3.5 Resultados das simula¸c˜oes
3.5.1 Simula¸c˜oes do α-MRAC monovari´avel
Caso 1: Planta de primeira ordem com um parˆametro desconhecido (kp):
G0(s) = kp s + 1 = 0.5 s + 1. (3.110) Parˆametros ideais: θ∗ = 2; k p = 0.5.
Caso 2: Planta de primeira ordem com dois parˆametros desconhecidos (kp e ap): G0(s) = kp s + ap = 0.5 s . (3.111) Parˆametros ideais: θ∗T = [−2 2] ; ||θ∗|| = 2.828 ; k p = 0.5.
Caso 3: Planta de segunda ordem com quatro parˆametros desconhecidos (kp, a0, a1 e b0):
G0(s) = kp(s + b0) s2+ a 1s + a0 = (s + 6) s(s − 1). (3.112) Parˆametros ideais: θ∗T = [−5 − 3 2 1]; ||θ∗|| = 6.245 ; k p = 1.
Caso 4: Planta de terceira ordem com seis parˆametros desconhecidos (kp, a0, a1, a2, b0 e b1):
G0(s) = kp(s2+ b1s + b0) s3+ a 2s2+ a1s + a0 = (s + 0.5)(s + 2) (s − 0.1)3. (3.113) Parˆametros ideais: θ∗T = [0 − 0.5 − 3.3 2.3 3.63 1]; ||θ∗|| = 5.532; k p = 1.
Em todos os casos o modelo de referˆencia adotado foi
Wm(s) =
1 s + am
= 1
s + 1. (3.114)
Simula¸c˜ao 1 - Caso 1 com o algoritmo MRAC padr˜ao
Os seguintes dados foram usados:
e0(0) = 2 , θ(0) = 0 , γ = 10 , 100 , r(t) = 1 .
Os resultados desta simula¸c˜ao s˜ao apresentados na figura 3.3. Este ´e o exemplo mais simples de controle adaptativo, onde o ganho de alta frequˆencia kp´e o ´unico parˆametro
da planta desconhecido. Entretanto, mesmo assim grandes oscila¸c˜oes em e0(t) e θ(t)
s˜ao observadas para o MRAC. ´E conveniente achar a solu¸c˜ao anal´ıtica do sistema para mostrar os efeitos dos parˆametros de projeto no comportamento transit´orio. Visto que o sinal de referˆencia r(t) ´e um degrau unit´ario, a dinˆamica do sistema ´e descrita pelo
sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares
˙e0(t) = −e0(t) + 0.5˜θ(t) ,
˙˜θ(t) = −γe0(t)r(t) = −γe0(t).
Usando a transformada de Laplace, obtemos a seguinte solu¸c˜ao
e0(s) =
e0(0)s + 0.5θ(0) − 1
s2+ s + 0.5γ . (3.115)
Os p´olos do sistema s˜ao −0.5 ± 0.5√1 − 2γ. Ent˜ao o ganho de adapta¸c˜ao γ somente influencia a frequˆencia de oscila¸c˜ao, como confirma a simula¸c˜ao. Verifica-se tamb´em que a atenua¸c˜ao ´e definida pelo parˆametro do modelo am = 1.
Nota-se que o sistema oscila mesmo para e0(0) = 0. Neste caso, teoricamente,
uma simples medida de e0 seria suficiente para estimar kp corretamente. Entretanto, o
esquema de adapta¸c˜ao n˜ao utiliza esta informa¸c˜ao.
Simula¸c˜ao 2 - Caso 1 com o algoritmo α-MRAC
Exceto para os parˆametros introduzidos pelo algoritmo α-MRAC, os dados usados s˜ao os mesmos da simula¸c˜ao 1:
e0(0) = 2, θ(0) = 0, γ = 10, 100, r(t) = 1,
ˆ
e0(0) = 2, α = 1, τ = 0.1, 0.01, ε = 0.1, 0.01.
A figura 3.4 mostra os resultados obtidos com o algoritmo α-MRAC, para dois conjuntos de parˆametros de projeto: {τ = 0.1, γ = 10} e {τ = 0.01, γ = 100} ou ε = 0.1, 0.01.
A melhora da resposta transit´oria do erro do rastreamento ´e not´avel, em ambos os casos, quando comparado com os resultados da simula¸c˜ao 1 com o algoritmo MRAC.
Para ajudar na compreens˜ao dos efeitos dos parˆametros de projeto do α-MRAC no comportamento transit´orio, podemos novamente obter a solu¸c˜ao anal´ıtica do sistema.
O sistema ´e ainda linear e as equa¸c˜oes dinˆamicas s˜ao,
˙e0(t) = −e0(t) + 0.5˜θ(t),
˙˜θ(t) = −γe0(t) − γf(t),
τ ˙f (t) = −f(t) + 0.5˜θ(t).
Usando a transformada de Laplace obtemos a seguinte solu¸c˜ao,
e0(s) =
[τ e0(0)]s2+ [e0(0) + 0.5τ θ(0) − τ]s + [0.5θ(0) + 0.5γ(1 − τ)ˆe0(0) − 1]
τ s3+ (τ + 1)s2+ (1 + 0.5τ γ + 0.5γ)s + γ ,
(3.116) a qual ´e muito mais complexa que no exemplo anterior. Note que, um grau de liber- dade extra foi introduzido pelos novos parˆametros. O efeito de aumentar γ ´e agora totalmente diferente. Verifica-se facilmente que quando γ → ∞, dois p´olos e dois zeros tendem a infinito, logo a dinˆamica lenta do sistema ´e descrita pela fun¸c˜ao,
e0(s) = 0.5(1 − τ)ˆe0
(0)
0.5(1 + τ )s + 1, (3.117)
a qual confirma os resultados te´oricos desenvolvidos na subse¸c˜ao 3.4.1.
