Simulac¸˜ao de experiˆencias

O package disp˜oe ainda de func¸˜oes para simulac¸˜ao de experiˆencias aleat´orias. A func¸˜ao

sim() devolve resultados relativos `a simulac¸˜ao de uma experiˆencia. Esta func¸˜ao tem como argumentos:

• x - espac¸o de probabilidade ou um subconjunto do mesmo;

Tendo em conta que um espac¸o de probabilidade x cont´em todos os resultados poss´ıveis de uma experiˆencia (outcomes), bem como as probabilidades associadas a esses resul- tados (coluna probs), o objetivo passa por obter amostras aleat´orias das linhas de x, de acordo com as respetivas probabilidades.

Exemplo 3.1.12.

Considerando, por exemplo, a experiˆencia em retirar, aleatoriamente, uma carta de um baralho, tem-se: 1 S<-cards( m a k e s p a c e=TRUE ) 2 samp<-sim(S , n t r i a l s=5) output: > samp rank suit 1 J Heart 2 9 Diamond 3 7 Heart 4 K Club 5 3 Club

Al´em desta, existe tamb´em a func¸˜ao empirical() que devolve as frequˆencias relativas dos resultados simulados nas realizac¸˜oes sucessivas da experiˆencia. O seu argumento ´e o objeto criado por aplicac¸˜ao da func¸˜ao sim().

Exemplo 3.1.13.

Considerando, por exemplo, a experiˆencia que consiste em lanc¸ar uma moeda duas vezes repetida 30000 vezes, o resultado que se obt´em com a func¸˜ao empirical() ´e o seguinte:

1 S<-tosscoin(2 , m a k e s p a c e=TRUE )

2 sims<-sim(S , n t r i a l s=3000)

output:

> empi

toss1 toss2 probs 1 H H 0.2423333 2 T H 0.2573333 3 H T 0.2520000 4 T T 0.2483333

Como se pode observar, na coluna probs figuram as frequˆencias relativas (naturalmente pr´oximas de 0.25) dos acontecimentos que constituem o espac¸o amostra.

As duas func¸˜oes s˜ao, em conjunto, mais amig´aveis, do ponto de vista do utilizador, que a func¸˜ao sample(), j´a existente no package base do R.

Pensando, por exemplo, nos dados iris, se se pretender simular realizac¸˜oes da ex- periˆencia que consiste em retirar duas flores, aleatoriamente, e anotar todas as suas ca- racter´ısticas, ´e poss´ıvel fazˆe-lo muito rapidamente com sample():

Exemplo 3.1.14.

1 set.seed ( 8 9 7 6 5 4 3 2 1 )

2 a m o s t r a<-sample(1:150 ,2) iris[amostra,]

Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species

48 4.6 3.2 1.4 0.2 setosa

1 5.1 3.5 1.4 0.2 setosa

Com a func¸˜ao sim():

1 set.seed ( 8 9 7 6 5 4 3 2 1 )

2 S<-probspace( iris )

Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species

1 5.3 3.7 1.5 0.2 setosa

2 4.9 3.0 1.4 0.2 setosa

A ´unica diferenc¸a ´e que a numerac¸˜ao das linhas foi alterada.

Cap´ıtulo 4

O jogo de Poker

Existem espac¸os de probabilidade (finitos) associados a experiˆencias aleat´orias mais com- plexas que ainda n˜ao foram pensados ou implementados no package prob e que podem ser exploradas, nomeadamente um espac¸o de probabilidade associado a um jogo de poker.

4.1

Hist´oria

O Poker ´e um dos mais elegantes e famosos jogos de casino que existem na sua forma ac- tual, existindo em v´arias vers˜oes: Texas Hold’em, Omaha, Seven Card Stud, Seven Card Draw, Five Card Stud, Five Card Draw s˜ao algumas delas. Trata-se de uma fam´ılia de jogos de cartas que tˆem em comum a sorte, as apostas em dinheiro e em que ´e vencedor o jogador que possui a m˜ao mais valiosa.

As referˆencias ao jogo de Poker s˜ao diversas, havendo registo destes jogos desde o in´ıcio do sec. XIX nos Estados Unidos da Am´erica. O jogo tornou-se de tal maneira popular que, desde 1969, existe o Campeonato Mundial de Poker, World Series of Poker, WSOP, nos Estados Unidos. Desde 1971 que os pr´emios deste campeonato s˜ao em dinheiro. Existem ainda vers˜oes online deste campeonato (ex: World Championship of Online Po- ker) e, em 2013, foi pela primeira vez campe˜ao um portuguˆes que arrecadou um prˆemio de 20 649 d´olares (Jornal P´ublico (2013) e Wikipedia (2016)).

Existem diversos torneios ao vivo, dedicados a jogos de Poker, quer nos Estados Uni- dos quer na Europa, que atraem muito p´ublico e jogadores. As v´arias vers˜oes do jogo distinguem-se, fundamentalmente, pelo n´umero de cartas que cada jogador recebe (sem

que os outros jogadores vejam), pelo n´umero de trocas de cartas que pode efetuar ou pelo valor das apostas (Coffin (1949)).

A sorte associada ao jogo ´e suficiente para que a matematizac¸˜ao deste envolva c´alculo de probabilidades. A interpretac¸˜ao de probabilidade aqui utilizada ´e, naturalmente, a cl´assica, uma vez que se parte de um baralho com um n´umero finito de cartas bem bara- lhadas de onde s˜ao selecionadas aleatoriamente, `a sorte, parte destas cartas que consti- tuem a m˜ao (ou em inglˆes, hands) do jogador. Calcular estas probabilidades mais n˜ao ´e que um exerc´ıcio de c´alculo combinat´orio.

Na maior parte dos jogos de cartas, nomeadamente o jogo de Poker, cada jogador ´e de- tentor de um subconjunto do baralho em jogo. Esse subconjunto de cartas ´e designado por m˜ao. O objetivo deste cap´ıtulo ´e mostrar como ´e poss´ıvel chegar `as probabilidades associadas a cada m˜ao, usando R.

Regra geral, o baralho ´e de cinquenta e duas cartas, distribu´ıdas por quatro naipes, Copas (hearts), Espadas (spades), Ouros (diamonds)e Paus (clubs), com treze cartas cada. No Pokertodos os naipes tˆem o mesmo valor e, dentro de cada naipe, h´a uma ordenac¸˜ao nas cartas, sendo o ´Asa carta de valor mais elevado e o duque (dois) o de valor mais baixo. Tem-se a seguinte ordenac¸˜ao por ordem crescente dentro de cada naipe: 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9, 10, Valete (Jack - J), Dama (Queen - Q), Rei (King - K) e ´As (Ace - A), sendo atribu´ıdos os valores num´ericos 11, 12, 13 e 14 a J, Q, K e A, como se pode observar na Figura 4.1:

Figura 4.1: Ordenac¸˜ao do valor num´erico das cartas dentro de cada naipe.

Em algumas vers˜oes do jogo, o ´Aspode assumir o valor um e/ou catorze. As m˜aos e a respetiva valorac¸˜ao s˜ao idˆenticas em todas as vers˜oes.