamento, com o objetivo de analisar se surtiu algum efeito. Sendo assim, para conseguirmos representar um conjunto de dados fazendo uso da média aritmética, é necessário considerar suas propriedades de localização central. Ressalta-se também que, quando o conjunto é formado por valores discrepantes, faz-se necessário o uso de outras medidas de tendência central, tais como: a moda e mediana. Em algumas pesquisas (CAZORLA, 2002; CAETANO, 2004; MELO, 2010), os autores concluem que esse significado é o mais complexo para os participantes.

Por último, conforme a TABELA 4, a autora descreve o significado 5 e destaca a necessidade de se conhecer o valor que será obtido com maior probabilidade quando se toma um elemento aleatório de uma população amostral. Batanero (2000, p.4) destaca o seguinte exemplo a respeito desse significado:

A altura média dos alunos de uma determinada escola é de 1,40m. Se retirarmos aleatoriamente uma amostra de 5 alunos, medindo assim, a altura dos 4 primeiros, descobrimos que eles tem altura igual a: 1,38m, 1,42m, 1,60m e 1,40m. Desta forma, qual será a altura mais provável do quinto aluno?

Neste exemplo, Batanero (2000) destaca a necessidade de conhecer um determinado valor que será obtido com maior probabilidade quando se toma um elemento aleatório de uma população. Esse significado faz-se presente constantemente no cotidiano da população; por exemplo, atualmente no Brasil fala-se muito na reforma da previdência, com argumentos que a população está envelhecendo. Neste contexto, ao prever a expectativa de vida da população ou o tempo que a população usufruirá de benefício (aposentadorias), a média da variável da idade da população e o tempo que receberá o benefício é tomada como uma possibilidade, como um valor provável, por suas propriedades de amostra derivadas do teorema do limite central. Desta forma, quando prevemos o tempo de vida de uma população, usamos a idade média da população amostral a que estamos nos referindo.

Portanto, segundo Batanero (2000) é desejável que esses significados sejam formalizados nas escolas progressivamente a partir de diferentes situações-problemas, com os quais os estudantes se deparam ao longo do processo de escolarização. Sendo assim, usamos como base os quatro significados elencados por Batanero (2000) para analisar as respostas apresentadas pelos alunos do 3º ano que fazem parte de nossa pesquisa.

O conceito de média aritmética é compreendido como um conceito básico da estatística e é um dos mais utilizados no dia a dia das pessoas (POLLATSEK et al., 1981). Cotidianamente fazemos uso da média aritmética, seja na escola, ao calcularmos a nota obtida em uma determinada disciplina, ao sair com os amigos para um bar e ao final dividirmos a conta, entre outras ocasiões.

Porém, apesar de ser simples o conceito de média aritmética, resultados de algumas pesquisas (EUGENIO, 2013; MELO, 2010; MAGINA et al., 2001) têm demonstrado que os alunos apresentam bastante dificuldades na resolução de questões que envolvem seu conceito. Um exemplo são os estudos dos autores Strauss e Bichler (1988), que investigaram como 80 estudantes compreendiam o conceito de média. No estudo dos autores, os alunos também apresentaram dificuldades, fazendo com que eles elencassem sete propriedades que devem ser ensinadas nas escolas, com objetivo de os estudantes dominarem o conceito de média.