Nesta seção, apresentamos a nossa contribuição à teoria de sistemas impulsivos dissipa- tivos autônomos. Os resultados principais, apresentam condições para obtermos dissipati- vidade local via funções do tipo Lyapunov. Os resultados desta seção estão apresentados no artigo [14].
No que segue, utilizaremos funções a valores reais definidas em X que são não cres- centes ao longo do semifluxo. Tais funções são chamadas de funções do tipo Lyapunov.
Iniciamos apresentando um resultado preliminar para sistemas fracamente dissipativos. Lema 3.12. [14, Proposição 4.2] Seja (X, ⇡; M, I) fracamente dissipativo com atrator fraco A. Dados ✏ > 0 e x 2 X, existem T = T (x, ✏) > 0 e δ = δ(x, ✏) > 0 tais que
˜
⇡(B(x, δ), [T, +1)) ⇢ ˜⇡(B(A, ✏), [0, +1)).
Demonstração. Sejam x 2 X e ✏ > 0 dados. Como A é atrator fraco, segue que existe um número tx = tx(✏) > 0 tal que ˜⇡(x, tx) 2 B
⇣ A,✏
2 ⌘
. Sem perda de generalidade, assumimos que tx6=
k
X
i=0
φ(x+i ) para todo inteiro k ≥ 0, pois B
⇣ A,✏
2 ⌘
é aberto. Se x /2 M , o resultado segue pelo Lema 2.21.
Se x 2 M, pela hipótese H3 (apresentada na Seção 2.4), o conjunto M satisfaz a condição STC, consequentemente, existe um STC-tubo F (L, [0, 2λ]) passando por x dado por uma seção S. Além disso, podemos obter ⌘ > 0 tal que B(x, ⌘) ⇢ F (L, [0, 2λ]), pois o tubo é uma vizinhança de x. Denote H1 e H2 por
H1= F (L, (λ, 2λ]) \ B(x, ⌘) e H2= F (L, [0, λ]) \ B(x, ⌘).
Usando as continuidades de I, ⇡ e φ, obtemos 0 < ⌘2 < ⌘ tal que ˜⇡(B(x, ⌘2)\H2, tx) ⇢
B (A, ✏).
Por outro lado, uma vez que I(x) /2 M , segue que existe tI(x) = tI(x)(✏) > 0 tal que
˜ ⇡(I(x), tI(x)) 2 B ⇣ A,✏ 2 ⌘
. Podemos assumir que tI(x) 6= k
X
i=0
k ≥ 0. Logo, podemos obter ⌘1> 0 (⌘1 < ⌘) tal que
˜
⇡(B(x, ⌘1) \ H1, tI(x)) ⇢ B(A, ✏).
Portanto, concluímos o resultado tomando δ = δ(x, ✏) = min{⌘1, ⌘2} e T = T (x, ✏) =
max{tx, tI(x)}.
Corolário 3.13. [14, Corolário 4.3] Seja (X, ⇡; M, I) fracamente k−dissipativo com k−atrator fraco K. Dados ✏ > 0 e x 2 X, existem T = T (x, ✏) > 0 e δ = δ(x, ✏) > 0 tais que
˜
⇡(B(x, δ), [T, +1)) ⇢ ˜⇡(B(K, ✏), [0, +1)).
É sabido que dissipatividade local implica em dissipatividade fraca, veja [8]. O próximo resultado mostra condições suficientes para uma recíproca desse fato utilizando funções de Lyapunov.
Teorema 3.14. [14, Teorema 4.4] Seja (X, ⇡; M, I) fracamente dissipativo com atrator fraco A ⇢ X. Suponha que existam ⌘ > 0, r ≥ 0 e uma função V : X −! [r, +1) satisfazendo as seguintes condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e para todo t ≥ 0; ii) B⌘\ M = ;, em que B⌘ = B(A, ⌘);
iii) para toda sequência {xn}n≥1 ⇢ X, temos que d(xn, B⌘) n!+1
−! 0 se, e somente se, V(xn)
n!+1
−! r.
Então (X, ⇡; M, I) é localmente dissipativo. Demonstração. Defina
c = inf{V(x) : x /2 B(A, 2⌘) [ M }. Note que c > r, pois a função V satisfaz a condição iii).
Dados ✏ > 0 (✏ < ⌘) e x 2 X, segue pelo Lema 3.12 que existem δx = δ(x, ✏) > 0 e
Tx= T (x, ✏) > 0 tais que
˜
⇡(B(x, δx), [Tx, +1)) ⇢ ˜⇡(B(A, ✏), [0, +1)).
Afirmamos que existe ⌧ > 0 tal que ˜
⇡(B(A, ✏), t) ⇢ B(A, 2⌘) para todo t ≥ ⌧.
Com efeito, suponhamos o contrário que existem {xn}n≥1 ⇢ B(A, ✏) e {tn}n≥1⇢R+ tais
que tn n!+1
Sistemas autônomos dissipativos via funções de Lyapunov 35 V(˜⇡(xn, tn)) ≥ c para todo n = 1, 2, . . .. Por outro lado, o item iii) implica que existe um
natural n0 2N tal que V(xn) < c para todo n ≥ n0. Portanto
c V(˜⇡(xn0, tn0)) V(xn0) < c,
o que é uma contradição. Portanto a afirmação está provada e ˜
⇡(B(x, δx), [Tx+ ⌧, +1)) ⇢ B(A, 2⌘),
como queríamos demonstrar.
Quando o atrator fraco é compacto, o seguinte resultado é obtido.
Teorema 3.15. [14, Teorema 4.5] Seja (X, ⇡; M, I) fracamente k−dissipativo com k−atrator fraco K. Suponha que existam um subconjunto limitado B ⊃ K, um número r ≥ 0 e uma função V : X −! [r, +1) contínua em uma vizinhança de K satisfazendo as seguintes condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e para todo t ≥ 0; ii) d(B, M ) = inf{d(x, y) : x 2 B e y 2 M } > 0;
iii) para toda sequência {xn}n≥1 ⇢ X, temos que d(xn, B) n!+1
−! 0 se, e somente se, V(xn)
n!+1
−! r.
Então (X, ⇡; M, I) é localmente dissipativo.
Demonstração. Seja ⌘ > 0 tal que B(B, ⌘) \ M = ; e defina c = inf{V(x) : x /2 B(B, ⌘) [ M }.
Pela condição iii), temos que c > r. Dado ✏ > 0, ✏ < c − r, existe a0> 0 tal que
z 2 B(K, a0) =) V (z) − r < ✏, (3.5)
pois K é compacto e a função V é contínua em uma vizinhança de K.
