Foram definidos limites para as 3 variáveis do controlador a serem otimizadas, Kp, Ki e Kd, de acordo com a Tabela 8. Esses limites foram definidos arbitrariamente, considerando que os parâmetros inciais do controlador, obtidos manualmente, estivessem dentro da faixa definida para cada variável.
Tabela 8 – Limites das variáveis a serem otimizadas
Limite mínimo Limite máximo
Kp 0,20 2,20
Ki 0,01 1,20
Kd 0,20 1,80
Os limites definidos garantem que o AG não irá procurar soluções fora das faixas definidas, ou seja, eles delimitam o espaço de busca, garantindo a convergência mais rápida e eficaz do algoritmo. A Execução 1 obteve os parâmetros PID definidos na Tabela 9.
Tabela 9 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 1 do AG
Kp 1,49
Ki 0,86
Kd 1,39
Fonte: (AUTOR, 2019)
É possível ver que os ganhos obtidos pelo algoritmo são diferentes dos ganhos iniciais, obtidos empiricamente, e também são mais elevados. Esse conjunto de ganhos foi inserido no controlador PID, e obteve-se a resposta ao degrau mostrada na Figura 29.
Figura 29 – Resposta ao degrau para Execução 1 do AG
A resposta obtida possui um alto overshoot, da ordem de 55,8%, sendo atingido em 2,99 s. O tempo de subida foi de 1,83 s. O tempo de acomodação foi de aproximadamente 10 s, permanecendo a resposta em 15% de erro em regime permanente. Verifica-se que houve uma melhora quantitativa em todas as variáveis da resposta, com exceção do valor de pico. O sistema atingiu o regime em um tempo mais curto, e portanto, teve uma reação melhor à mudança de referência. Verifica-se também, qualitativamente, que a resposta se tornou menos oscilatória, se comparada à resposta obtida com parâmetros empíricos. O índice ITAE ficou em 0,118.
Na sequência, foram definidos novos limites para as variáveis, de acordo com os parâmetros PID encontrados na execução anterior do algoritmo. Com isso, espera-se facilitar a convergência do algoritmo e verificar se o mesmo será capaz de alcançar parâmetros que otimizem ainda mais a resposta. Os limites são de acordo com a Tabela 10.
Tabela 10 – Limites das variáveis PID
Limite mínimo Limite máximo
Kp 0,80 2,20
Ki 0,08 1,20
Kd 0,40 1,70
Fonte: (AUTOR, 2019)
A Execução 2 do algoritmo produziu os parâmetros PID definidos na Tabela 11. O índice ITAE foi de 0,112.
Tabela 11 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 2 do AG
Kp 2,05
Ki 0,77
Kd 1,18
Fonte: (AUTOR, 2019)
A resposta ao degrau pode ser verificada na Figura 30. O tempo de subida foi de 1,58 s e o de pico, de 3,85 s. O máximo overshoot atingiu 33,3%. A resposta atingiu o regime permanente rapidamente, estabilizando dentro de 15% em
aproximadamente 5,5 s. Verifica-se que os parâmetros encontrados são mais próximos do ideal, visto que a resposta foi otimizada em alguns aspectos específicos, e no geral, ficou mais estável, com diminuição do sobrepico.
Figura 30 – Resposta ao degrau para Execução 2 do AG
Fonte: (AUTOR, 2019)
Como os parâmetros PID permaneceram em uma faixa próxima a do teste anterior, definiu-se uma nova faixa de limites para as variáveis, a partir da qual os testes subsequentes foram executados. Os limites foram definidos de acordo com a Tabela 12.
Tabela 12 – Novos limites das variáveis PID
Limite mínimo Limite máximo
Kp 1,50 2,50
Ki 0,50 1,50
Kd 1,00 2,00
Uma nova execução do algoritmo, a Execução 3, obteve os parâmetros definidos pela Tabela 13. O índice ITAE foi de 0,116.
