5.3 Descri¸c˜ ao dos modelos propostos
5.3.1 Simula¸c˜ ao
Para avaliar se a metodologia sequencial proposta consegue recuperar os valores dos parˆametros dos modelos descritos anteriormente, foi gerada uma s´erie artificial com base no modelo 7:
yt∼ P oisson(λt)
log λt= Et+ α + δtempT empt−2+ δumidU midt−3+ δcoscos
2πt 365 + δsensen 2πt 365 Et = φEt−1+ γtP olt−3 γt = γt−1+ t, t∼ [0, W ]
que considera o efeito latente do poluente como fun¸c˜ao de transferˆencia TF(1,3,1) com dinˆamica na resposta imediata ao impulso segundo um passeio aleat´orio.
Para a simula¸c˜ao, fixou-se W = 10−5, δtemp = 0.01, δumid = 0.009, δsen = 0.8, δcos=
0.1, φ = 0.8, α = 1.
Fazemos uma compara¸c˜ao com as estimativas obtidas via MCMC, e tamb´em uti- lizando fatores de desconto para especifica¸c˜ao da sequˆencia de variˆancias de evolu¸c˜ao. Como foi fixado um valor baixo para W , utilizou-se fator de desconto bastante pr´oximo de 1 no processo de estima¸c˜ao (0.99 mais precisamente). A estima¸c˜ao via MCMC foi feita com base emGamerman(1998), em que o modelo ´e reparametrizado em fun¸c˜ao dos erros de evolu¸c˜ao e, a partir das cadeias simuladas para os erros, constr´oi-se a amostra simu- lada da posteriori para os estados. A implementa¸c˜ao deste esquema MCMC a modelos de fun¸c˜ao de transferˆencia, tratada em (Alves et al., 2010), foi feita em linguagem Fortran, simulando uma cadeia de 50000 itera¸c˜oes, das quais foram discartadas as 10000 primeiras para obten¸c˜ao das amostras a posteriori, bem como das medidas resumo a posteriori.
As distribui¸c˜oes a priori marginais utilizadas no procedimento MCMC foram W | D0 ∼ GamaInv(10−5, 10−5), δtemp | D0 ∼ N (0, 10−5), δumid | D0 ∼ N (0, 10−5), δsen |
D0 ∼ N (0, 10−5), δcos | D0 ∼ N (0, 10−5), α | D0 ∼ N (0, 10−5), φ | D0 ∼ U (0, 1),
os parˆametros. Para o procedimento sequencial baseado na expans˜ao e lineariza¸c˜ao do vetor de estados, considerou-se prioris marginais δtemp | D0 ∼ [0, 100], δumid | D0 ∼
[0, 100], δsen | D0 ∼ [0, 100], δcos | D0 ∼ [0, 100], α | D0 ∼ [0, 100], φ ∼ [0.5, 0.02]. Para
o procedimento que utiliza quadratura de Gauss Hermite para estimar a variˆancia de evolu¸c˜ao, considerou-se priori Log Normal para W , com m´edia 0,01 e variˆancia 0,1. Note- se que as variˆancias marginais especificadas a priori nos esquemas sequenciais s˜ao menores do que as que foram adotadas no esquema MCMC. Utilizando 105 para as variˆancias a priori nos esquemas sequenciais, obtivemos problemas n´umericos que impediram a ob- ten¸c˜ao das estimativas a posteriori. Entretando, note-se, que dada a magnitude baixa dos valores verdadeiros fixados para os parˆametros durante a simula¸c˜ao, ainda consideramos vagas as prioris sob os esquemas sequenciais.
Como observa¸c˜ao final a respeito das distribui¸c˜oes marginais a priori adotadas nos esquemas sequenciais, a priori marginal referente a φ foi escolhida de modo que a m´edia ± 3 desvios padr˜oes resultassem em valores pr´oximos de 0 e de 1, de modo que, se tiv´essimos normalidade a priori, esperar´ıamos valores entre 0 e 1 para φ com probabilidade quase igual a 1.