O Corolário 3.13 garante que dado x 2 X existem δx = δ(x, a0) > 0 e Tx = T (x, a0) > 0
tais que
˜
⇡(B(x, δx), [Tx, +1)) ⇢ ˜⇡(B(K, a0), [0, +1)).
Usando os mesmos argumentos da prova do Teorema 3.14 e a implicação (3.5), asse- guramos que existe ⌧ > 0 tal que
˜
⇡(B(x, δx), [Tx+ ⌧, +1)) ⇢ B(B, ⌘).
Corolário 3.16. [14, Corolário 4.6] Sob as hipóteses do Teorema 3.14, se o sistema (X, ⇡; M, I) for completamente contínuo então (X, ⇡; M, I) será localmente k−dissipativo. Analogamente, nas hipóteses do Teorema 3.15, o sistema (X, ⇡; M, I) será localmente k−dissipativo se (X, ⇡; M, I) for completamente contínuo.
Corolário 3.17. [14, Corolário 4.7] Sob as hipóteses do Teorema 3.14, se dimX < 1 então (X, ⇡; M, I) é localmente k−dissipativo. Analogamente, sob as hipóteses do Teorema 3.15, o sistema (X, ⇡; M, I) será locamente k−dissipativo se dimX < 1.
Corolário 3.18. [14, Corolário 4.8] Sob as condições do Corolário 3.16 (Corolário 3.17), o sistema (X, ⇡; M, I) é limitado k−dissipativo. Além disso, o sistema (X, ⇡; M, I) admite um atrator compacto que atrai limitados.
Demonstração. Pelo Corolário 3.16, o sistema (X, ⇡; M, I) é localmente k−dissipativo e, consequentemente, é compacto k−dissipativo. Seja ˜J o centro de Levinson de (X, ⇡; M, I) e B ⇢ X um subconjunto limitado. Note que existe ` > 0 tal que ˜⇡(B, `) é compacto e ˜
⇡(B, `) \ M = ;, pois (X, ⇡; M, I) é completamente contínuo. Portanto, lim
t!+1dist(˜⇡(B, t), ˜J ) = limt!+1dist(˜⇡(˜⇡(B, `), t), ˜J ) = 0
concluindo o resultado.
Exemplo 3.19. [14, Exemplo 4.9] Seja (Rn, ⇡) um sistema dinâmico dado pela equação
diferencial
dx
dt = f (x), onde f 2 C1(Rn,Rn) e x
ifi(x) < 0 para todo x 2Rn, x 6= 0, e para todo i = 1, 2, . . . , n.
Dado r0 > 0, considere o conjunto A = {x 2Rn: kxk r0}, onde kxk =
p x2
1+ . . . + x2n.
Sejam M um conjunto impulsivo em Rn e I : M ! Rn uma função impulso tais que:
1. I(M) \ M = ;;
2. kI(x)k kxk, para todo x 2 M; 3. M \ A = ;.
Afirmamos que o sistema impulsivo (Rn, ⇡; M, I) é fracamente k−dissipativo.
De fato, considere a função : Rn !R
+ dada por (x) = 8 < : exp −1 kxk − r0 ; , se x /2 A, 0, se x 2 A.
Sistemas autônomos dissipativos via funções de Lyapunov 37 Afirmação 1: (⇡(x0, t)) (x0) para todo x02Rn e para todo t ≥ 0.
Ora, sejam x0 2 Rn e x(t) := x(t, 0, x0) = ⇡(x0, t), onde x(t, 0, x0) é a solução de
dx
dt = f (x) com condição inicial x(0) = x0. Supondo que kx(t)k > r0, obtemos
0(x(t)) = n X i=1 @ @xi ˙xi(t) = n X i=1 exp −1 kx(t)k − r0 ; . xi(t)fi(x) (kx(t)k − r0)2kx(t)k < 0
para todo t ≥ 0 tal que x(t) /2 A. Agora, se x(t) 2 A então 0(x(t)) = 0. Isto garante que 0(⇡(x
0, t)) 0 para todo t ≥ 0. Assim, (⇡(x0, t)) (x0) para todo t ≥ 0.
Afirmação 2: (˜⇡(x0, t)) (x0) para todo x02Rn e t ≥ 0.
De fato, seja x02Rn. Para 0 t < φ(x0), segue da Afirmação 1 que
(˜⇡(x0, t)) = (⇡(x0, t)) (x0).
Em t = φ(x0), a Condição 2 e a Afirmação 1 implicam que
(˜⇡(x0, φ(x0))) = (I((x0)1)) ((x0)1) = (⇡(x0, φ(x0))) (x0).
Analogamente, para φ(x0) < t < φ(x0) + φ((x0)+1),
(˜⇡(x0, t)) = (⇡((x0)+1, t − φ(x0))) ((x0)+1) = (I((x0)1)) (x0),
e assim por diante. Afirmação 3: lim
t!+1 (˜⇡(x0, t)) = 0, para todo x0 2R n.
Seja x02Rn arbitrário. O limite lim
t!+1 (˜⇡(x0, t)) existe, pois pela Afirmação 2, temos
0 (˜⇡(x0, t)) (˜⇡(x0, s)) para todo t ≥ s ≥ 0. Suponhamos que
lim
t!+1 (˜⇡(x0, t)) = ` > 0. (3.6)
Defina o conjunto K = {x 2 Rn : kxk kx
0k e ` (x) (x0)}. Note que K é
compacto, e portanto, podemos definir
⌘ := min{− 0(w) : w 2 K}.
Note que A \ K = ; pois |A = 0. Desta maneira, ⌘ > 0. A propósito, ˜⇡(x0, t) 2 K
para todo t ≥ 0. Assim, − 0(˜⇡(x
0, t)) ≥ ⌘ para todo t ≥ 0. Integrando a última inequação
de 0 a t, obtemos
(˜⇡(x0, t)) (x0) − ⌘t, para todo t ≥ 0.
Isso é um absurdo, pois é uma função positiva. Portanto, ` = 0.
Pela Afirmação 3, o sistema (Rn, ⇡; M, I) é fracamente k−dissipativo e K =
n
x 2Rn : kxk r0
2 o
Finalizamos esta seção, apresentando uma “recíproca” para o Teorema 3.14.
Teorema 3.20. [14, Teorema 4.23] Seja (X, ⇡; M, I) localmente dissipativo com atrator local A. Suponha que exista β > 0 tal que φ(x) ≥ β para todo x 2 I(M). Dado ⌘ > 0 existe uma função V : X ! R+ contínua em X \ M satisfazendo as seguintes condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e para todo t ≥ 0; ii) Se {xn}n≥1 ⇢ X é uma sequência tal que V(xn)
n!+1
−! 0 então d(xn, B⌘) n!+1
−! 0, onde B⌘ = B(A, ⌘).