Tabela 13 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 3 do AG
Kp 2,32
Ki 1,10
Kd 1,58
Fonte: (AUTOR, 2019)
Verifica-se que os ganhos mudaram ligeiramente. A resposta ao degrau produzida por esse conjunto de parâmetros pode ser vista na Figura 31.
Figura 31 – Resposta ao degrau para Execução 3 do AG
Fonte: (AUTOR, 2019)
Essa resposta teve um tempo de subida de 1,77 s, um tempo de pico de 4,04 s, atingindo um overshoot de 30,8%. A resposta estabilizou dentro da faixa de 15% em aproximadamente 5,8 s. Considerando uma maior estabilidade em regime permanente, se comparada à reposta do teste anterior, pode-se destacar que a resposta se acomodou dentro de uma faixa de 11% de erro em regime em menos de
9 s. Esse conjunto de ganhos PID obteve um desempenho próximo ao do teste anterior, aitngindo inclusive uma melhora no sobrepico, que diminuiu em aproximadamente 3%.
Na sequência, a Execução 4 do AG alterou um dos parâmetros do algoritmo que até então estava fixo, o de proporção de indivíduos elite. A alteração dessa opção faz com que a proporção de indivíduos gerados por mutação também mude. Nesse teste, a proporção de indivíduos elite foi alterada de 5% para 10%, sendo que a partir disso a mutação contribui com 10% da formação da população. O cruzamento foi mantido fixo em 80%. O conjunto de parâmetros PID obtidos está na Tabela 14. A resposta ao degrau obteve um índice ITAE de 0,135 e pode ser vista na Figura 32.
Tabela 14 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 4 do AG
Kp 2,10
Ki 1,39
Kd 1,92
Fonte: (AUTOR, 2019)
Figura 32 – Resposta ao degrau para Execução 4 do AG
O tempo de subida foi de 1,64 s, e o de pico, 3,25 s, com um overshoot de 36,8%. A resposta acomodou-se em 15% de erro em regime em aproximadamente 5,2 s. Percebe-se que a qualidade da resposta diminui em relação aos dois testes prévios, com um pico mais elevado e também um leve, mas perceptível aumento das oscilações. Conclui-se que o aumento da proporção na elitização não foi favorável à sintonia do controlador PID.
A Execução 5 do AG foi realizada, em seguida, com o intuito de verificar o efeito da mudança do tipo de seleção e do tipo de mutação. A seleção é do tipo tournament, que obteve o segundo melhor resultado entre os métodos de seleção nos testes prévios, e a mutação do tipo uniform, que também obteve o segundo melhor resultado após o método padrão adaptive feasible. Nesse teste, o índice ITAE obtido foi 0,118, e os ganhos PID conforme a Tabela 15.
Tabela 15 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 5 do AG
Kp 1,89
Ki 0,78
Kd 1,43
Fonte: (AUTOR, 2019)
A resposta obtida está na Figura 33. Verifica-se que o tempo de subida foi de 1,64 s e o de pico de 2,94 s. O overshoot foi diminuído para 28%, o melhor desempenho em relação aos testes anteriores. A resposta em regime não foi tão estável, permanecendo dentro de uma faixa de 15,5% após 6,6 s aproximadamente. O conjunto de parâmetros PID obtidos permitiu atingir uma resposta adequada, com um aumento no tempo de estabilização.
Figura 33 – Resposta ao degrau para Execução 5 do AG
Fonte: (AUTOR, 2019)
Com o intuito de diminuir o overshoot da resposta ao degrau, foi efetuado um último teste utilizando o índice ISE. Esse índice integra o erro ao quadrado, e possui um maior efeito sobre o erro em regime transitório, tendo pouca atuação na minimização do erro em regime permanente. As simulações foram alteradas para calcular o índice ISE e utilizá-lo como função fitness para o algoritmo genético. Os parâmetros PID obtidos na Execução 6 estão na Tabela 16.
