ATRASO DE TRANSPORTE
Exemplo 5.1. Sistema de controle para uma planta estável em malha aberta, cujo modelo
de primeira ordem representa um sistema de tanque de aquecimento (NORMEY-RICO; CAMACHO, 2007, pág. 287), sendo dado por
P(s) = 1
2s + 1e
−4s
.
A discretização desse modelo, fazendo-se Ts= 0.2, leva a
P(z) = 0.095z
−1
1 − 0.905z−1z −20.
O algoritmo GPC foi sintonizado com os mesmos parâmetros definidos por Nor- mey-Rico e Camacho (2007), ou seja, Nu = Ny=15 e λ = 1.
O algoritmo LQG foi sintonizado com Q = I, R = 1, Rw = 1 e Rv = 1.
O polinômio-T, foi ajustado com polo α = 0.85, para ambos GPC-T e LQG-T, a levando a
T(z−1) = 1 − 1.7z−1+ 0.72z−2. (5.60)
Para este exemplo, considera-se uma simulação onde se inclui uma perturbação de entrada igual a 0, 1 em t = 40 s e uma perturbação de saída igual a 0, 1 em t = 26 s.
Todas as simulações consideram que há um erro de modelagem quanto ao atraso igual a 10%, ou seja, os controladores são projetados para a planta nominal, no entanto, a planta real exibe um atraso de transporte efetivo 10% maior.
A Figura 46a mostra a resposta em frequência do sistema controlado, considerando uma incerteza de 10% em relação ao atraso. A partir dos gráficos mostrados, pode-se per- ceber que, para o polinômio-T dado pela equação (5.60), o GPC-T é mais robusto quanto ao atraso. Apesar disso, observando-se a resposta temporal da Figura 46b, percebe-se que o LQG-T é mais rápido quanto à rejeição a perturbações, embora apresente comporta- mento mais oscilatório.
Figura 46 – Análise do sistema estável do exemplo 5.1. (a) Robustez quanto ao atraso para α = 0, 85.
10−3 10−2 10−1 100 101 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 frequência (rad/s) magnitude (dB) δP δPLQG-T δPGPC-T Fonte: Autor.
(b) Resposta ao degrau considerando-se α = 0, 85 e 10% de incerteza em relação ao atraso. 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 Saída amplitude 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 Sinal de controle amplitude tempo (s) ref LQG−T GPC−T Fonte: Autor.
A Figura 48 mostra o que ocorre com a resposta temporal quando se faz α → 1. O algoritmo GPC-T aparenta tender à instabilidade (na verdade acomoda muito lentamente) enquanto o LQG-T torna a resposta levemente mais lenta do que a observada quando se faz α = 0, 85, mas não apresenta mudanças significativas na resposta dinâmica ou no rejeição à perturbação.
Completando a análise, ao se ajustar o polo em α = 0, 7, a fim de tornar a resposta do algoritmo GPC-T mais rápida, percebe-se então, pela Figura 49a que, neste caso, o algoritmo LQG-T passa a ser mais robusto em relação ao atraso do o GPC-T. Percebe-se ainda, a partir da resposta temporal mostrada na Figura 49b, que o controlador GPC-T passa a apresentar uma resposta mais oscilatória que a resposta temporal do controlador LQG-T.
O ajuste α = 0, 7 leva ambos os controladores a apresentarem desempenho seme- lhante quanto ao rejeição a perturbações em baixas frequências. Entretanto, o polinômio-T para o algoritmo LQG não leva em consideração o integrador, já que possui a mesma or-
5.2. Preditor de compensação explícita modificado: um preditor-observador para o controle ótimo 133
Figura 47 – Análise do sistema estável do exemplo 5.1.
Figura 48 – Resposta ao degrau considerando-se α = 0, 99 e 10% de incerteza em relação ao atraso. 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 Saída amplitude 0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 Sinal de controle amplitude tempo (s) ref LQG−T GPC−T Fonte: Autor.
dem de A(z−1) e não ∆A(z−1), como é o caso do algoritmo GPC. Neste caso, a fim de se
obter uma análise comparativa mais ampla, decidiu-se verificar também o comportamento em altas frequências, onde se inclui ruído aditivo branco na saída do sistema controlado, em t = 70 s. Assim, a Tabela 8 mostra os índices de desempenho de entrada (TV) e saída (LDR), que são aqueles apresentados por Skogestad (2003), e podem ser tomados em rela- ção ao seguimento de referência (SR - Setpoint Reference), à perturbação de carga (LDR - Load Disturbance Rejection) ou à rejeição a ruído (NR - Noise Rejection). Percebe-se que tanto o seguimento de referência quanto o rejeição à perturbação de carga tem índices mais reduzidos no algoritmo LQG-T indicando assim, maior robustez em relação às bai- xas frequências. Entretanto o rejeição a ruído é menor no algoritmo GPC-T, o que pode ser compreendido observando-se o gráfico de robustez. O gráfico de δP para ambos os controladores é na verdade o inverso função de transferência em malha fechada, portanto, percebe-se que o algoritmo GPC-T atenua mais as altas frequências do que o algoritmo LQG-T.