Demonstração. Defina V : X ! R+ por
V(x) = sup
t≥0
d(˜⇡(x, t), B⌘), x 2 X. (3.7)
Note que V(˜⇡(x, t)) = sup
s≥0
d(˜⇡(x, t + s), B⌘) sup s≥0
d(˜⇡(x, s), B⌘) = V(x) para todo
x 2 X e t ≥ 0. Além disso, se {xn}n≥1 ⇢ X é uma sequência tal que V(xn) n!+1 −! 0 então, d(xn, B⌘) sup t≥0 d(˜⇡(xn, t), B⌘) n!+1 −! 0.
Resta mostrar que a função V é contínua em X \ M. Dado k 2 N [ {0}, consideremos a notação D(x+k) = ( [0, φ(x+k)], se φ(x + k) < +1 [0, +1), se φ(x+ k) = +1.
Sejam x 2 X \ M e {zn}n≥1 ⇢ X uma sequência tal que zn n!+1
−! x. Podemos assumir que {zn}n≥1 ⇢ X \ M . Dado ✏ > 0, ✏ < ⌘, existem δx> 0 e Tx> 0 tais que
˜
⇡(B(x, δx), [Tx, +1)) ⇢ B(A, ✏) ⇢ B⌘, (3.8)
pois (X, ⇡; M, I) é localmente dissipativo.
Já que B(A, ✏) é aberto, podemos assumir que Tx6= j
X
i=0
φ(x+i ) para todo j 2 N [ {0}.
Além disso, a hipótese de que φ(x) ≥ β para todo x 2 I(M), garante que o semifluxo impulsivo de x admite um número finito de descontinuidades no intervalo [0, Tx], digamos
m instantes de impulsos.
A atração (3.8) nos permite dizer que o supremo da definição da função V em (3.7) é atingido. Logo, existem k = k(x) 2 {0, 1, 2, . . . , m} e ⌧x2 D(x+k) \ [0, Tx) tais que
Sistemas autônomos dissipativos via funções de Lyapunov 39 Uma vez que zn
n!+1
−! x, podemos assumir que existem `n 2 {0, 1, 2, . . . , m} e ⌧n 2
D((zn)+`n) \ [0, Tx) tais que V(zn) = d(⇡((zn)+`n, ⌧n), B⌘) para todo inteiro n ≥ 1. Conse-
quentemente, existe n0 2N tal que podemos decompor a sequência {zn}n≥n0 da seguinte
maneira,
{zn}n≥n0 = {zn1j}j≥n0 [ . . . [ {znr j}j≥n0,
onde {znij}j≥n0 é uma subsequência de {zn}n≥n0, `nij = `ni 2 {0, 1, 2, . . . , m} para todo
inteiro j ≥ n0, 1 r m + 1 e 1 i r.
Consideremos, agora, uma subsequência arbitrária {znij}j≥n0, onde i 2 {1, 2, . . . , r}.
Por conveniência, denotemos {znij}j≥n0 por {znj}j≥n0 e `nij = `. Portanto, V(znj) =
d(⇡((znj) +
`, ⌧nj), B⌘) para todo inteiro j ≥ n0.
Podemos assumir que ⌧nj j!+1
−! ⌫ 2 D(x+
`) \ [0, Tx] (a menos de subsequência). Note
que
V(znj) j!+1
−! d(⇡(x+`, ⌫), B⌘).
Vamos mostrar que V(x) = d(⇡(x+
`, ⌫), B⌘). Com efeito, podemos escolher uma
sequência {βj}j≥n0 tal que βj 2 D((znj) + k) \ [0, Tx), j ≥ n0, e βj j!+1 −! ⌧x. Pela defi- nição de V, obtemos d(⇡((znj) + `, ⌧nj), B⌘) ≥ d(⇡((znj) + k, βj), B⌘), n = 1, 2, . . . .
Tomando o limite quando j ! +1, obtemos
d(⇡(x+`, ⌫), B⌘) ≥ d(⇡(x+k, ⌧x), B⌘) = V(x).
Por outro lado, temos que V(x) ≥ d(⇡(x+
`, ⌫), B⌘), ou seja, V(x) = d(⇡(x+`, ⌫), B⌘).
Em conclusão, V(znij) j!+1
−! V(x) para todo i = 1, 2, . . . , r, e consequentemente, V(zn)
n!+1
CAPÍTULO
4
Sistemas não autônomos dissipativos impulsivos
Este capítulo apresenta a teoria de sistemas não autônomos dissipativos com impulsos. Na Seção 4.1, abordamos a motivação para a formulação de um sistema não autônomo abstrato. Na Seção 4.2, introduzimos a teoria de sistemas dinâmicos não autônomos com impulsos. Na Seção 4.3, obtemos resultados de dissipatividade para sistemas dinâmicos não autônomos impulsivos utilizando funções do tipo Lyapunov. Na última seção, a saber Seção 4.4, aplicamos os resultados da teoria abstrata de sistemas não autônomos para uma classe de equações diferenciais não autônomas com impulsos.
4.1 Sistemas dinâmicos não autônomos
Consideremos o sistema de equações: 8 > < > : dx dt = g(p, x), x 2R m, dp dt = f (p), p 2R n, (4.1)
onde g : Rn+m!Rm e f : Rn !Rn são funções tais que o sistema (4.1) admita soluções
globais com unicidade.
A solução p(t) da equação dp
dt = f (p) representa um sistema dinâmico autônomo independente em Rn. Denote por p(t) = p(t, p
0) como sendo a solução de
dp
dt = f (p) com condição inicial p(0) = p0. Utilizando a solução p(t, p0) na primeira equação do sistema
(4.1), obtemos
dx
dt = g(p(t, p0), x) para t 2 R e x 2 R
m, (4.2)
o qual é não autônoma. Seja x(t, p0, x0) a solução de (4.2) com condição inicial x(0) = x0.
Então, a função ⇡ : Rn+m⇥R ! Rn+m dada por
⇡((p0, x0), t) = (p(t, p0), x(t, p0, x0)),
define um sistema dinâmico em Rn+m. Ademais, pela propriedade de semigrupo de ⇡
concluímos a seguinte propriedade para x(t):
x(t + s, p0, x0) = x(t, p(s, p0), x(s, p0, x0)) para todos t, s 2R e (p0, x0) 2Rn+m.