Tabela 16 – Ganhos do controlador PID obtidos pela Execução 6 do AG
Kp 2,14
Ki 0,78
Kd 1,93
Fonte: (AUTOR, 2019)
Como o índice ISE não multiplica o erro pelo tempo, seu valor absoluto não pode ser comparado diretamente com o ITAE. Para essa execução do AG, o valor do ISE obtido foi de 0,0038. A resposta ao degrau pode ser vista na Figura 34.
Figura 34 – Resposta ao degrau para Execução 6 do AG
Fonte: (AUTOR, 2019)
Essa resposta obteve um tempo de subida de 2,27 s. O overshoot foi de 26,8%, atingindo o pico em 3,58 s. Percebe-se que a sintonia do controlador utilizando o índice ISE foi eficaz em diminuir o overshoot. No entanto, o erro em regime permaneceu considerável, e a resposta estabilizou em 15% apenas após 21 s. Também é visível no gráfico a maior oscilação em regime permanente.
Para fins de comparação com métodos de sintonia estabelecidos, buscou-se efetuar o ajuste dos ganhos do controlador PID através do método oscilatório de Ziegler e Nichols, ou de resposta em frequência. Por esse método, é necessário levar o sistema até uma oscilação controlada, utilizando apenas o termo proporcional do controlador. Para o limiar de instabilidade, registram-se os ganhos críticos e período crítico da oscilação. A partir disso, utiliza-se uma tabela empírica para definir os valores dos ganhos PID. Para o caso da plataforma, o ganho crítico de oscilação foi de 0,52, com período de 4,34 s. Com isso, obtiveram-se os ganhos definidos na Tabela 17.
Tabela 17 – Ganhos do controlador PID para método de Ziegler e Nichols
Kp 0,31
Ki 2,17
Kd 0,54
Fonte: (AUTOR, 2019)
Com a inserção desses parâmetros no controlador, obteve-se o comportamento mostrado na Figura 35.
Figura 35 – Resposta do sistema para parâmetros PID obtidos por ZN
Fonte: (AUTOR, 2019)
Como é possível verificar no gráfico, o sistema tende à instabilidade com os ganhos obtidos. Não foi possível verificar a resposta ao degrau, já que o sistema se tornou instável mesmo em regime permanente. Dessa forma, verifica-se a incapacidade de um método de sintonia estabelecido em sintonizar o controlador aplicado à plataforma de testes. Em comparação, o método por algoritmo genético provou-se mais confiável e robusto.
A Tabela 18 traz um resumo das características da resposta ao degrau para os parâmetros PID obtidos em cada execução do AG, bem como para os parâmetros iniciais obtidos empiricamente. Verifica-se pelos dados apresentados que as Execuções 3 e 5 obtiveram os melhores resultados, sendo que a Execução 3 atingiu uma estabilidade maior em regime permanente, inclusive permanecendo em uma faixa menor de erro em relação às outras respostas (11%). Em comparação à resposta inicial, o AG otimizou os ganhos PID e melhorou o desempenho geral do sistema, aprimorando a resposta em todos os aspectos mensurados.
Tabela 18 – Resumo das características das respostas para os testes executados
tr (s) tp (s) Mp (%) ts (s) – 15% Inicial 4,80 6,16 33,8 23,0 Execução 1 1,83 2,99 55,8 10,0 Execução 2 1,58 3,85 33,3 5,5 Execução 3 1,77 4,04 30,8 5,8 Execução 4 1,64 3,25 36,8 5,2 Execução 5 1,64 2,94 28,0 6,6 Execução 6 2,27 3,58 26,8 21,0 Fonte: (AUTOR, 2019)
Na Tabela 18, tr é o tempo de subida, tp o tempo de pico, Mp o máximo pico e ts o tempo de acomodação (para o critério definido de 15% de erro em regime permanente). Os parâmetros do controlador PID obtidos para o teste inicial e para a Execução 3, que obteve o melhor desempenho geral, são apresentados na Tabela 19.
Tabela 19 – Resumo dos parâmetros PID para o teste inicial e o melhor resultado do AG
Inicial Execução 3
Kp 1,00 2,32
Ki 0,10 1,10
Kd 0,50 1,58
5 CONCLUSÃO