Tabela 8 – Índices de desempenho do sistema do exemplo 5.1, considerando-se α = 0, 7. Controlador SR LDRIAE NR SR LDRTV NR
GPC-T 6,23 0,61 1,31 4,68 0,31 1,54 LQG-T 6,05 0,56 1,35 2,73 0,16 6,28
Fonte: Autor.
De fato, a resposta temporal do controlador LQG-T varia pouco neste caso porque se trata de um sistema de primeira ordem e o posicionamento do polo do polinômio ocorre apenas no eixo real. Em sistemas de ordem mais elevada pode-se posicionar o polo do
Figura 49 – Análise do sistema estável do exemplo 5.1. (a) Robustez quanto ao atraso para α = 0, 7.
10−3 10−2 10−1 100 101 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 frequência (rad/s) magnitude (dB) δP δPLQG-T δPGPC-T Fonte: Autor.
(b) Resposta ao degrau considerando-se α = 0, 7 e 10% de incerteza em relação ao atraso. 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 1.5 Saída amplitude 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 1.5 2 Sinal de controle amplitude time (s) ref GPC−T LQG−T Fonte: Autor.
sistema sobre o plano complexo e, neste caso, as variações na resposta são mais sensíveis. Este caso é explorado no próximo exemplo.
Exemplo 5.2. Neste caso analisa-se o comportamento de posicionamento de polos do
polinômio-T para uma planta integradora em malha aberta, cujo modelo é dado por (NORMEY-RICO; CAMACHO, 2009):
P(s) = −0.1 s(5s + 1)e
−5s. (5.61)
A discretização desse modelo, fazendo-se Ts= 0.1, leva a
P(z) = (−9, 9z
−1
− 9, 87z−2)10−5
1 − 1, 98z−1+ 0, 9802z−2 z −50.
Para este exemplo, optou-se por comparar os controladores LQG-T e LQG/LTR com o GPC, já que neste caso, por se tratar de uma planta de ordem maior que 1, percebe-se claramente o efeito ddo polinômio-T com polos complexos conjugados.
O algoritmo GPC-T foi sintonizado considerando-se Nu = 50, Ny = 50 e λ = 1. O polinômio-T tem polos localizados em ρ = 0.9802 ± ∠20o.
O algoritmo LQG-T tem Q = I, R = 1, Rw = 1 e Rv = 1. Porém, o polinômio-T tem polos complexos conjugados localizados em ρ = 0.9802 ± ∠1, 5o.
O algoritmo LQG/LTR tem Q = I, R = 1, Rv = 1 e Rw = q2BBT, onde q = 4. Para este exemplo, considera-se uma simulação onde se inclui uma perturbação de entrada igual a 0, 2 em t = 50 s.
A análise de robustez em relação ao atraso é apresentada na Figura 50a, onde se considera uma incerteza de 20% no valor do atraso puro. O resultado temporal quando
5.2. Preditor de compensação explícita modificado: um preditor-observador para o controle ótimo 135
não se considera a incerteza no atraso é mostrado na Figura 50b. A Figura 50c apresenta a resposta temporal quando se considera a incerteza de 20% no atraso.
Figura 50 – Análise do sistema integrador do exemplo 5.2. (a) Robustez quanto ao atraso.
10−3 10−2 10−1 100 101 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 frequência (rad/s) magnitude (dB)
Robustez para 20% de incerteza no atraso
δP δPLQG/LTR δPLQG-T δPGPC-T
Fonte: Autor.
(b) Resposta temporal sem incerteza no atraso. 0 20 40 60 80 100 0 0.5 1 1.5 Saída amplitude 0 20 40 60 80 100 −6 −4 −2 0 2 Sinal de controle amplitude time (s) ref LQG−T LQG/LTR GPC−T Fonte: Autor. (c) Resposta temporal com incerteza de 20%
no atraso. 0 50 100 150 200 0 0.5 1 1.5 Saída amplitude 0 50 100 150 200 −5 0 5 Sinal de controle amplitude tempo (s) ref LQG−T LQG/LTR GPC−T Fonte: Autor.
O resultado da Figura 50c comprova a análise gráfica da Figura 50a, já que o único algoritmo a ultrapassar a barreira de robustez correspondente a 20% do valor nominal do atraso é aquele relativo ao GPC-T.
Outro ponto importante a se observar diz respeito à escolha dos polos do polinômio- T, que assume o mesmo módulo ρ mas diferentes ângulos θ para o GPC-T e para o LQG-T. A escolha θ = 1, 5o para o algoritmo LQG-T deve-se ao fato de buscar uma resposta próxima àquela obtida para o algoritmo LQG/LTR quando se faz q = 4, no que diz respeito ao rejeição à perturbação de entrada. Baseado nisso, procurou-se posicionar o
ângulo θ, para o caso GPC-T, que mais acelerasse a resposta de modo a deixar o rejeição à perturbação semelhante ao rejeição dos controladores ótimos. Entretanto, percebe-se que para valores acima de θ = 20o já não se consegue acelerar a resposta. Além disso, neste ponto o algoritmo GPC-T já viola o critério de robustez quanto ao atraso, como se vê na Figura 50a.