Os resultados da aplica¸c˜ao das trˆes metodologias ao conjunto de dados artificiais s˜ao ilustrados nas figuras 5.2, 5.3 e 5.4. Em geral, as 3 figuras mostram resultados bastante pr´oximos sob as 3 metodologias adotadas.
A figura 5.2 mostra que os intervalos de credibilidade a posteriori para os parˆametros est´aticos contˆem os valores verdadeiros. Note-se que os intervalos obtidos sequencial- mente s˜ao mais largos que os intervalos obtidos via MCMC, apesar da diferen¸ca ser muito pequena.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 φ α δsen δtemp δumid δcos Descontos Gauss−Hermite MCMC
Figura 5.2: Intervalos de credibilidade a posteriori (m´edia ± 2 desvios) para os parˆametros est´aticos do modelo 7, condicionalmente a toda a s´erie de dados, obtidos via metodologia sequencial e via MCMC.
A dinˆamica que rege a trajet´oria da resposta imediata ao impulso no tempo consegue ser captada pelos trˆes procedimentos de estima¸c˜ao, conforme ilustra a figura 5.3. Como as estimativas dos parˆametros via MCMC s˜ao feitas condicionalmente a toda a s´erie de dados, a compara¸c˜ao foi feita considerando as estimativas suavizadas no contexto sequen- cial. Para obter estimativas suavizadas nesse contexto, fez-se a suposi¸c˜ao de normalidade conjunta do vetor γ1:T = (γ1, . . . , γT), em que T ´e o ´ultimo instante de tempo da s´erie.
Para aproximar as estimativas suavizadas nesse contexto, foi feita a suposi¸c˜ao de normalidade conjunta para o vetor γ1:T | W, DT. Nessas circunstˆancias, E(γ1:T | W, DT)
e V ar(γ1:T | W, DT) coincidem com o vetor de m´edias e matriz de covariˆancias que se
obtˆem em West e Harrison (1997) pp. 112 a 115 supondo normalidade para a vari´avel resposta. A dependˆencia em W ´e suprimida calculando as integrais
Z ∞ 0 E(γ1:T | W, DT)p(W | DT)dW e Z ∞ 0 V ar(γ1:T | W, DT)p(W | DT)dW
via quadratura de Gauss-Hermite utilizando a grade de pontos e os respectivos pesos obtidos ao final do algoritmo para inferˆencia sequencial.
A figura 5.3mostra uma grande proximidade entre as estimativas sequenciais obtidas com quadratura de Gauss-Hermite e MCMC. Utilizando fator de desconto, as diferen¸cas em compara¸c˜ao `a metodologia MCMC s˜ao mais claras, o que ´e intuitivo uma vez que, com fatores de desconto, sup˜oe-se as variˆancias Wt conhecidas variando ao longo do tempo,
portanto se diferenciam mais em rela¸c˜ao ao modelo estimado via MCMC.
No que diz respeito `a estima¸c˜ao da variˆancia de evolu¸c˜ao W , a figura5.4 mostra uma grande similaridade entre a densidade aproximada obtida via quadratura e a amostra a posteriori fornecida pelo algoritmo MCMC. Ambas as metodologias geram estimativas pontuais bastante pr´oximas do verdadeiro valor de W .
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Resposta imediata ao impulso
tempo
Gauss−Hermite Descontos MCMC
γt simulado
Figura 5.3: Fun¸c˜ao de resposta imediata ao impulso (γt) estimada sequencialmente e
via MCMC no modelo 7. Exibe-se a s´erie real e intervalos de credibilidade a posteriori (m´edia ± 2 desvios) condicionalmente a toda a s´erie de dados.
W|D1000
Densidade
0e+00 1e−05 2e−05 3e−05 4e−05 5e−05
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000
Figura 5.4: Histograma (MCMC) e curva de densidade aproximada (metodologia sequen- cial) para a variˆancia de evolu¸c˜ao a posteriori no modelo 7. Curva obtida com 15 pontos na quadratura de Gauss-Hermite.