Tal propriedade é conhecida como propriedade de cociclo.
A solução p(t, p0) é considerada o “dirigente” do sistema não autônomo (4.2), isto é, ela
é responsável pela mudança no campo de vetores com a passagem do tempo. A solução x(t, p0, x0) de (4.2) com condição inicial x(0) = x0 é chamada de cociclo. Esta solução
depende da escolha de p0 como parâmetro e descreve a evolução da solução da equação
diferencial não autônoma (4.1) com o respectivo “sistema dirigente” (Rn, p,R). O sistema
dinâmico produto (Rn ⇥Rm, ⇡,R) em Rn+m dado pela aplicação ⇡ : Rn⇥Rm⇥R −!
Rn⇥Rm, ⇡((p
0, x0), t) = (p(t, p0), x(t, p0, x0)), é chamado de produto Skew, devido a sua
assimetria nas duas componentes.
O conceito formal de um cociclo é apresentado na próxima definição.
Definição 4.1. Sejam (Y, σ,R) um sistema dinâmico em Y e W um espaço métrico. Uma aplicação ' : R ⇥ W ⇥ Y −! W ⇥ Y que satisfaz as propriedades:
(a) ' é contínua em R ⇥ W ⇥ Y ,
(b) '(0, w, y) = w para todo w 2 W e y 2 Y ,
(c) '(t + s, w, y) = '(t, '(s, w, y), σ(s, y)) para todo w 2 W , y 2 Y e t, s 2 R, é chamada de cociclo. A Figura 4.1 apresenta a propriedade de um cociclo.
Agora, consideremos uma equação diferencial não autônoma do tipo du
dt = f (t, u), u 2R
n, (4.3)
onde f 2 C(R ⇥ Rn,Rn). Assumamos que a equação (4.3) admita uma única solução
global u(t, s, x) com condição inicial u(s) = x. Devido à dependência do tempo, (4.3) não gera um sistema dinâmico em Rn. Uma alternativa para construir um sistema dinâmico
associado a (4.3), é adicionar uma dimensão e seguir a construção do produto Skew considerando o seguinte sistema triangular:
8 > < > : du dt = f (t, u), u 2R n, dt dt = 1.
Sistemas dinâmicos não autônomos 43
y σ(y, t)
σ(y, t + s)
w '(t, w, y) '(t + s, w, y)
= '(s, '(t, w, y), σ(y, t)) {y} ⇥ W {σ(y, t)} ⇥ W{σ(y, t + s)} ⇥ W
'(t, ·, y)
'(t + s, ·, y)
'(s, ·, σ(s, y))
Figura 4.1: Propriedade de cociclo.
Neste caso, o sistema dirigente corresponde ao sistema de translações, isto é, σ(s, t) = t − s para todos t, s 2R, e o cociclo é definido por '(t, s, x) = u(t + s, s, x). Portanto, o produto skew é definido pela lei
⇡((x, s), t) = (u(t + s, s, x), t − s), t, s 2R e x 2 Rn
.
Esta formulação apresenta algumas desvantagens relacionadas com compacidade.
Para estudarmos a dinâmica de (4.3), devemos ter uma estrutura que capture a to- pologia das componentes do sistema ao invés da natureza diferencial do espaço, pois a diferenciabilidade de f com respeito a t usualmente contribui para a regularidade das soluções e não para seu comportamento dinâmico.
De maneira precisa, seguindo [17], consideremos o espaço H(f) = {f⌧ : ⌧ 2R}, onde
f⌧(t, u) = f (t + ⌧, u),
para todo (t, u) 2 R ⇥ Rn e ⌧ 2 R. O fecho na definição de H(f) é tomado no espaço
C(R ⇥ Rn,Rn). Temos que (H(f ), σ,R), onde σ(g, t) = g
t para todo g 2 H(f) e t 2 R,
define um sistema dinâmico em H(f), conhecido como sistema das translações em H(f), veja [17].
Para cada g 2 H(f) e x 2 Rn, seja u(t, x, g) a única solução global da equação
du
dt = g(t, u), u(0) = x. (4.4) Então, (4.3) gera um produto skew (Rn⇥ H(f ), ⇡,R) em Rn⇥ H(f ), onde a aplicação
⇡ :Rn⇥ H(f ) ⇥R −! Rn⇥ H(f ) é dada pela lei:
⇡((x, g), t) = ('(t, x, g), σ(g, t)) para t 2R, x 2 Rn e g 2 H(f).
Tal configuração topológica permite aplicar a teoria abstrata de dinâmica topológica, uma vez que a projeção na segunda coordenada p2 : Rn ⇥ H(f ) −! H(f ) induz um
homomorfismo, ou seja, p2(⇡((x, g), t)) = σ(p2(x, g), t) para todo (x, g) 2 Rn⇥ H(f ) e
Definição 4.2. A tripla h(X, ⇡), (Y, σ), hi, onde (X, ⇡,R), (Y, σ, R) são sistemas dinâmi- cos, h é um homomorfismo de (X, ⇡) em (Y, σ) e (X, h, Y ) é um fibrado localmente trivial (veja Apêndice A) é chamado sistema dinâmico não autônomo.
A equação (4.3) gera um sistema não autônomo abstrato como na Definição 4.2, sendo h : Rn⇥ H(f ) −! H(f ) a projeção na segunda coordenada. Note que, em particular,
(Rn⇥ H(f ), h, H(f )) é um fibrado localmente trivial.
O leitor pode consultar [17] para um estudo detalhado da teoria de sistemas dinâmicos não autônomos abstrato no caso contínuo.
4.2 Sistemas dinâmicos não autônomos com impulsos
Esta seção apresenta a generalização do conceito de sistemas dinâmicos não autônomos para o caso impulsivo. No decorrer deste trabalho, utilizaremos algumas noções da teoria de fibrados que estão definidas no “Apêndice A”.
Sejam (X, ⇡; MX, IX) e (Y, σ; MY, IY) dois sistemas dinâmicos impulsivos em X e Y ,
respectivamente. Vamos assumir que (X, ⇡; MX, IX) satisfaz as hipóteses H1, H2 e H3 e
que o sistema (Y, σ; MY, IY) satisfaz H1 e H3.
Uma aplicação h : X ! Y é chamada um homomorfismo do sistema (X, ⇡; MX, IX)
em (Y, σ; MY, IY), se as seguintes condições forem válidas:
1. h é contínua em X; 2. h é sobrejetora;
3. h(˜⇡(x, t)) = ˜σ(h(x), t), para todos x 2 X e t ≥ 0.
