Simulação de Grandes Escalas LES

A primeira aplicação de simulação de grandes escalas - LES, em problemas da engenharia foi apresentada em 1970 por James W. Deardor para representação de escoamento turbulento em canal. Entretanto, já em 1963, Smagorinsky desenvolve

uma aplicação em meteorologia para circulação da atmosfera [33]. Neste trabalho, Smagorinsky apresenta uma formulação bastante signicativa para tratamento de LES, que é fortemente utilizado até os dias atuais.

A simulação de vórtices de grandes escalas (LES), é desenvolvida com base na observação de que as pequenas estruturas de movimento turbulento possuem um caráter homogêneo e isotrópico, mais universal do que as grandes escalas, que trans- portam a energia turbulenta. Assim, o principal objetivo deste método consiste em resolver as grandes estruturas de turbilhões com precisão, proveniente do trata- mento direto de solução das equações de Navier-Stokes, aproximando os efeitos das pequenas escalas por modelos matemáticos.

Os métodos DNS e LES apresentam signicativa similaridade no que se refere ao renamento da malha a serem utilizadas, o que acarreta num elevado custo com- putacional. Todavia, a metodologia LES permite resolver escoamentos a elevados números de Reynolds, utilizando o processo de ltragem das escalas, que permite identicar para uma malha a menor escala de representação dos turbilhões. Sendo as estruturas de escala inferior a esta reproduzidas por modelos sub-malha, enquanto que o método DNS capturaria as menores escalas apenas para uma malha com maior renamento (ver Figura 3.1).

a) Escoamento turbulento b) Velocidade u(t) num ponto Figura 3.1: Representação esquemática da relação entre as metodologias DNS e LES [17]

3.3.1.1 Formulação do Método

O desenvolvimento da simulação LES é realizado com base na ltragem das gran- des escalas, de maneira que se faz necessário obter uma decomposição das variáveis do campo total em termos de componentes de grande escala f(x, t) e as pequenas escalas f0_{(x, t), ditas sub-malha.}

Para tanto, a parte ltrada é estabelecida por:

f (x, t) = Z

D

f0(x0, t)G(x − x0)dx (3.15) onde G é a função de ltro, responsável pela estrutura e tamanho das menores escalas, que depende da diferença (x − x0_{) e da largura o ltro ∆. As funções de}

ltro G mais utilizadas são o ltro de Fourier, Gaussiano e no espaço real. Este último é denido por:

G(x, t) = ( 1/∆3 se |x| ≤ ∆/2 0 se |x| > ∆/2 ) (3.16) Ao aplicar o processo de ltragem na descrição do escoamento regida pelas Eq. 3.1 e Eq. 3.2, resulta-se em:

∂ui ∂xi = 0 (3.17) ρ∂ui ∂t + ρ ∂uiuj ∂xj = ρfi− ∂p ∂xi + µ∂ 2_u i ∂x2 j (3.18) Avaliando a Eq. 3.18, observa-se a presença de um termo convectivo não linear na forma de produto ltrado uiuj, o que acarreta em um problema de fechamento

das equações (mais variáveis que equações), uma vez que o produto do ltro não é comutativo. Para mitigar esse problema, é introduzida a relação ui uj combinada

ao uso de manipulações matemáticas, obtém-se a nova expressão:

ρ∂ui ∂t + ρ ∂uiuj ∂xj = ρfi− ∂p ∂xi + µ∂ 2_u i ∂x2 j − ∂τji ∂xj (3.19)

onde τji é o termos de tensões de Reynolds sub-malha:

τji = uiuj − ui uj (3.20)

A tensão τji representa a inuência das escalas ltradas sub-malha no com-

portamento das grandes escalas captadas e representadas pela malha. A solução do problema ca, portanto, condicionada a obtenção da solução associada a este termo. A inexistência de uma formulação analítica para representação exata deste tensor limita a solução do problema a modelos numéricos. Um modelo bastante difundido é o modelo de Smagorinsky que será apresentado no presente trabalho.

