Para efetuar a simula¸c˜ao do modelo matem´atico, pode-se reescrever a equa¸c˜ao 5.15 em um conjunto de equa¸c˜oes em espa¸co de estados da forma:
˙x1 = x2
˙x2 = ¨q
(6.1) Onde ¨q ´e a equa¸c˜ao da acelera¸c˜ao angular obtida a partir de 5.13 e cuja estrutura ´e igual a 5.29. Para integrar numericamente o sistema, um modelo Runge-Kutta de quarta ordem foi usado. Para cada passo do tempo ∆(t) ´e determinado o erro na posi¸c˜ao e velocidade usando 5.27, se existir diferen¸ca o τ (t) ´e modificado.
Selecionando um valor para a frequˆencia natural ωn de 3 Hz [150] e ζ de 1, o
controlador PID proposto:
P (s) = (s2+ 6s + 9)(s + 30) P (s) = s3+ 36s2+ 189s + 270
(6.2) A trav´es da compara¸c˜ao com a equa¸c˜ao 5.39 se podem determinar os valores para as constantes kp, ki e kd.
kp = 189
ki = 270
kd= 36
Figura 6.7: Controle do Bra¸co em movimento ascendente e descendente.. A super- posi¸c˜ao das trajet´orias real (linha pontilhada cinza) e desejada (preta continua) da posi¸c˜ao e velocidade se deve a atividade nula do controlador ao longo do movimento dado que a velocidade e posi¸c˜ao inicial do sistema s˜ao coincidentes.
Numa primeira experiˆencia se descrevem os valores dos momentos requeridos para efetuar movimentos de flex˜ao e extens˜ao apresentando na figura 5.6, sem modi- ficar a posi¸c˜ao e velocidade inicial, desta forma se espera que a a¸c˜ao de corre¸c˜ao do controlador c seja aproximada a cero. Posteriormente, se modificar´a a posi¸c˜ao ini- cial do sistema para verificar as a¸c˜oes corretivas do esquema de controle na posi¸c˜ao angular da articula¸c˜ao de acordo com a trajet´oria de referˆencia.
Os resultados da primeira experiˆencia est˜ao descritos nas figuras 6.7 e 6.8, onde se apresenta o comportamento da posi¸c˜ao e velocidade respeito ao desejado. Um m´ınimo desvio se apresenta ao longo da trajet´oria sem deslocar o bra¸co significa- tivamente da posi¸c˜ao. Entanto se pode apreciar uma corre¸c˜ao do torque estimado respeito a entrada obtida com o differential flatness, possivelmente pelo ru´ıdo no sinal de referˆencia . Um ´ultimo gr´afico, representa o conjunto bra¸co-antebra¸co ilus- trando o movimento do sistema 6.3. Nesta figura se integra o comportamento do modelo junto com o controlador ao longo do trajeto desejado.
O valor do momento requerido no motor ´e m´aximo quando inicia a eleva¸c˜ao do bra¸co, e se aproxima a 0 quando este se encontra na posi¸c˜ao m´axima (2.6 rad ou 150°). Para movimentos descendentes o torque requerido n˜ao ultrapassa o pico m´aximo, sendo menor na medida que se aproxima a posi¸c˜ao de repouso de (pi/2 rad ou 90°), nesta posi¸c˜ao o motor se mantem energizado no sentido positivo para permitir ao bra¸co se manter na posi¸c˜ao.
Figura 6.8: Descri¸c˜ao do erro de seguimento da trajet´oria, a a¸c˜ao de controle do controlador PID, permite um seguimento do trajeto desejado com o m´ınimo desvio.
Figura 6.10: Controle da posi¸c˜ao respeito a trajet´oria ascendente. A a¸c˜ao corretiva do controlador aproxima a posi¸c˜ao do sistema `a trajet´oria desejada, as configura¸c˜oes do controlador PID definem o tempo de corre¸c˜ao.
dan¸ca for¸cara ao controlador a desenvolver uma a¸c˜ao corretiva `as entradas do Sis- tema. Os resultados para situa¸c˜oes de movimento ascendente e descendente s˜ao apresentados nas figuras 6.10 e 6.11 respectivamente.
No movimento ascendente a posi¸c˜ao inicial do sistema ´e menor que a desejada, a a¸c˜ao de controle faz ao motor aumentar sua velocidade angular e recuperar assim a posi¸c˜ao desejada, para posteriormente estabilizar-se na trajet´oria 2 segundos ap´os iniciar o movimento. O aumento da velocidade levou aumentar o torque, por´em, ´e incrementada a energia consumida pelo motor (Figura 6.12), o que pode ser inde- sejado se os requerimentos energ´eticos do movimento ultrapassam as capacidades t´ecnicas do atuador.
Na Figura 6.12 se apresenta o comportamento da tens˜ao e corrente aplicadas no motor nos primeiros 100 ms da simula¸c˜ao, a a¸c˜ao corretiva do controle gera um sobre impulso na entrada que ultrapassa as capacidades f´ısicas do motor dado que a tens˜ao m´axima que se pode aplicar nele ´e de 24 Volts. Isto pode ser corrigido de duas formas, adicionando um saturador na entrada do motor, ou reduzindo o valor de ωndo controlador (Figura 6.13), com o resultante de retardar a corre¸c˜ao do
movimento. Estes parˆametros de configura¸c˜ao de controlador se devem considerar no momento de definir a melhor constate para o sistema numa aplica¸c˜ao real.
6.2.1
Observa¸c˜oes
A aplica¸c˜ao do controlador com comportamento de amortecimento cr´ıtico limita a apari¸c˜ao de oscila¸c˜oes durante a corre¸c˜ao da posi¸c˜ao. O controlador conseguiu corri-
Figura 6.11: Corre¸c˜ao da posi¸c˜ao de acordo com a a¸c˜ao de controle. Se apresenta um overshoot entre os 500 e 1000 ms, como produto da a¸c˜ao integral do modelo. O controlador corrige a posi¸c˜ao do bra¸co em aproximadamente 2 segundos.
Figura 6.12: Entrada de corrente e tens˜ao na armadura do motor. A¸c˜ao de controle leva a que a entrada requerida no modelo ultrapasse as capacidades t´ecnicas do dispositivo.
Figura 6.13: Entrada de corrente e tens˜ao na armadura do motor con ωn = 1.5.
gir as varia¸c˜oes do erro,contudo as limita¸c˜oes t´ecnicas do sistema de accionamento e o tipo de aplica¸c˜ao n˜ao permite a apari¸c˜ao de respostas r´apidas durante a corre¸c˜ao. Por outro lado, os ganhos apresentados no teste unicamente s˜ao ´uteis para uma mesma configura¸c˜ao do sistema, alturas maiores ou menores de pacientes imp˜oem a determina¸c˜ao de outro valor para estas constantes.