A próxima definição estabelece o conceito de sistemas dinâmicos não autônomos com impulsos. Esse conceito de sistema impulsivo é estabelecido de acordo com a Definição 4.2. No entanto, estamos tratando de sistemas impulsivos gerados por sistemas semidinâmicos. Definição 4.3. A tripla h(X, ⇡; MX, IX), (Y, σ; MY, IY), hi, onde h : X ! Y é um homo-
morfismo e (X, h, Y ) é um fibrado localmente trivial, é chamada de sistema dinâmico não autônomo impulsivo. O sistema impulsivo (Y, σ; MY, IY) é chamado uma fatia do sistema
(X, ⇡; MX, IX) pelo homomorfismo h.
No que segue, apresentamos dois exemplos de sistemas impulsivos não autônomos. Exemplo 4.4. Considere os sistemas impulsivos (R2, ⇡; M
X, IX) e (R, σ; MY, IY), onde: • MX = {(x, y) 2R2 : y = 1} [ {(x, y) 2R2 : y = 3}, IX(x, y) = ⇣x 2, y 2 ⌘ para todo (x, y) 2 MX e ⇡((x, y), t) = (e−tx, e−ty) para todo (x, y) 2R2 e t ≥ 0;
Sistemas dinâmicos não autônomos com impulsos 45 • MY = {1, 3}, IY(1) = 1 2, IY(3) = 3 2 e σ(y, t) = e −ty para todo y 2R e t ≥ 0.
Tomando h := p2 : R2 −! R, a projeção na segunda coordenada, concluímos que
h(R2, ⇡; M
X, IX), (R, σ; MY, IY), hi é um sistema dinâmico não autônomo impulsivo.
Exemplo 4.5. Considere os sistemas impulsivos (R3, ⇡; M
X, IX) e (R, σ; MY, IY), onde:
• MX = {(x, y, z) 2 R3 : z = 1}, IX(x, y, z) = (x, y, 0) para todo (x, y, z) 2 MX e
⇡((x, y, z), t) = (x, y, z + t) para todo (x, y, z) 2R3 e t ≥ 0;
• MY = {1}, IY(1) = 0 e σ(z, t) = z + t para todo z 2R e t ≥ 0.
Considere h := p3 : R3 −! R como sendo a projeção na terceira coordenada. Então
h(R3, ⇡; M
X, IX), (R, σ; MY, IY), hi é um sistema não autônomo impulsivo.
Definição 4.6. O sistema dinâmico não autônomo impulsivo
h(X, ⇡; MX, IX), (Y, σ; MY, IY), hi (4.5)
é chamado ponto (compacto, localmente, limitado, fracamente) dissipativo (k−dissipativo) quando o sistema impulsivo (X, ⇡; MX, IX) possui essa mesma propriedade.
Notemos que o sistema não autônomo impulsivo do Exemplo 4.4 é dissipativo em contraste com o sistema do Exemplo 4.5.
Definição 4.7. Assuma que o sistema (4.5) seja compacto k−dissipativo e ˜JX seja o
centro de Levinson de (X, ⇡; MX, IX). Definimos o conjunto ˜JX como sendo o centro de
Levinson de (4.5).
Agora, vamos mostrar como construir um sistema não autônomo abstrato associado a uma equação diferencial não autônoma impulsiva.
Consideremos a seguinte equação diferencial impulsiva 8 < : du dt = f (t, u), u 2R n , I : M −!Rn, (4.6) onde f 2 C(R ⇥ Rn,Rn), I é uma função impulso e M ⇢Rn um conjunto impulsivo.
Dados g 2 H(f) = {f⌧ : ⌧ 2R} e x 2 Rn, considere a solução '(t, x, g) da equação
du
dt = g(t, u) tal que '(0, x, g) = x. Agora, considere o produto Skew em (R
n⇥ H(f ), ⇡)
com restrição à R+, isto é, a aplicação ⇡ : Rn⇥ H(f ) ⇥R+−!Rn⇥ H(f ) dada por
Denote X = Rn⇥ H(f ) e defina a aplicação φ X : X ! (0, +1] pela lei φX(v, g) = ( s, se '(s, v, g) 2 M e '(t, v, g) /2 M para 0 < t < s, +1, se '(t, v, g) /2 M para todo t > 0.
Agora, defina o conjunto impulsivo MX = M ⇥H(f ) e a função impulso IX : MX ! X
por
IX(v, g) = (I(v), g) para todo (v, g) 2 MX.
Temos que (X, ⇡; MX, IX) é um sistema impulsivo, onde ˜⇡((v, g), ·), para (v, g) 2 X,
é definida da seguinte maneira: se φX(v, g) = +1, então
˜
⇡((v, g), t) = ⇡((v, g), t), para todo t 2R+.
Entretanto, se φX(v, g) = s0, isto é, '(s0, v, g) = v1 2 M e '(t, v, g) /2 M para
0 < t < s0, então definimos ˜⇡((v, g), ·) em [0, s0] por
˜ ⇡((v, g), t) = ( ⇡((v, g), t), 0 t < s0, (v1+, gs0), t = s0, onde v+
1 = I(v1). O processo continua a partir de (v+1, gs0) da mesma forma como apre-
sentamos na construção do sistema impulsivo na Definição 2.6 (Seção 2.2, Capítulo 2). Por construção, dados (v, g) 2 Rn⇥ H(f ) e t ≥ 0, existe n 2N tal que
˜
⇡((v, g), t) = ('(t − tn−1, v+n, gtn−1), gt), tn−1 t < tn,
onde v+
0 = v, t−1 = 0 e tn = s0+ . . . + sn.
Seja (H(f), σ) o sistema dinâmico das translações em H(f) e considere um conjunto impulsivo MH(f ) ⇢ H(f ). Defina IH(f ) : MH(f ) ! H(f ) por IH(f )(g) = g para todo
g 2 H(f ). Então, ⌦
(X, ⇡; MX, IX), (H(f ), σ; MH(f ), IH(f )), h
↵
é um sistema dinâmico não autônomo impulsivo, onde h é a projeção na segunda coorde- nada.
4.3 Dissipatividade via funções de Lyapunov
Nesta seção, estabelecemos condições suficientes para obtermos dissipatividade limi- tada e local via funções de Lyapunov. Além disso, semelhante ao caso autônomo, apre- sentaremos a construção de um funcional do tipo Lyapunov para sistemas localmente dissipativos.
No decorrer deste texto, vamos considerar o sistema dinâmico não autônomo impulsivo h(X, ⇡, MX, IX), (Y, σ, MY, IY), hi , (SDNI)
Dissipatividade via funções de Lyapunov 47 H4. (X, h, Y ) é um fibrado vetorial.
