Será verificado o efeito do valor expoente fracionário 𝑞, mas agora para um tempo 𝑡 = 1000 dias para uma melhor visualização. Novamente, consideremos a ordens sendo 𝑞 = 0.7, 𝑞 = 0.8, 𝑞 = 0.9 e 𝑞 = 1. Nesse caso como teremos 𝑅0 > 1, então não se tem
controle da epidemia. Para esse caso é interessante adicionarmos campanha de vacinação como meio de erradicar a epidemia. Consideramos a nova tabela de valores abaixo.
Parâmetros Valor
𝛿 0,9
m 0,004
𝜇 0,14
Tabela 2 – Valores dos parâmetros do sistema (5.1)
Para estes valores encontramos 𝑅0 = 6.25. Com isso vamos primeiro analisar o
sistema usando 𝑣 = 0, ou seja, nenhuma campanha de vacinação será aplicada. Para tais valores temos 𝐸1 = (0.16, 0.0233).
Podemos perceber pelas figuras6 e 7 que ambas as ordens convergem para o ponto de equilíbrio endêmico como esperado, isto é, a doença nunca sera extinta. Observamos também que para ambas condições iniciais o modelo de ordem inteira apresenta maior oscilação que o modelo de ordem fracionária, assim temos que o modelo de ordem fracio- nária possui nesse caso, uma convergência amortecida para o ponto de equilíbrio endêmico 𝐸1.
Capítulo 5. Resultados Numéricos 67
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 6 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 sem campanha de vacinação para a
Capítulo 5. Resultados Numéricos 68
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 7 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 sem campanha de vacinação para a
condição inicial (b)
Desse modo uma maneira de tentar erradicar de vez a doença, fazendo com que o sistema convirja para o ponto de equilíbrio livre de doença 𝐸0, é usando campanha
de vacinação. Vimos na Proposição 2.5.2 que 𝑣𝑐 = 1 − 𝑅10 é a proporção miníma de
vacinação que governa a dinâmica do sistema. Então, calculando a proporção miníma temos 𝑣𝑐= 0.84, ou seja, isso nos diz que para erradicar a doença é preciso aplicarmos uma
campanha de vacinação na qual 84% dos recém-nascidos da população sejam vacinados. Usando os mesmos dados que a simulação anterior e tomando 𝑣 = 𝑣𝑐 para 𝑡 = 300 dias
Capítulo 5. Resultados Numéricos 69
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 8 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 com campanha de vacinação para a
Capítulo 5. Resultados Numéricos 70
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 9 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 com campanha de vacinação para a
condição inicial (b)
Podemos observar pelas figuras8 e 9que quando 𝑣 = 0, 84, o sistema passa a con- vergir para o ponto de equilíbrio livre de doença 𝐸0 mesmo tendo um 𝑅0 > 1, erradicando
assim de vez a epidemia. Analisando os gráficos, observamos que há uma maior velocidade de convergência para o modelo de ordem inteira. Por outro lado, com essas simulações demonstramos numericamente a Proposição 2.5.2. Portanto, de fato 𝑣𝑐= 1 −𝑅10 é a pro-
porção miníma de vacinação capaz de governar o sistema para o ponto de equilíbrio livre de doença.
Capítulo 5. Resultados Numéricos 71
Agora, notemos que se ao invés de adicionarmos 𝑣 = 𝑣𝑐, adicionamos uma cam- panha de vacinação na qual 50% dos recém-nascidos sejam vacinados, ou seja, 𝑣 < 𝑣𝑐.
Então analisando os novos gráficos da figura 10 e figura 11, para 𝑡 = 1000 dias, observa- mos que agora todas as ordens do sistema convergem para o ponto de equilíbrio endêmico 𝐸1 = (0.16, 0.0094) como era de se esperar pela Proposição 2.5.2, isto é, a epidemia di-
minui consideravelmente com a aplicação da campanha de vacinação de 50%, mas não ao ponto da doença ser extinta de vez. Podemos observar nessas simulações que novamente o sistema de ordem fracionária possui uma convergência sem oscilações para o ponto de equilíbrio endêmico, enquanto o sistema de ordem inteira apresenta oscilação em torno do ponto de equilíbrio endêmico. Concluímos que o modelo fracionário apresenta um amor- tecimento da convergência quando o sistema converge para o ponto de equilíbrio 𝐸1. Por
outro lado, quando a convergência é para o ponto 𝐸0 observamos um mesmo comporta-
mento, porém a medida que aumentamos a ordem do sistema o mesmo apresenta uma convergência mais rápida para o ponto 𝐸0.