Simula¸c˜ao 3 - Caso 1 com o algoritmo α-MRAC: Efeito do
ganho α
Todos os dados s˜ao os mesmos da simula¸c˜ao 2, exceto pelo valor alto atribuido para o ganho α:
e0(0) = 2, θ(0) = 0, ε = 0.1, 0.01, r(t) = 1,
ˆ
e0(0) = 2, α = 100.
Lembrar que ε = τ = γ−1.
Com o aumento do ganho α, o coeficiente k1, dado em (3.79) tende a zero, e consequen-
temente o sinal de erro do controle ¯˜θT(t)w(t) em (3.78), aproxima-se de zero. Visto que
neste caso somente um parˆametro ´e adaptado, ent˜ao a solu¸c˜ao ´e obtida com θ ∼= θ∗, isto ´e, a identifica¸c˜ao de kp pode ser feita rapidamente aumentando α. Os resultados
desta simula¸c˜ao s˜ao mostrados na figura 3.5. O efeito de uma alta constante de tempo τ do filtro ´e n˜ao reduzir o comportamento oscilat´orio de θ, como pode ser observado no gr´afico. A resposta transit´oria do erro de rastreamento, neste caso, ´e pouco afetada pelo parˆametro τ .
Simula¸c˜ao 4 - Caso 2 com MRAC padr˜ao
Os seguintes dados foram usados nesta simula¸c˜ao:e0(0) = 2, 10, θ(0) = 0, γ = 1, r(t) = −sqw(t/100) + sin(t).
onde sqw(t/T ) ´e uma onda quadrada de amplitude 1 e per´ıodo T . A figura 3.6 mostra os resultados obtidos com o MRAC padr˜ao. Mesmo neste caso simples, baseado em uma planta de primeira ordem, podemos observar a n˜ao uniformidade do transit´orio em rela¸c˜ao `as condi¸c˜oes iniciais. Para e0(0) = 2, o transit´orio ´e mais r´apido e os
parˆametros s˜ao praticamente identificados ap´os 10 segundos. Entretanto, para e0(0) =
10, o transit´orio ´e drasticamente degenerado mesmo com persistˆencia de excita¸c˜ao.
Simula¸c˜ao 5 - Caso 2 com o α-MRAC
Os dados usados s˜ao:e0(0) = 2, 10, θ(0) = 0, ε = 0.1, r(t) = −sqw(t/100) + sin(t),
ˆ
e0(0) = 2, 10, α = 1.
Esta simula¸c˜ao foi realizada nas mesmas condi¸c˜oes da simula¸c˜ao 4. A figura 3.7 mostra os resultados. Mesmo para um ganho de adapta¸c˜ao baixo e τ = 0.1, a melhoria do comportamento transit´orio obtido pelo algoritmo α-MRAC ´e significativo.
Simula¸c˜ao 6 - Caso 3 com o MRAC padr˜ao
Os dados usados s˜ao:A figura 3.8 mostra os resultados. Neste caso, o algoritmo tem que adaptar qua- tro parˆametros. Aqui, podemos tamb´em observar que com o aumento do ganho de adapta¸c˜ao γ, a norma ||θ|| estabiliza num valor acima de ||θ∗|| no est´agio inicial do
transit´orio.
Simula¸c˜ao 7 - Caso 3 com o α-MRAC
Os dados usados s˜ao:e0(0) = 2, θ(0) = 0, ε = 0.1, 0.01, r(t) = 0.5 + sqw(t/10),
ˆ
e0(0) = 2, α = 1.
A figura 3.9 mostra os resultados. O α-MRAC, neste caso, tamb´em apresenta uma consider´avel melhoria do transit´orio, mesmo na ausˆencia de riqueza de sinal para a entrada externa de referˆencia. O sinal oscilat´orio mostrado na figura foi obtido com os parˆametros de projeto γ = 10 e τ = 0.1. Para γ = 100 e τ = 0.01, isto ´e ε = 0.01, o comportamento transit´orio resultante ´e muito pr´oximo ao previsto na subse¸c˜ao 3.4.1.
Simula¸c˜ao 8 - Caso 3 com o α-MRAC: Efeito da condi¸c˜ao inicial
ˆ
e
0(0)
Os dados usados s˜ao:
e0(0) = 2, θ(0) = 0, ε = 0.1, r(t) = 0.5 + sqw(t/10),
ˆ
e0(0) = 2, 2, 3, α = 1.
A figura 3.10 mostra os resultados. O objetivo deste exemplo ´e ilustrar o efeito da condi¸c˜ao inicial do filtro de avan¸co ˆe0(0), no comportamento transit´orio. Para cada
Simula¸c˜ao 9: Caso 4 com o MRAC padr˜ao
Os dados usados s˜ao:e0(0) = 2, θ(0) = 0, γ = 10, 100, r(t) = 0.5 + sqw(t/10) + 1.5 sin(10t).
A figura 3.11 mostra os resultados desta simula¸c˜ao. Neste exemplo, a resposta tran- sit´oria obtida com o MRAC padr˜ao ´e muito oscilat´oria.
Simula¸c˜ao 10: Caso 4 com α-MRAC
Os dados usados s˜ao:e0(0) = 2, θ(0) = 0, ε = 0.1, 0.01, r(t) = 0.5 + sqw(t/10) + 1.5 sin(10t)
ˆ
e0(0) = 2, α = 1.
Os resultados s˜ao apresentados na figura 3.12. Novamente, algoritmo α-MRAC mostra um comportamento transit´orio muito superior ao obtido pelo algoritmo MRAC, mesmo para um ganho de adapta¸c˜ao relativamente baixo γ = 10 (τ = 0.1).