Seja | · | : X ! R+ uma aplicação definida pela lei |x| = dX(x, ✓h(x)), x 2 X.
Como apresentado no Apêndice A, seja Θ = {✓y : y 2 Y } a seção nula do fibrado
(X, h, Y ), onde ✓y é o vetor nulo do espaço vetorial h−1({y}), y 2 Y .
O Lema A.7 (apresentado no Apêndice A) garante que Θ é um subconjunto compacto de X sempre que Y for compacto. Consequentemente, a vizinhança da seção nula definida por
Ur = {x 2 X : |x| r} ,
é um conjunto limitado para todo r > 0.
O Teorema 4.8 apresenta condições suficientes para o sistema (SDNI) ser limitado k−dissipativo.
Teorema 4.8. [14, Teorema 4.16] Assuma que (X, ⇡; MX, IX) seja completamente
contínuo e Y seja compacto. Suponha que existam um número r > 0 tal que inf{dX(a, b) :
a 2 Ur e b 2 MX} > 0, onde Ur = {x 2 X : |x| r}, e uma função V : X ! [r, +1)
contínua em X \ MX satisfazendo as seguintes condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V (x) para todo x 2 X e t ≥ 0;
ii) o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para todo c ≥ r; iii) V(xn)
n!+1
−! r se, e somente se, dX(xn, Ur)
n!+1
−! 0, para qualquer sequência {xn}n≥1 ⇢ X;
iv) ˜L+X(x) \ MX * V−1(c) para todo c > r e x 2 X.
Então o sistema (SDNI) é limitado k−dissipativo.
Demonstração. Como mencionado anteriormente, a compacidade de Y garante que Ur =
{x 2 X : |x| r} é um conjunto limitado.
Afirmamos que ˜L+X(x) \ Ur 6= ; para todo x 2 X. De fato, suponhamos o contrário,
isto é, existe x0 2 X tal que ˜L+X(x0) \ Ur = ;. De acordo com a condição i),
V(˜⇡(x0, t)) V(x0) := c0 para todo t ≥ 0.
Além disso, a condição ii) garante que o conjunto ˜⇡+(x
0) é limitado. Uma vez que o
sistema (X, ⇡; MX, IX) é completamente contínuo e temos o Lema 2.25, concluímos que
˜ ⇡+(x
0) é relativamente compacto. Consequentemente, o conjunto limite ˜L+X(x0) é não
vazio e compacto. Segue do Lema 2.29 que ˜L+X(x0) \ MX 6= ;.
Se ˜L+
X(x0) \ MX = {p0}, então ˜L+X(x0) \ MX ⇢ V−1(c1), onde V(p0) = c1 > r pois
˜
Se ˜L+X(x0) \ MX não for unitário, podemos tomar p, q 2 ˜L+X(x0) \ MX tais que p 6= q.
Sabemos que existem sequências {tn}n≥1 ⇢R+ e {sn}n≥1 ⇢R+ tais que tn, sn n!+1 −! +1, ˜ ⇡(x0, tn) n!+1 −! p e ⇡(x˜ 0, sn) n!+1 −! q.
Extraindo subsequências {tnk}k≥1 e {snk}k≥1 tais que tnk > snk para todo k ≥ 1, obtemos
V(˜⇡(x0, tnk)) V(˜⇡(x0, snk)) para todo k ≥ 1.
Uma vez que a aplicação V é contínua em X \ MX, quando k ! +1, obtemos
V(p) V(q) já que p, q /2 MX. Analogamente, extraindo outras subsequências {tnl}l≥1 e
{snl}l≥1 tais que tnl < snl para todo l ≥ 1, temos
V(˜⇡(x0, tnl)) ≥ V(˜⇡(x0, snl)) para todo l ≥ 1.
A continuidade da aplicação V em X \ MX garante que V(q) V(p). Portanto, existe
c ≥ r tal que V(q) = c para todo q 2 ˜L+
X(x0) \ MX.
Agora, pela compacidade de ˜L+X(x0), existe ✏ > 0 tal que B( ˜L+X(x0), ✏) \ Ur = ;.
Como consequência da condição iii), temos c 6= r. Porém, isto contradiz a condição iv). Portanto, ˜L+X(x) \ Ur 6= ; para todo x 2 X, como queríamos provar.
Seguindo a prova, podemos tomar ` > 0 tal que ˜⇡(Ur, `) \ MX = ; e ˜⇡(Ur, `) é
relativamente compacto, pois (X, ⇡; MX, IX) é completamente contínuo. Considere o
conjunto K = ˜⇡(Ur, `). Veja que ˜L+X(x)\K 6= ; para todo x 2 X, pois dado y 2 ˜L+X(x)\Ur
(y /2 MX uma vez que Ur \ MX = ;), segue da ˜⇡−invariância positiva do conjunto
˜
L+X(x) \ MX que ˜⇡(y, `) 2 ˜L+X(x) \ K. Além disso, a inclusão K ⇢ Ur é verdadeira. Ora,
primeiro note que Ur é positivamente ˜⇡−invariante. De fato, se existe x0 2 Ur e ⌧ > 0
tais que ˜⇡(x0, ⌧ ) /2 Ur, isto é, V(˜⇡(x0, ⌧ )) > r, então a condição iii) mostra que V(x0) = r
o que é uma contradição, pois
r < V(˜⇡(x0, ⌧ )) V(x0) = r.
Consequentemente, K = ˜⇡(Ur, `) ⇢ Ur = Ur. Isso mostra que K é o k−atrator fraco do
sistema (X, ⇡; MX, IX). Usando o Corolário 3.18 concluímos o resultado.
Podemos modificar a condição iv) do Teorema 4.8 em termos da órbita positiva ao invés do conjunto limite. Vejamos a seguinte proposição.
Proposição 4.9. [14, Proposição 4.17] Seja (X, ⇡; MX, IX) um sistema completamente
contínuo e r ≥ 0. Suponha que existe uma aplicação V : X ! [r, +1) contínua em X\MX
satisfazendo as seguintes propriedades:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo t ≥ 0 e x 2 X;
ii) o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para todo c ≥ r. Então as seguintes condições são equivalentes:
Dissipatividade via funções de Lyapunov 49 1) ˜L+X(x) \ MX * V−1(c) para todo c > r e x 2 X;
2) ˜⇡+(x)* V−1(c) para todo c > r e x 2 X.