Concluímos aqui que o modelo de ordem fracionária possui propriedade de memó- ria, a qual está presente em qualquer fenômeno infeccioso e, portanto, o modelo fracionário é uma proposta mais fidedigna a realidade.
Capítulo 5. Resultados Numéricos 72
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 10 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 com campanha de vacinação de 50%
Capítulo 5. Resultados Numéricos 73
(a) 𝑞 = 1 (b) 𝑞 = 0.9
(c) 𝑞 = 0.8 (d) 𝑞 = 0.7
Figura 11 – Gráficos das soluções para 𝑅0 = 6, 25 com campanha de vacinação de 50%
74
Conclusão
Neste trabalho estudamos as equações diferenciais ordinárias de ordem inteira e não inteira como proposta para a modelagem epidemiológica. Para isso, foi necessário estudar a teoria sobre equações diferenciais ordinárias que são bem conhecidas, bem como a teoria sobre Cálculo Fracionário. Neste trabalho apresentamos uma breve da sua origem e ainda um apanhado das ferramentas necessárias para o desenvolvimento e resolução de equações de ordem fracionária. Por exemplo, as transformadas de Laplace e as funções especiais, assim como resultados fundamentais como integrais e derivadas de ordem não inteira.
Nossa contribuição com este estudo pode ser dividido em três pontos. Primeiro apresentamos a modelagem epidemiológica SIR com dinâmica vital e vacinação constante. Estudamos os efeitos na qual a entrada de uma constante de vacinação pode causar no modelo. Desse modo, foram obtidos resultados de proporção miníma de vacinação a ser escolhida para se governar o sistema de forma que a solução converge para o ponto de equilíbrio livre de doença.
Segundo apresentamos resultados de existência e unicidade de solução, tanto para o sistema de ordem inteira quanto para o sistema de ordem não inteira. Desse modo foram obtidos resultados mais completos, com lemas e definições que complementaram a demonstração de um trabalho já disponível na literatura (ZHOU; JIAO; LI, 2009).
Por fim apresentamos resultados numéricos onde comprovamos os resultados teóri- cos de estabilidade e comparamos as soluções usando ordem inteira e fracionária. Assim, vimos que ao variar a ordem do sistema, obtemos um amortecimento da convergência quando o sistema converge para o ponto de equilíbrio endêmico 𝐸1. Concluímos que o
modelo de ordem fracionária apresenta propriedade de memória, a qual está presente em qualquer fenômeno infeccioso. Foi possível também demonstrarmos, através de simulações numéricas, que existe uma proporção miníma de vacinação capaz de erradicar uma doença contagiosa, governando assim o sistema SIR para o ponto de equilíbrio livre de doença.
Como trabalhos futuros, pretendemos estudar outros modos de campanha de vaci- nação, nesse mesmo modelo e bem como outros modelos relacionados, de forma a acelerar a erradicação da doença e reduzir o custo governamental com campanhas. Portanto, a execução deste trabalho foi fundamental para adquirir um melhor e mais amplo conheci- mento na área de matemática, mais especifico na área de calculo fracionário, de forma a usar em um problema real a teoria matemática adquirida durante toda a graduação e usá-la na prática.
75
Referências
ALMEIDA, P. R. d. et al. Modelos epidêmicos sir, contínuos e discretos, e estratégias de vacinação. Universidade Federal de Viçosa, 2014. Citado 2 vezes nas páginas 14 e 28.
ALONSO, D.; MEDICO, J. B.; SOLÉ, R. V. The stochastic nature of ecological
interactions: communities, metapopulations, and epidemics. [S.l.: s.n.], 2003. Citado na
página 9.
ANDERSON, R. M.; MAY, R. M.; ANDERSON, B. Infectious diseases of humans:
dynamics and control. [S.l.]: Wiley Online Library, 1992. v. 28. Citado na página 9. BOUCHARA, J. C.; ZANETIC, V. L. C.; HELLMEISTER, A. C. P. Cálculo integral
avançado. [S.l.]: Edusp, 1996. Citado na página 35.
CAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C. de; CHIACCHIO, A. O. Sobre a funçao de mittag-leffler. Relatório de Pesquisa, v. 15, n. 06, 2006. Citado 2 vezes nas páginas 32 e 43.
CAPUTO, M. Elasticità e dissipazione. [S.l.]: Zanichelli, 1969. Citado na página 32.
COX, N. J.; TAMBLYN, S. E.; TAM, T. Influenza pandemic planning. Vaccine, Elsevier, v. 21, n. 16, p. 1801–1803, 2003. Citado na página 9.
