Para o painel aeron´autico parcialmente tratado representado na Figura 2.8, o procedi- mento de constru¸c˜ao do MEF ´e similar ao da se¸c˜ao 3.2.3. No entanto, ´e necess´ario realizar a rota¸c˜ao das matrizes elementares da se¸c˜ao 2.3.2, antes da montagem a n´ıvel global. E da mesma forma que na se¸c˜ao 2.3, torna-se imprescind´ıvel tratar os gdls fict´ıcios locais θ′
z e w′
3 que aparecem no processo de rota¸c˜ao. Sem este tratamento, a matriz de rigidez effetiva da integra¸c˜ao do Newmark [58] pode se tornar singular pelas mesmas raz˜oes. Isto faz com que a resposta temporal obtida divirja com o tempo, sinˆonimo de um sistema inst´avel. Por- tanto, adicionar as mesmas energias de deforma¸c˜ao fict´ıcias das equa¸c˜oes (2.55a) e (2.55b) ajuda a reduzir consideravelmente o n´umero de condicionamento da matriz de rigidez efetiva, possibilitando torn´a-la invers´ıvel. Consequentemente, todas as matrizes e vetor de esfor¸cos elementares s˜ao de tamanho (36,36) e (36,1).
MODELAGEM DE SISTEMAS AEROVISCOEL ´ASTICOS
Neste cap´ıtulo, a teoria aerodinˆamica aplicada a placas e pain´eis curvos contendo tra- tamentos viscoel´asticos por camadas restritas passivas ´e introduzida dando seguimento aos desenvolvimentos descritos nos cap´ıtulos II e III. Atrav´es da teoria do Pist˜ao, um carrega- mento aerodinˆamico supersˆonico/hipersˆonico ´e gerado em forma matricial e introduzido nos respectivos modelos de elementos finitos dos sistemas viscoel´asticos. As instabilidade aeroe- l´asticas das estruturas em quest˜ao ser˜ao analisadas tanto no dom´ınio frequencial quanto no dom´ınio temporal.
4.1
Teoria aerodinˆamica
A teoria aerodinˆamica usada neste trabalho para representar o efeito do escoamento de ar sobre as estruturas viscoel´asticas desenvolvidas ´e a conhecida teoria do Pist˜ao, introduzida inicialmente por Lighthill [68]. Trata-se de uma abordagem amplamente difundida para determinar as caracter´ısticas do flutter de paneis aeron´auticos [69–73]. Segundo esta teoria, a press˜ao aerodinˆamica gerada por um escoamento de ar supersˆonico/hipersˆonico sobre um lado da placa (do outro lado o ar permanece estagnado) pode ser descrita de maneira geral tal como proposto por Ashley [70]
P P∞ = 1 + γar− 1 2a∞ ∂w ∂t + U∞ ∂w ∂x 2γar γar−1 (4.1)
sendo P∞ a press˜ao n˜ao perturbada (press˜ao distante do sistema), a∞ a velocidade do som, γar a raz˜ao entre os calores espec´ıficos do ar (≈ 1, 4) e U∞ a velocidade do escoamento n˜ao perturbado. A dire¸c˜ao do escoamento ´e determinada pela vari´avel em rela¸c˜ao a qual ´e derivado o deslocamento w na equa¸c˜ao (4.1) (neste caso ´e a dire¸c˜ao x).
A equa¸c˜ao (4.1) pode ser expandida em s´erie, onde a ordem desta expans˜ao determinar´a o grau de n˜ao linearidade da teoria do Pist˜ao adotada. Neste trabalho, usa-se a vers˜ao mais simples da teoria do Pist˜ao linear que j´a ´e suficiente para predizer a ocorrˆencia de flutter painel para as duas estruturas de interesse. Entretanto, caso o objetivo do trabalho seja a determina¸c˜ao dos deslocamentos e por consequˆencia o ciclo limite da estrutura, faz-se necess´ario uma abordagem n˜ao linear. Deste forma, a varia¸c˜ao de press˜ao se torna [71]
P − P∞= 2q β ∂w ∂x + ζ ∂w ∂t (4.2)
sendo q = 12ρaU∞ a press˜ao dinˆamica, ρa a densidade do ar, β = p M2 ∞− 1 e ζ = M2 ∞−2 M2 ∞−1 1 U∞ onde M∞ ´e o n´umero de Mach.
Nesta ´ultima equa¸c˜ao, a derivada em rela¸c˜ao ao tempo ´e respons´avel pelo amortecimento aerodinˆamico. Na literatura, este termo ´e muitas vezes desprezado por ter pouca influˆencia [69]. Entretanto, neste trabalho o amortecimento aerodinˆamico ser´a considerado no intuito de se obter um sistema aeroviscoel´astico mais completo.
O trabalho gerado pela press˜ao aerodinˆamica ´e ent˜ao computado da seguinte forma:
W = − Z S(P − P ∞)w dS = − Z S 2q β ∂w ∂x + ζ ∂w ∂t w dS (4.3)
Este trabalho, sendo n˜ao conservativo, ´e adicionado ao lado direto da equa¸c˜ao do movi- mento atrav´es das equa¸c˜oes de Lagrange, atuando ent˜ao como uma for¸ca externa adicional. Vˆe-se que ele, al´em de depender da velocidade do escoamento U∞, depende tamb´em do des- locamento transversal w. Esta dependˆencia das for¸cas externas com o deslocamento, e o deslocamento com as for¸cas induz o sistema a uma condi¸c˜ao tal que, ao inv´es de dissipar energia a estrutura aumenta seu estado energ´etico ao extrair energia do escoamento. Este
processo pode continuar at´e o movimento da estrutura apresentar um movimento harmˆo- nico e logo um amortecimento positivo resultando em oscila¸c˜oes divergentes. A velocidade em que isto ocorre ´e dado o nome de velocidade cr´ıtica de flutter. A partir deste ponto, a instabilidade gerada torna o sistema autoexcitado [3].
A teoria do Pist˜ao ´e aplicada para um escoamento supersˆonico, ou at´e hipersˆonico, o que define M∞ = 1 como sendo o limite inferior de validade de teoria. No entanto, muitos autores afirmam que o verdadeiro limite inferior ´e em torno de M∞ = 1, 7 [72, 74, 75], fato que soa bastante coerente, uma vez que o parˆametro ζ exige a condi¸c˜ao M∞ ≥
√
2 para ser definido.
Por outro lado, a vers˜ao da teoria do Pist˜ao da equa¸c˜ao (4.2) vale para painel plano. Para painel curvo como o apresentando nas se¸c˜oes 2.3 e 3.3, ´e geralmente preciso um ajuste da teoria, como mencionado no trabalho do Krumhaar [76]. Por´em, neste trabalho, a geometria curva do painel industrial foi aproximada somente por elementos planos, cuja quantidade foi escolhida grande o suficiente para evitar o uso de elementos finitos curvos para representar a dinˆamica estrutural. Consequentemente, o ajuste desenvolvido por Krumhaar, mesmo que necess´ario, n˜ao pode ser aplicado a estes elementos planos. Al´em disso, se a dire¸c˜ao do fluxo ´e imposta como sendo na dire¸c˜ao sem curvatura do painel (ou seja y local na Figura 2.9), este reajuste n˜ao ´e mais necess´ario.