3.3.1.2 Modelo de Smagorinsky

Boussinesq propôs expressar o tensor de tensão de Reynolds sub-malha por meio de uma relação entre as tensões turbulentas e as tensões viscosas (apud [34]). Nessa

perspectiva o tensor pode ser expresso por:

τji = 2υTSij (3.21)

O uso do modelo sub-malha de Smagorinsky está limitado em termos de esco- amentos complexo que acarretem em condições de escoamento próximo à parede e recolamento, consequência do uso de única constante Cs. Um estudo realizado

por Germano et al. [35] e posteriormente modicado por Lilly [36], é proposto um modelo dinâmico de viscosidade turbulenta auto-adaptativo, no qual o coeciente Cs passa ser uma função do espaço e tempo e determinado por meio de dois ltros

de diferentes comprimentos característicos.

A primeira ltragem considerada faz uso da discretização das equações, para as características da dimensão dos elementos da malha, denindo um ltro no nível de malha. O segundo ltro considerado é dito "ltro teste", de dimensão característica maior que o ltro principal, ou ltro de malha. Considerando estes dois níveis de escala para avaliação dos turbilhões, o modelo dinâmico faz uso de informações relativas à menor escala resolvidas, contida na região entre os ltros, para calcular o coeciente dinâmico, bem como incorporar a transferência de energia entre as escalas ltradas e as escalas sub-malha.

O modelo de Smagorinsky (1963) permite representar os efeitos das escalas sub- malha, no comportamento das grandes escalas, partindo da hipótese de existência de um equilíbrio local para as pequenas. Como bem a presentado por [34], o modelo de Smagorinsky prevê que a viscosidade turbulenta sub-malha é proporcional à escala de velocidade e ao comprimento do ltro referente à malha, dada por:

υT = (Csl)2

√

εijεij (3.22)

onde Cs é a constante de Smagorinsky. A denição do valore de Cs é uma questão

bastante delicada, pois está associada ao tipo de escoamento envolvido.

Em 1967, D. K. Lilly determinou o valor de Cs = 0,18, admitindo turbulência iso-

trópica e homogênea. Todavia, este valor acarreta em um excessivo amortecimento nas utuações de grandes escalas em escoamentos cisalhantes ou com fronteiras sóli- das. Dessa forma, Cs não é uma constante universal, podendo assumir valores entre

Capítulo 4

Tratamento Computacional

4.1 Software EdgeCFD

Neste trabalho utilizou-se uma ferramenta computacional intitulada EdgeCFD. Trata-se de um software desenvolvido e aperfeiçoado no Núcleo de Atendimento a Computação de Alto Desempenho - NACAD/COPPE-UFRJ, para simulação numé- rica de problemas sob escoamento incompressível.

O software EdgeCFD é uma ferramenta computacional para CFD baseada no mé- todo de elementos nitos de uso geral. Emprega a formulação SUPG/PSPG/LSIC para as equações de Navier-Stokes incompressíveis e a formulação SUPG com cap- tura de descontinuidades para transporte escalar [3739]. O EdgeCFD usa o modelo de Smagorinsky para tratar a turbulência [37].

Esse código usa um algoritmo preditor-multicorretor de integração de tempo com passo de tempo adaptativo por um controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID). Dentro do loop de solução de escoamento, os passos de multicorreção cor- respondem ao método de Newton-Inexato. Nesta abordagem, o solver não linear adapta a tolerância de acordo com a evolução do resíduo da solução. O sistema de equações lineares é solucionado via Método dos Resíduos Mínimos Generalizados (GMRES). Os cálculos são realizados em paralelo usando um paradigma de memória distribuída através da biblioteca de interface de troca de mensagens (MPI), usando comunicação ponto-à-ponto. As integrais no EdgeCFD são calculadas usando a for- mulação de derivadas na forma fechada em coordenadas volumétricas ou usando uma regra de integração de um ponto (centróide). Assim, todos os coecientes nas matrizes e resíduos do elemento são explicitamente codicados [3740].

A m de evitar as instabilidades numéricas devido a simulação para elevados números de Reynolds, limitação do Método de Newton-Inexato, o software dispõe de uma função de incremento de velocidade que permite estabelecer uma rampa de crescimento do número de Reynolds, podendo fazer uso de passos de tempo

adaptativo, acelerando-se o uido gradualmente até o número de Reynolds desejado. A formulação RBVMS (do inglês Residual-Based Variational Multiscale formu- lation) e a condição de iteração uido-estrutura - FSI (do inglês Fluid-Structure Interection) encontravam-se em fase de desenvolvimento [41, 42], portanto, não fo- ram utilizadas nas simulações realizadas na presente pesquisa.