Demonstração. Assuma que a condição 1) seja verdade e suponha por contradição que existam x02 X e c0> r tais que
˜
⇡+(x0) ⇢ V−1(c0). (4.7)
As condições i) e ii) garantem que a órbita positiva ˜⇡+(x
0) é limitada. Então ˜⇡+(x0)
é relativamente compacto, pois (X, ⇡; MX, IX) é completamente contínuo. Aplicando o
Lema 2.29, temos que ˜L+X(x0)\MX 6= ;. Seja p 2 ˜L+X(x0)\MX, então existe uma sequência
{tn}n≥1 ⇢ R+ tal que tn n!+1
−! +1 e ˜⇡(x0, tn) n!+1
−! p. Pela continuidade da função V em X \ MX,
V(˜⇡(x0, tn)) n!+1
−! V(p).
Por (4.7), concluímos que V(p) = c0 para todo p 2 ˜L+X(x0) \ MX. Assim, ˜L+X(x0) \ MX ✓
V−1(c
0) o que é uma contradição.
Por outro lado, assuma que a condição 2) seja verdade. Suponha que existam x1 2 X
e c1 > r tais que
˜
L+X(x1) \ MX ⇢ V−1(c1). (4.8)
Como o conjunto ˜L+X(x1) \ MX é positivamente ˜⇡−invariante, segue que para todo y 2
˜ L+
X(x1) \ MX e t ≥ 0, temos ˜⇡(y, t) 2 ˜L+X(x1) \ MX. Usando (4.8), podemos concluir
que ˜⇡+(y) ⇢ V−1(c
1) para todo y 2 ˜L+X(x1) \ MX e isso é uma contradição. Portanto,
concluímos a outra implicação.
Corolário 4.10. [14, Corolário 4.18] Sejam (X, ⇡; MX, IX) um sistema completamente
contínuo e Y compacto. Se existe um número r ≥ 0 tal que inf{dX(a, b) : a 2 Ur e b 2
MX} > 0 e uma aplicação V : X ! [r, +1) contínua em X \ MX satisfazendo as
condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e t ≥ 0;
ii) V(x) ≥ a(|x|) para todo x 2 X, onde a : R+ ! R+ é contínua, monotonicamente
crescente, a(0) = 0 e Im(V) ⇢ Im(a); iii) V(xn)
n!+1
−! r se, e somente se, dX(xn, Ur)
n!+1
−! 0, para qualquer sequência {xn}n≥1 ⇢ X;
iv) ˜⇡+(x)* V−1(c) para todo x 2 X e c > r.
Demonstração. É suficiente mostrar que o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para todo c ≥ r. Com efeito, seja x 2 X tal que V(x) c para algum c ≥ r. Então
a(|x|) V(x) c.
Assim {x 2 X : V(x) c} ⇢ Ua−1(c) o qual é limitado. Portanto o resultado segue do
Teorema 4.8 e da Proposição 4.9.
A prova do Teorema 4.8 evidencia o uso da completude contínua do sistema autônomo (X, ⇡; MX, IX). No resultado a seguir, obtemos a dissipatividade local sem exigir que o
sistema autônomo seja completamente contínuo.
Teorema 4.11. [14, Teorema 4.19] Seja Y compacto e suponha que ˜L+X(x) 6= ; sempre
que ˜⇡+(x) for limitado, x 2 X. Além disso, suponha que existe r > 0 tal que B
r\MX = ;,
onde Br = {x 2 X : |x| < r}. Se existe uma função V : X ! R+ contínua em X \ MX
satisfazendo as seguintes propriedades:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e t ≥ 0;
ii) o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para qualquer c 2R+;
iii) existe µ > 0 tal que V(x) ≥ µ se, e somente se, x /2 Br;
iv) ˜L+X(x) \ MX * V−1(c) para todo c > 0 e x 2 X.
Então o sistema (SDNI) é localmente dissipativo.
Demonstração. Note que Br é limitado, pois Y é compacto.
Afirmamos que ˜⇡+(x) \ B
r 6= ; para todo x 2 X, ou seja, Br é um atrator fraco.
Suponhamos por contradição que existe x0 2 X tal que ˜⇡+(x0) \ Br = ;. De acordo com
a condição i),
V(˜⇡(x0, t)) V(x0) = c0 para todo t ≥ 0.
A condição ii) garante que o conjunto ˜⇡+(x
0) é limitado. Ademais, pelo Lema 2.29,
obtemos ˜L+X(x0) \ MX 6= ;. Usando as ideias da prova do Teorema 4.8, podemos mostrar
que V(p) = c1 para todo p 2 ˜L+X(x0) \ MX e para algum c1 ≥ 0. Já que ˜L+X(x0) ⇢
{x 2 X : |x| ≥ r}, segue da condição iii) que c1 ≥ µ > 0. No entanto, isso contradiz a
condição iv). Portanto, ˜⇡+(x) \ B
r 6= ; para todo x 2 X.
Dado x 2 X, afirmamos que existem δx> 0 e Tx> 0 tais que
˜
⇡(BX(x, δx), [Tx, +1)) ⇢ Br. (4.9)
Suponhamos por contradição que existem sequências {zn}n≥1 ⇢ X e {tn}n≥1 ⇢ R+
tais que zn n!+1
−! x, tn n!+1
Dissipatividade via funções de Lyapunov 51 Seja tx > 0 tal que ˜⇡(x, tx) 2 Br. Podemos supor que tx 6=
k X i=0 φ(x+ i ) para todo k = 0, 1, 2, . . ., pois Br é aberto. Caso 1) x /2 MX.
Pelo Lema 2.20, temos que ˜⇡(zn, tx) n!+1
−! ˜⇡(x, tx). Assim, existe n0 > 0 tal que
˜
⇡(zn, tx) 2 Br e tn> tx para todo n ≥ n0. Então
µ V(˜⇡(zn0, tn0)) V(˜⇡(zn0, tx)) < µ,
o que é um absurdo. Caso 2) x 2 MX.
Como o conjunto MX satisfaz a condição STC, então existe um STC-tubo F (L, [0, 2λ])
passando por x dado por uma λ−seção S. Além disso, é possível considerar um número ⌘ > 0 tal que BX(x, ⌘) ⇢ F (L, [0, 2λ]) pois o tubo é uma vizinhança de x. Denotemos H1
e H2 como segue
H1 = F (L, (λ, 2λ]) \ BX(x, ⌘) e H2= F (L, [0, λ]) \ BX(x, ⌘).
Se {zn}n≥1 admite uma subsequência {znk}k≥1 ⇢ H2, então ˜⇡(znk, tx) k!+1
−! ˜⇡(x, tx).
A conclusão segue pelo Caso 1.
