teoria dos operadores monótonos. Para uma leitura mais detalhada, sugerimos também [30].
Hoje em dia, encontramos literatura diversificada que contém resultados de existência, unicidade e regularidade das soluções. Neste contexto, em dimensão n ≥ 2, salientamos o trabalho de [18], para o caso pseudoplástico (1 < α < 2). Sob determinadas condições no termo da força, nomeadamente o uso de dados pequenos, e sem restrições adicionais no expoente α do modelo para a viscosidade, foi demonstrada a continuidade Hölderiana até à fronteira do campo de velocidades. Estes resultados foram generalizados em [19] ao caso em que α é uma função contínua e limitada em ¯Ω.
Outros trabalhos que tiveram grande importância na regularidade até à fronteira em domínios tridimensionais foram, por exemplo [12, 31]. Em [12], foi obtido um grande progresso no seguimento do trabalho de [31] usando o método clássico da translação de Nirenberg, o que abriu a porta a novas ideias neste campo de investigação. Esses resultados foram posteriormente estendidos a fronteiras curvilíneas em [14]. Novas ideias foram introduzidas em [13] e [15] nos casos 1 < α < 2 e α ≥ 2, respectivamente, ambos sem assumir a hipótese de que o termo da força tem que ser pequeno. Outros trabalhos nesta área são, por exemplo [28, 31, 34, 36, 48, 58, 66, 67].
Os problemas de controlo óptimo de fluidos não-Newtonianos começaram a ser estudados num passado mais recente. No caso bidimensional estacionário destacamos [16] e [17] onde se demonstrou a diferenciabilidade de Gâteaux para equações elípticas, quasi-lineares. Considerou-se o problema sem a condição de divergência, em que a equação de estado é uma equação de Stokes generalizada. Estes resultados foram posteriormente generalizados em [68].
Em [11] foram estudados os casos bidimensionais evolutivos e em [47] o caso tridimensional acoplado das equações the Navier-Stokes modificadas com equações de Maxwell. Mais recentemente, destacamos ainda o trabalho de [52] para problemas de controlo não-Newtonianos em domínios tridimensionais. Para o estudo analítico do problema de controlo descrito acima usamos resultados de regularidade para as soluções obtidas em [18] num domínio tridimensional. Explicitamos uma condição para a solução da equação de estado, segundo a qual se permite concluir que a solução fraca do problema (1.1.3) é, de facto, a C1,γ-solução obtida em [18]. Mostra-se a diferenciabilidade de Gâteaux para a aplicação que a cada controlo faz corresponder um estado e obtém-se as condições de optimalidade.
1.2 Simulações numéricas aplicadas à Hemodinâmica
De um modo geral, nas ciências e na engenharia, as simulações numéricas constituem uma poderosa ferramenta, no sentido em que fornecem aproximações precisas do comportamento de sistemas físicos, governados, em particular, por equações diferenciais parciais. Neste contexto, nos Capítulos 5 e 6, apresentamos os resultados de simulações efectuadas para problemas de controlo óptimo aplicados a uma área actualmente em grande expansão, que é a Hemodinâmica.
Nos tempos actuais as comunidades médica e científica trabalham conjuntamente com o propósito de explicar questões relevantes relacionadas com as propriedades mecânicas do sangue, que não estão completamente esclarecidas. Esse estudo é feito com base em simulações numéricas dos sistemas cardiovascular e cerebrovascular do ser humano e têm sido obtidos grandes avanços na compreensão
do comportamento mecânico do sangue em casos normais e patológicos.
A colaboração entre as comunidades médica e científica nas áreas da bioengenharia, modelação e simulação computacional proporciona, não só um intercâmbio entre estas vertentes do conhecimento, mas também um intercâmbio de dados médicos reais, que podem ser usados por estes cientistas nas simulações numéricas, prevendo assim, com um maior realismo, o comportamento do sangue sob condições normais e patológicas.
O avanço das técnicas médicas em imagiologia, desenvolvimentos no domínio da modelação do sangue, nas técnicas de simulação numérica e também na capacidade computacional vieram permitir resultados mais realistas e uma maior precisão nos modelos simulados. A disponibilização de tais ferramentas à comunidade médica tem vantagens na prevenção e tratamento de determinadas doenças e eventualmente nos custos desse tratamento. Daí a importância de se conseguirem efectuar simulações numéricas recorrendo a dados reais e com a maior precisão possível. O procedimento que considera, nas simulações numéricas, a informação usualmente recolhida pelos médicos é conhecido por "Processo de Assimilação de Dados", (Data Assimilation Procedure (DA), em inglês). Doravante usaremos a sigla DA quando nos referirmos a este procedimento. A utilização destas técnicas é já usual em outras áreas da engenharia como a Geofísica e a Metereologia. De facto, uma das mais importantes aplicações da técnica DA, de que diariamente tomamos conhecimento, é por exemplo, na previsão do tempo. Trabalhos recentes, [40, 41, 43], mostraram que estas técnicas podem também ser aplicadas com sucesso no campo da modelação em Hemodinâmica, no caso em que se assume para o sangue um comportamento Newtoniano.
Uma das doenças mais frequentes do sistema vascular é a obstrução parcial dos vasos sanguíneos, relacionada com a aterosclerose, e que dá origem à ocorrência de estenoses nas artérias. Esta redução no diâmetro dos vasos compromete o comportamento normal da circulação do sangue e consequentemente conduz a uma alteração no estado de saúde do indivíduo. Embora não esteja completamente esclarecido ainda, sabe-se do estudo da Hemodinâmica, que existem factores como a acção da tensão tangencial (ou de cisalhamento) exercida pelo fluxo de sangue na parede dos vasos, que designaremos por WSS daqui em diante, que podem afectar a progressão desta e de outras patologias ([24, 26, 69]). Sabe-se também que o desenvolvimento de aneurismas cerebrais e vasculares e a sua consequente ruptura estão, em particular, relacionados não só com a estrutura das vasos sanguíneos mas também com fenómenos locais da Hemodinâmica. O diâmetro das artérias, a curvatura e ramificações e o comportamento reológico do sangue têm um papel importante nestas patologias [2, 5].
Em situações normais, o fluxo sanguíneo tem um comportamento Newtoniano na maior parte do sistema arterial. De facto, quando os efeitos não-Newtonianos são observados nas grandes artérias, isto pode indicar a ocorrência de uma eventual patologia. Tais efeitos são, por exemplo, a observação de uma recirculação estável do sangue na região posterior à estenose, ou no interior de um aneurisma sacular. Nesses casos torna-se importante o estudo do comportamento não-Newtoniano, pseudoplástico do sangue, assim como a variação da viscosidade em função do tempo (tixotropia) e eventualmente a sua viscoelasticidade.
O comportamento não-Newtoniano do sangue está maioritariamente relacionado com o comportamento mecânico dos glóbulos vermelhos [8]. Para valores baixos da taxa de cisalhamento, dada a sua elevada deformabilidade, os glóbulos vermelhos adquirem a capacidade de se agregarem e formarem microestruturas tridimensionais em forma de pilhas de bastonetes chamadas rouleaux. Este fenómeno