DIEKMANN, O.; HEESTERBEEK, J. A. P.; METZ, J. A. On the definition and the computation of the basic reproduction ratio r0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations. Journal of mathematical biology, Springer, v. 28, n. 4, p. 365–382, 1990. Citado na página 18.
DIETHELM, K. A fractional calculus based model for the simulation of an outbreak of dengue fever. Nonlinear Dynamics, Springer, v. 71, n. 4, p. 613–619, 2013. Citado na página 32.
DUARTE, I. S. Espaços métricos e o teorema do ponto fixo de banach. 2015. Citado 2 vezes nas páginas 45 e 47.
GONZÁLEZ-PARRA, G.; ARENAS, A. J.; CHEN-CHARPENTIER, B. M. A fractional order epidemic model for the simulation of outbreaks of influenza a (h1n1). Mathematical
methods in the Applied Sciences, Wiley Online Library, v. 37, n. 15, p. 2218–2226,
2014. Citado na página 32.
HARTLEY, T. T.; LORENZO, C. F. A solution to the fundamental linear fractional order differential equation. 1998. Citado na página 32.
HETHCOTE, H. W. The mathematics of infectious diseases. SIAM review, SIAM, v. 42, n. 4, p. 599–653, 2000. Citado na página 10.
ISEA, R.; LONNGREN, K. E. On the mathematical interpretation of epidemics by kermack and mckendrick. Gen, v. 19, n. 2, p. 83–87, 2013. Citado na página 20.
Referências 76
JAHNKE, M. R.; GARCIA, M. V. P.; GARCIA, S. R. L. O teorema de arzelà-ascoli e aplicações à análise. Citado na página 50.
KEELING, M. J.; ROHANI, P. Modeling infectious diseases in humans and animals. [S.l.]: Princeton University Press, 2008. Citado 2 vezes nas páginas 9 e 14.
KERMACK, W. O.; MCKENDRICK, A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics. In: THE ROYAL SOCIETY. Proceedings of the Royal Society of London
A: mathematical, physical and engineering sciences. [S.l.], 1927. v. 115, n. 772, p.
700–721. Citado 2 vezes nas páginas 9 e 20.
KRETZSCHMAR, M.; WALLINGA, J. Mathematical models in infectious disease epidemiology. In: Modern infectious disease epidemiology. [S.l.]: Springer, 2009. p. 209–221. Citado na página 14.
LIMA, E. L. Elementos de topologia geral. [S.l.]: Ao Livro Técnico, Editôra da Universidade de São Paulo, 1970. Citado na página 46.
LIMA, E. L. Espaços métricos, impa. Rio de Janeiro, 1977. Citado na página 46.
LIMA, E. L. Análise real. [S.l.]: Impa, 2004. Citado na página 46.
MEDEIROS, L.; MELLO, E. A. de. A integral de Lebesgue. [S.l.]: Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, 1985. v. 1. Citado na página 51.
OLIVEIRA, C. R. D. Introdução à análise funcional. [S.l.]: Impa, 2001. Citado na página 49.
OLIVEIRA, K.; VIANA, M. Teoria ergódica um curso introdutório. IMPA, v. 103, p. 104, 2010. Citado na página 60.
SABETI, M. Modelo epidêmico discreto sir com estrutura etária e aplicação de vacinação em pulsos e constante. Universidade Federal de Pernambuco, 2011. Citado 2 vezes nas páginas 13 e 14.
SOTOMAYOR, J. Licões de equacões diferenciais ordinárias. [S.l.]: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1979. v. 11. Citado na página 16.
VIEIRA, G. B. et al. Teoria qualitativa e estabilidade de lyapunov para sistemas de equações de ordem fracionária e uma aplicação em um modelo sir-si para a dengue. Universidade Federal de Alfenas, 2017. Citado 2 vezes nas páginas 18 e 41.
WALDMAN, E. A.; ROSA, T. E. da C. Vigilância em saúde pública. [S.l.]: Universidade de Sao Paulo. Faculdade de Saude Publica, 1998. v. 7. Citado na página 9.
YANG, H. M. Epidemiologia matemática: estudos dos efeitos da vacinaçäo em doenças
de trasmissäo direta. [S.l.]: Unicamp, 2001. Citado na página 14.
ZEIDLER, E. Nonlinear functional analysis and its applications: III: variational methods
and optimization. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2013. Citado na página 50.
ZHOU, Y.; JIAO, F.; LI, J. Existence and uniqueness for fractional neutral differential equations with infinite delay. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Elsevier, v. 71, n. 7, p. 3249–3256, 2009. Citado 3 vezes nas páginas 45, 51 e 74.