Simulação de um Cilindro Oscilando na Vertical

Para a validação do processo de simulação utilizado no trabalho, usou-se um modelo simples: um cilindro que oscila verticalmente, cujas dimensões e propriedades de massa são apresentadas na Tabela 3.

Tabela 3 - Propriedades do cilindro consideradas na análise.

Propriedade Valor Unidade

Massa 14,4e6 Kg

Raio 10 m

Altura 90 m

Fonte: Elaborado pelo autor.

Utilizando o programa de simulação AQWA, determinou-se o RAO do cilindro para o movimento vertical, visando determinar a frequência natural de movimento do sistema nesse grau de liberdade.

3.1.1. Procedimento para Determinação da Frequência Natural

Apesar de ser facilmente determinável analiticamente, partiu-se do pressuposto que inicialmente, não se conhecia a frequência natural do cilindro para o movimento de heave. Assim foi desenvolvido um procedimento iterativo para a determinação dessa frequência utilizando-se simulações computacionais.

Nesse procedimento, inicialmente investiga-se uma ampla faixa de frequências, com baixa discretização entre os valores. Conforme os valores mais altos de RAO são determinados, as faixas de frequência são estreitadas no entorno desse valor, em um processo iterativo que converge para o máximo valor de RAO cuja frequência corresponde a frequência do sistema para o movimento de heave.

3. DESENVOLVIMENTO 34

3.1.2. Determinação da Malha

É fato amplamente documentado na literatura que o resultado de um processo numérico, como o Método de Painéis, depende do grau de discretização da malha. Malhas com elementos menores convergem para resultados mais próximos ao do domínio continuo, no entanto exigem mais tempo de processamento.

Para determinar a malha utilizada nas simulações para validação do cilindro, foi realizado um estudo de convergência, avaliando-se a influência do tamanho da malha na determinação da frequência natural do sistema.

No programa AQWA, a geração da malha é controlada por dois parâmetros: tamanho máximo do elemento e tolerância. Iniciou-se a abordagem por uma malha grosseira, e foi-se então refinando a mesma até atingir a convergência dos valores. A Tabela 4 mostra os resultados das simulações feitas para vários tamanhos de malha. Ao analisar os dados da Tabela 4, observa-se que as maiores respostas, destacadas em cinza, acontecem para a frequência de 0,068 a 0,070 Hz, Conforme refina-se a malha, a frequência de maior resposta estabiliza em 0,070 Hz.

Tabela 4 – RAO de heave para movimento vertical do cilindro para diferentes malhas *

Frequência (Hz) Malha 10 : 3 Malha 7 : 1.5 Malha 4 : 1 Malha 3.5 : 1 Malha 3 : 0.8 Malha 2 : 0.5 Malha 1.5 : 0.3 0,065 4,382 3,710 3,249 3,203 3,170 3,105 3,087 0,066 5,700 4,571 3,861 3,792 3,743 3,648 3,622 0,067 8,367 6,067 4,827 4,715 4,636 4,484 4,441 0,068 46,611 20,347 10,615 10,040 9,655 8,960 8,775 0,069 13,026 34,012 27,787 24,476 22,445 19,101 18,284 0,070 6,781 10,813 23,133 26,301 29,132 35,831 37,993 0,071 4,473 6,055 9,042 9,593 10,046 11,082 11,428 0,072 3,281 4,112 5,399 5,604 5,767 6,121 6,234 0,073 2,556 3,065 3,773 3,879 3,961 4,135 4,189 0,074 1,722 1,965 2,270 2,312 2,344 2,412 2,432 0,075 1,461 1,643 1,863 1,893 1,916 1,963 1,978 * O primeiro número da identificação da malha refere-se ao tamanho do elemento [m] e o segundo número à tolerância [m]

Fonte: Elaborado pelo autor.

É importante observar que as variações observadas no cálculo do máximo valor de RAO não são importantes, visto que estão associadas à proximidade com o valor real da frequência natural e com o amortecimento do sistema. Do ponto de vista de

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engenharia, esses valores têm pouca importância, sendo importantes apenas para a determinação da frequência natural do sistema.

Assim, determinou-se o maior tamanho de elemento para o qual a frequência alcança o valor de convergência, admitindo-se que uma precisão de 0.01 Hz no cálculo da frequência natural é suficiente para os objetivos do presente trabalho.

Uma vez determinada a discretização de malha adequada as análises, essa foi empregada em todas as simulações apresentadas nesta seção do trabalho.

