3.3 Métodos Previsores
3.3.1 Sinal do Determinante da Matriz de Rigidez
Diferentes critérios são encontrados na literatura para determinar a direção correta da trajetória de equilíbrio. O método de escolha do sinal apropriado mais utilizado foi originalmente introduzido por Crisfield (1981).
Neste método, a escolha do sinal s para a Equação 3.46 é fundamentada na definição da matriz de rigidez tangente, do seguinte modo
s(∆λ1) = s(det(Kt)) (3.47)
onde Kté a matriz de rigidez tangente da estrutura no início do incremento, quando∆λ1 é calculado.
A Equação 3.47 determina que o sinal de∆λ1será sempre positivo quando o deter- minante de Kt for positivo, o que significa que a matriz de rigidez é positiva definida (estrutura está em equilíbrio estável). Do mesmo modo, quando o determinante de Kt for negativo (estrutura está em equilíbrio instável) o sinal de∆λ1será negativo.
Além do mais, neste critério, o sinal do determinante poderá ser facilmente calcu- lado através da análise do sinal dos termos da matriz diagonal D, originada do processo de fatorização LDLTda matriz de rigidez Kt. Esta analise é feita do seguinte modo
{
todos D > 0→ s = +1
ao menos um D < 0→ s = −1 (3.48)
Este método responde bem na presença de pontos limites. No entanto, na presença de pontos de bifurcação o sinal geralmente fica oscilando entre positivo e negativo em sua vizinhança.
3.4
Comprimento de Corda Incremental
A determinação do tamanho apropriado para o comprimento de corda incremental ∆l ainda é um procedimento subjetivo. Por conta disso, seu tamanho ideal depende de alguns fatores do comportamento da trajetória de equilíbrio, tais como o grau de não linearidade da curvatura da trajetória de equilíbrio e a posição dos pontos limites e de bifurcação.
Como ainda não existe uma regra geral para definir comprimento de corda ideal, a primeira estimativa depende de um processo de tentativa e erro.
O comprimento de corda pode ser considerado fixo, onde o valor é constante ao longo de todo o processo do Método da Corda, ou variável, no qual seu valor varia durante o processo incremental.
A magnitude do primeiro comprimento de corda incremental (∆l) pode ser um valor arbitrado pelo analista antes do início do processo ou esta magnitude apropriada pode
ser calculada no início do processo de acordo com a Equação 3.49.
∆l = √
(δpt0)Tδpt0 (3.49)
ondeδpt0 é o vetor de deslocamento iterativo calculado no início do processo do Mé- todo da Corda, o que justifica o índice sobreposto 0.
Para os demais passos incrementais o comprimento de corda∆l, caso seja variável, pode ser determinado de forma automática durante o processo incremental através do procedimento chamado de passo de dimensionamento automático10.
Este procedimento tem como finalidade mensurar o grau de não linearidade da traje- tória de equilíbrio. Esta técnica leva ao fornecimento de pequenos incrementos quando a resposta é mais não-linear e de grandes incrementos quando a resposta é mais linear.
O algoritmo deste procedimento ajusta o tamanho do próximo incremento através de uma relação entre o comprimento de corda incremental no passo atual e número de iterações necessários para alcançar a convergência. Esta técnica foi desenvolvida por Crisfield (1981) e é dada pela Equação 3.50.
∆li=∆l0 ( Id I0 )n =∆l0 ( Id I0 )1/2 (3.50)
onde∆lié o novo comprimento de corda incremental,∆l0é o comprimento de corda in- cremental no passo atual, I0é número de iterações requeridas e Id o número de iterações desejadas. Nota-se que estas duas últimas variáveis são definidas pelo usuário no início do processo. Ainda na Equação 3.50, observa-se que o parâmetro n foi considerado como 0, 5 por Ramm (1981), com o intuito de evitar que ocorram rápidas oscilações no comprimento de corda incremental∆l.
Caso raízes complexas sejam encontradas o comprimento de corda deve ser redu- zido e o processo do Método da Corda reiniciado. O procedimento utilizado para reduzir este comprimento de corda é chamado de corte automático de incremento11, e é dado
10Termo traduzido livremente do original em inglês: Automatic step sizing. 11Traduzido livremente do inglês: automatic increment cutting.
pela Equação 3.51.
∆li+1=β∆li (3.51)
onde,β é um escalar com valor definido entre
0, 1≤β ≥ 0,5 (3.52)
O corte automático de incremento também é utilizado quando o sistema não alcança a convergência após atingir o número máximo de iterações permitidas, cujo valor é adotado no início do processo.