Se {zn}n≥1 admite uma subsequência {znl}l≥1 ⇢ H1, então ˜⇡(znl, φ(znl)) l!+1 −! I(x) /2 MX. Tomemos tI(x) 6= k X i=0 φ((I(x))+
i ) para todo k = 0, 1, 2, . . ., tal que ˜⇡(I(x), tI(x)) 2 Br.
Usando o Lema 2.20, obtemos um número l0 > 0 tal que ˜⇡(znl, φ(znl) + tI(x)) 2 Br e
tnl > φ(znl) + tI(x) para todo l ≥ l0. Assim
µ V(˜⇡(znl0, tnl0)) V(˜⇡(znl0, φ(znl0) + tI(x))) < µ,
levando a um absurdo novamente. Portanto, a inclusão (4.9) é verdadeira e o resultado está provado.
Observemos, agora, que o Teorema 4.8 ainda é válido se as condições i) e iv) forem substituídas pela condição: V(˜⇡(x, t)) < V(x) sempre que ˜⇡(x, ⌧) 2 Erpara todo ⌧ 2 [0, t],
onde Er = {x 2 X : |x| ≥ r}. Vejamos o próximo teorema.
Teorema 4.12. [14, Teorema 4.20] Sejam (X, ⇡; MX, IX) um sistema completamente
contínuo e Y compacto. Suponha que existem r > 0 tal que inf{dX(a, b) : a 2 Ur e b 2
MX} > 0 e uma aplicação V : X ! [r, +1) contínua em X \MX satisfazendo as seguintes
propriedades:
ii) o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para qualquer c ≥ r; iii) V(xn)
n!+1
−! r se, e somente se, dX(xn, Ur)
n!+1
−! 0, para qualquer sequência {xn}n≥1 ⇢ X.
Então o sistema (SDNI) é limitado k−dissipativo.
Demonstração. Note que o conjunto Ur é limitado. Afirmamos que a órbita impulsiva
˜
⇡+(x) intercepta o conjunto U
r para todo x 2 X. De fato, suponhamos que existe x0 2 X
(x0 2 U/ r) tal que ˜⇡+(x0) \ Ur = ;, ou seja, ˜⇡+(x0) ⇢ Er = {x 2 X : |x| ≥ r}. De acordo
com a condição i),
V(˜⇡(x0, t)) < V(x0) = c0 para todo t ≥ 0.
Portanto, a condição ii) garante que a órbita impulsiva ˜⇡+(x
0) é limitada. Consequente-
mente, ˜⇡+(x
0) é relativamente compacto, pois (X, ⇡; MX, IX) é completamente contínuo.
O Lema 2.29 nos permite concluir que ˜L+X(x0) \ MX 6= ;. Além disso, ˜L+X(x0) \ MX ⇢ Er.
A partir da continuidade da função V em X \ MX segue que ˜L+X(x0) \ MX ⇢ V−1(c1) para
algum c1≥ r (esse fato segue pela prova do Teorema 4.8).
Agora, seja y 2 ˜L+X(x0) \ MX. Então pela ˜⇡−invariância positiva de ˜L+X(x0) \ MX,
˜
⇡+(y) ⇢ ˜L+X(x0) \ MX ⇢ Er.
Disso, segue que
c1 = V(˜⇡(y, t)) < V(y) = c1 para todo t > 0.
Todavia, isto é uma contradição. À vista disso, ˜⇡+(x) \ U
r 6= ; para todo x 2 X, como
queríamos. Desta forma, Ur é um atrator fraco para o sistema (X, ⇡; MX, IX).
Agora, considere ` > 0 tal que e⇡(Ur, `) é compacto e e⇡(Ur, `) \ MX = ;, pois
(X, ⇡; MX, IX) é completamente contínuo. Tomemos K = e⇡(Ur, `). Logo para cada
x 2 X, existe ⌧x> 0 tal que ˜⇡(x, ⌧x) 2 K. Neste caso, K é o k−atrator fraco para o sis-
tema (X, ⇡; MX, IX). As condições i) e iii) asseguram que o conjunto Ur é positivamente
˜
⇡−invariante, daí K ⇢ Ur. O resultado segue pelo Corolário 3.18.
No próximo resultado, apresentamos uma forma de construir um funcional do tipo Lyapunov para sistemas localmente dissipativos.
Teorema 4.13. [14, Teorema 4.24] Sejam (X, ⇡; MX, IX) um sistema completamente
contínuo e Y compacto. Suponha que o sistema (SDNI) seja localmente dissipativo. Então existem um número r > 0 e uma aplicação V : X ! [r, +1) contínua em X \ MX
satisfazendo as seguintes condições:
i) V(˜⇡(x, t)) V(x) para todo x 2 X e t ≥ 0;
ii) o conjunto {x 2 X : V(x) c} é limitado para todo c ≥ r; iii) se {xn}n≥1⇢ X é uma sequência tal que V(xn)
n!+1
−! r então dX(xn, Ur) n!+1
Dissipatividade via funções de Lyapunov 53 iv) ˜L+X(x) \ MX * V−1(c) para qualquer c > r e x 2 X.
Demonstração. Dado que o sistema (SDNI) é localmente dissipativo, segue que (X, ⇡; MX, IX) é localmente dissipativo. Em particular, (X, ⇡; MX, IX) é compacto
k−dissipativo. Considere eJX o centro de Levinson do sistema impulsivo (X, ⇡; MX, IX).
Como eJX é compacto, seja r > 0 tal que eJX ⇢ Ur.
Defina a função V : X ! [r, +1) por
V(x) = max {sup {|˜⇡(x, t)| : t ≥ 0} , r} . (4.10) A aplicação V está bem definida, pois o sistema é compacto k−dissipativo.
A condição iii) é facilmente verificada a partir da definição da aplicação V. Afim de estabelecer a condição i), notemos que para todo x 2 X e t ≥ 0, temos
V(e⇡(x, t)) = max {sup {|˜⇡(x, t + s)| : s ≥ 0} , r} max {sup {|˜⇡(x, t)| : t ≥ 0} , r} = V(x).
Além disso, |x| V(x) para todo x 2 X. Portanto aplicação V satisfaz o item ii). A partir da dissipatividade do sistema, o conjunto limite ˜L+X(x) ⇢ eJXpara todo x 2 X.
Consequentemente, ˜L+
X(x) \ MX ⇢ V−1(r), pois ˜L+X(x) = ˜L +
X(x) \ MX é positivamente
˜
⇡−invariante. Portanto, a condição iv) está verificada.
Resta-nos provar que a aplicação V é contínua em X \ MX. Sejam x 2 X \ MX e uma