3.1.3. Frequência Natural de heave de um Cilindro Vertical

Um resultado bastante conhecido na literatura é que a frequência natural de um sistema dinâmico oscilando em um certo grau de liberdade pode ser determinada por meio da seguinte equação:

𝜔_𝑛 = √𝐾 𝑚

Onde K é a rigidez do sistema no grau de liberdade considerado e m é a massa do sistema.

No caso de um cilindro oscilando na água, a força restauradora que surge ao se deslocar um corpo na vertical é proporcional a variação do empuxo decorrente da variação do volume submerso do corpo.

A rigidez do sistema, por sua vez, equivale a força restauradora por unidade de deslocamento aplicada. Assim, sabe-se, pelo princípio de Arquimedes, que o peso da água adicionalmente deslocada ao mover-se verticalmente com o cilindro vale Aρwgx,

onde A representa a área de linha d’água do cilindro, ρw a massa específica da água,

x o deslocamento vertical do cilindro e g a aceleração da gravidade.

A massa do cilindro, por sua vez, pode ser calculada por Aρch, onde ρc

representa a massa específica do cilindro e h a altura total do cilindro.

Conhecendo a força restauradora e a massa do sistema, pode-se aplicar a segunda lei de Newton de maneira a se obter a equação diferencial que governa o movimento de oscilação vertical do cilindro:

3. DESENVOLVIMENTO 36 𝐴𝜌𝑐ℎ𝑥̈ + 𝐴𝜌𝑤𝑔𝑥 = 0 𝑥̈ +𝐴𝜌𝑤𝑔 𝐴𝜌𝑐ℎ 𝑥 = 0

A solução da equação diferencial que governa o movimento de oscilação implica em:

𝜔_𝑛 = √𝜌𝑤𝑔 𝜌_𝑐ℎ

Porém, nessa abordagem não está sendo considerada a massa adicional hidrodinâmica. Assim, efetuando simulações no AQWA, é possível obter a frequência natural de um cilindro que oscila verticalmente considerando a parcela de massa adicional.

Os resultados das simulações considerando diferentes variações para a altura e o diâmetro do cilindro são apresentados naTabela 5.

Tabela 5 - Geometria dos Cilindros Simulados

Fonte: Elaborado pelo autor.

Os valores das frequências naturais correspondem as frequências nas quais cada um dos cilindros apresentou a maior resposta de oscilação.

As diferenças entre os valores obtidos por meio do modelo analítico e os valores obtidos na simulação computacional devem-se a massa adicional negligenciada no modelo analítico. Para descobrir a massa adicional que cada geometria de cilindro possui, foi-se aumentando a massa utilizada no modelo analítico, simulando a massa hidrodinâmica associada ao movimento. Os resultados para esse procedimento são apresentados na Tabela 6.

Altura H [m] Raio R [m] H sub [m] 𝝎𝒏 [rad/s]

140 8 69,9 0,358

110 9 55,2 0,402

90 10 44,7 0,439

70 11 36,9 0,471

3. DESENVOLVIMENTO 37

Tabela 6 - Massa Adicional dos Cilindros

Raio do cilindro 8 9 10 11 12 m

Altura do cilindro 140 110 90 70 60 m

Massa do cilindro 1,44E+07 1,44E+07 1,44E+07 1,44E+07 1,44E+07 kg

Volume do cilindro 28149 27992 28274 26609 27143 m³

Massa especifica da água 1025 1025 1025 1025 1025 _Kg/m³

Massa específica do Cilindro 511,6 514,4 509,3 541,2 530,5 _Kg/m³

Freq. Nat. Eq. Newton 0,375 1,324 1,471 1,619 1,7657 _rad/s

Massa Adicional 1,36E+06 1,43E+06 1,99E+06 2,82E+06 3,20E+06 Kg

Freq. Nat. Com Massa Adicional 0,358 0,402 0,439 0,471 0,508 _rad/s

Massa Adicional / Massa 9% 10% 14% 20% 22%

Fonte: Elaborado pelo Autor.

Pode-se observar que ao adicionar massa hidrodinâmica ao modelo analítico, obtém-se os mesmos resultados para a frequência natural encontrados na simulação computacional.

É importante observar que a massa adicional aumenta conforme aumenta a razão entre o raio e a altura do cilindro. Pois, ao se aumentar a área transversal do cilindro, aumenta a área de contato do corpo com as partículas de fluído localizadas no fundo do cilindro, as quais se movimentam em decorrência do movimento do cilindro, aumentando assim a massa de água que se desloca com ele.