4
Otimização do Método da Corda
Nos Capítulos anteriores foram descritas e formuladas todas as etapas referentes ao Método da Corda. Foi visto que existem alguns pontos que podem dificultar o bom funcionamento deste método. Por conta disso, e o objetivo deste Capítulo consiste sistematicamente em apresentar soluções para tais imperfeições.
Como já foi supracitado na Seção 3.4, ainda não existe na literatura um método específico com a finalidade de determinar e controlar o tamanho apropriado para o com- primento de corda ao longo do passo incremental no Método da Corda.
Este é um critério muito importante para o desenvolvimento dos métodos de con- tinuação, pois o tamanho do comprimento de corda irá afetar todos os passos necessá- rios para circunscrever a trajetória de solução considerada. Além disso, a cada passo incremental, este também afetará o número de iterações de equilíbrio requeridas para alcançar convergência no passo corretor e, ainda, poderá afetar o custo total para traçar toda a trajetória.
As técnicas apresentadas na Seção 3.4 para determinar e controlar o tamanho do comprimento de corda levam a procedimentos que trabalham razoavelmente bem para problemas com suaves não linearidades. Todavia, apresentam algumas dificuldades em estruturas que possuem mudanças repentinas e fortes não linearidades em suas trajetó- rias de equilíbrio. Também é importante ressaltar que, caso o comprimento de corda seja mal dimensionado, há possibilidade de raízes complexas aparecerem.
Um dos pontos chave em um algoritmo de Método da Corda diz respeito à esco- lha correta do sinal do parâmetro de carregamento incremental na primeira iteração em
cada passo incremental-iterativo. Entretanto, conforme a Seção 3.3, existem vários cri- térios propostos na literatura para tal determinação, porém nenhum com desempenho satisfatório.
A escolha incorreta deste sinal inevitavelmente levará a uma resposta indesejada e, consequentemente, causará a falência do método ou por divergência no passo corretor ou pelo retorno da trajetória (doubling back) em pontos previamente calculados. Isto normalmente acontece na presença de pontos limites e de bifurcação, principalmente quando as estruturas possuem comportamentos fortemente não lineares.
Finalmente, quanto aos problemas de retorno da trajetória (doubling back) em pon- tos já convergidos, estes podem ocorrer em qualquer estágio de um método de continu- ação e caracterizam-se como o "fenômeno"mais indesejável que pode ocorrer em um método de continuação.
Este fenômeno ocorre quando, por alguma razão, uma solução atual (representada por esta letra k), converge para uma solução já calculada anteriormente (k−1), ao invés de convergir para a próxima solução desejada (k + 1). Quando isto ocorre não é possível traçar a trajetória de equilíbrio completa da estrutura em questão.
Em geral, o doubling back pode ocorrer apenas se uma estimativa inicial ruim é construída no estágio previsor do método, onde o critério para a escolha do incremento de carregamento inicial correto não funciona apropriadamente. Dessa forma, o doubling
back pode ser evitado se um critério correto for válido.
Na realidade, a ocorrência dos doubling backs se dão através da deficiência entre o parâmetro de trajetória usado e o verdadeiro comprimento de corda, o qual aumenta quando as características não lineares se tornam mais intensas.
A única maneira para diminuir esta deficiência é adaptar uma estratégia própria de controle do comprimento de corda, tal que a mudança entre quaisquer duas soluções adjacentes não sejam muito acentuadas. A escolha de um preditor tangente próximo à solução desejada garantirá encontrar um corretor adequado.
ximas seções, dois métodos que serão acrescentados ao Método da Corda. Um método define um comprimento de corda incremental e o outro propõe um novo critério de determinação do sinal do previsor.
Primeiramente, será proposto o Método da Corda Acumulado, desenvolvido por Teng e Luo (1998). Este método possui parâmetros de controle do comprimento de corda e é muito estável, mesmo em estruturas com comportamentos estruturais forte- mente não lineares.
O segundo método foi desenvolvido por Feng et al. (1995) e diferencia-se dos de- mais por determinar o sinal apropriado (positivo ou negativo), levando em consideração o histórico do comportamento da trajetória de equilíbrio em questão.
Ao modificar o Método da Corda utilizando estes dois métodos, os problemas acima citados serão resolvidos. Este novo método possui maior estabilidade de execução e ga- rante que a trajetória de equilíbrio de uma estrutura seja sempre obtida, não importando qual o seu grau de não linearidade.