Apresentamos aqui as simula¸c˜oes num´ericas das equa¸c˜oes da viga no espa¸co (equa¸c˜oes (4.62) e (4.63)). Os parˆametros utilizados nesta simula¸c˜ao foram: fv1 =
1, fθ1 = 44.96, fvη1 = 0, fθη = 0, ωc = 5, ω = 27.03, Ω = √
3ω
2 , c = 0.5, β1 =
3.0463, β2 = 61.208 e β3 = 23306.
A seguir apresentamos as conclus˜oes do presente trabalho. Fazemos tamb´em um breve apanhado sobre os trabalhos futuros.
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes e Trabalhos Futuros
5.1
Conclus˜oes
Desenvolvemos na primeira parte desta disserta¸c˜ao, um algoritmo alg´ebrico para a solu¸c˜ao anal´ıtica de uma espa¸conave de dupla rota¸c˜ao axial. O enfoque desta parte da disserta¸c˜ao foi a utiliza¸c˜ao do M´etodo de M´ultiplas Escalas, visto que o problema j´a havia sido tratado em [3], num caso particular em que considerava-se
α = 0, atrav´es do M´etodo da M´edia. O algoritmo desenvolvido nesta parte, foi
utilizado tamb´em para plotar as curvas de resposta amplitude-freq¨uˆencia nas trˆes ressonˆancias que ocorrem com uma viga em ´orbita.
Formulamos na segunda parte desta disserta¸c˜ao as equa¸c˜oes diferenciais n˜ao- lineares, matematicamente consistentes, governando o acoplamento do movimento de flex˜ao-arfagem para uma viga em ´orbita. A formula¸c˜ao usada aqui, relacionou a dinˆamica n˜ao-linear de vigas, levando em conta todas as n˜ao-linearidades geom´etricas no sistema, al´em das n˜ao-linearidades devido `a efeitos orbitais.
As equa¸c˜oes n˜ao-lineares completas, para uma viga em ´orbita, foram expandi- das para que fossem inclu´ıdas todas as n˜ao-linearidades at´e ordem c´ubica em um parˆametro contabilizante ε.
O material que constitui a viga foi assumido ser linear e, portanto, as n˜ao- linearidades devido as deforma¸c˜oes foram causadas pelas mudan¸cas na geometria
do sistema. Estas deforma¸c˜oes incluem n˜ao-linearidades de in´ercia, e termos n˜ao- lineares devido a curvatura da viga.
As equa¸c˜oes tamb´em cont´em segundo e terceiro graus, isto ´e, O(ε2) e O(ε3), de
termos n˜ao-lineares do acoplamento entre os movimentos de arfagem e curvatura da viga. Alguns dos termos n˜ao-lineares nas equa¸c˜oes do movimento s˜ao multiplicados pelos coeficientes de Galerkin β1, β2 e β3.
Muitos, mas n˜ao todos, os termos n˜ao-lineares que aparecem na equa¸c˜ao (4.37) foram tamb´em encontradas no trabalho publicado por [9]. Os termos ausentes na equa¸c˜ao (49) em [9] envolvem a deforma¸c˜ao el´astica u(t) e tamb´em termos devido as n˜ao-linearidades presentes na express˜ao da curvatura da viga. ´E fato tamb´em que a equa¸c˜ao (48) em [9], n˜ao cont´em todos os termos n˜ao-lineares mostrados na equa¸c˜ao (4.38) desenvolvida nesta disserta¸c˜ao. Entretanto, ´e interessante notar que os termos que n˜ao aparecem na equa¸c˜ao (48) em [9] n˜ao contribuem para a equa¸c˜ao reduzida, equa¸c˜ao (4.61), ap´os ser aplicado o m´etodo de Galerkin.
As equa¸c˜oes n˜ao-lineares do movimento formuladas e expandidas para conter n˜ao-linearidades polinomiais de terceira ordem, foram aplicadas para estudar a res- sonˆancia do acoplamento dos movimentos de flex˜ao e arfagem da viga em ´orbita circular sobre o centro de massa de um corpo atrator. As n˜ao-linearidades nas equa¸c˜oes s˜ao devido `a curvatura n˜ao-linear e efeitos de in´ercia, bem como devidas ao acoplamento entre os movimentos de curvatura e arfagem, al´em da contribui¸c˜ao do momento de gradiente de gravidade.
Consideramos trˆes tipos de ressonˆancias:
• Ressonˆancia super-harmˆonica de arfagem (Ω ≈ √3ωc
2 );
• ressonˆancia prim´aria de curvatura ( Ω ≈ ω); • e ressonˆancia prim´aria de arfagem ( Ω ≈√3ωc).
Para a ressonˆancia super-harmˆonica de arfagem, foi encontrado que a primeira aproxima¸c˜ao para a resposta de arfagem consiste de duas componentes harmˆonicas, com a amplitude de uma das componentes sendo afetada pelas n˜ao-linearidades.
Para a ressonˆancia prim´aria de curvatura, foi determinado que enquanto a res- posta de amplitude-freq¨uˆencia do movimento de curvatura ´e caracterizada por um oscilador de Duffing cl´assico, a componente de arfagem da resposta consiste de baixas freq¨uˆencias de oscila¸c˜ao, cuja amplitude depende das condi¸c˜oes iniciais e de uma componente de alta freq¨uˆencia, al´em da amplitude de curvatura no estado estacion´ario.
Para a resposta da ressonˆancia prim´aria de arfagem foi mostrado que ela exibe caracter´ısticas de um oscilador de Duffing com n˜ao-linearidades suaves e de um oscilador de Duffing exitado parametricamente. Tamb´em foi encontrado que se o movimento de arfagem ´e iniciado com pequenas condi¸c˜oes iniciais em uma certa regi˜ao no espa¸co (f2
v, ε2σθ) o movimento de arfagem cresce para um valor m´aximo
que ´e independente das condi¸c˜oes iniciais de arfagem.
Mostramos que ressonˆancias internas n˜ao s˜ao fisicamente poss´ıveis, pois qualquer freq¨uˆencia natural ´e sempre maior do que a freq¨uˆencia natural de arfagem ωθ =
√
3ωc.
As equa¸c˜oes do movimento envolveram a inclus˜ao de momentos e produtos de in´ercia, incluindo termos que s˜ao originados da express˜ao da curvatura da viga. Conteve tamb´em termos n˜ao-lineares originados do gradiente de gravidade. Logo, tomamos cuidado no sentido de que as n˜ao-linearidades fossem retiradas da for- mula¸c˜ao do problema de modo consistente.
A lineariza¸c˜ao das equa¸c˜oes do movimento em torno da configura¸c˜ao de equil´ıbrio conhecida como estabiliza¸c˜ao por gradiente de gravidade foi realmente uma hip´otese razo´avel, desde que o desalinhamento com a vertical local e as flex˜oes el´asticas fossem pequenos.