Sistemas conservativos

Se a força resultante sobre a partícula for conservativa, será possível definir uma função de energia potencial. No capítulo5vimos que se a componente da força depende unicamente da posição x, o sistema é conservativo. A energia potencial U calcula-se a partir da primitiva da componente da força (equação (5.15)):

U= −

x

Z

xref

7.6 Sistemas conservativos 127 Os dois sistemas considerados nos exemplos7.1e7.2são ambos conservativos. No caso do exemplo7.2, a expressão da força foi armazenada na variável F do Maxima; assim, para obtermos a energia potencial calculamos a primitiva da expressão F:

(%i10) U: -integrate( F, x);

5 3

x 4 x 2

(%o10) -- - x + -- + 16 x - 25 x

10 2

A energia mecânica obtém-se somando a energia cinética:

(%i11) _{E: U + 0.3*v^2/2;}

5 3

x 4 x 2 2

(%o11) -- - x + -- + 16 x - 25 x + 0.15 v

10 2

Essa energia mecânica depende do estado inicial do sistema e permanece constante. Assim, as curvas de evolução do sistema serão todas as curvas do plano de fase obtidas com diferentes valores numéricos para E.

No Maxima, o pacote plotdf inclui outra função ploteq que permite calcular as curvas obtidas dando diferentes valores a uma função de duas variáveis. Para obter as curvas com valores constantes de E, usamos o seguinte comando:

(%i12) ploteq( E, [x,v], [x,-5,8], [v,-50,50])$ -4 -2 0 2 4 6 8 -50 -25 0 25 50

v

x

Figura 7.9.: Curvas de evolução do exemplo7.2, obtidas a partir das curvas com energia constante.

128 Sistemas dinâmicos Clicando em alguns pontos do espaço de fase, obtém-se o gráfico na figura 7.9, que reproduz o mesmo gráfico já obtido com plotdf na figura7.9. A única diferença é que agora não há setas que indicam o sentido da evolução do sistema.

Pode calcular-se a energia mecânica nos pontos que foram usados no gráfico7.9:

(%i13) E, x=-2.65, v=0; (%o13) 106.92107209375 (%i14) E, x=3.95, v=0; (%o14) 34.42494371875003 (%i15) E, x=0.5, v=0; (%o15) - 8.496875 (%i16) E, x=5.5, v=0; (%o16) 17.90937500000001

E também podem representar-se esses níveis de energia mecânica constante junto com o gráfico da energia potencial:

(%i17) plot2d([U,-8.5,17.91,34.42,106.92],[x,-4,7.5],[ylabel,"U(x)"])$

O resultado aparece na figura7.10. Para cada valor de energia, o sistema só pode estar nas regiões onde a energia potencial seja menor ou igual à energia mecânica.

-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 -4 -2 0 2 4 6 U x

Figura 7.10.: Gráfico da energia potencial no exemplo7.2, mostrando alguns níveis de energia mecânica.

Os dois valores mais elevados da energia representados no gráfico 7.10, E = 34.42 e E= 106.92, são os valores da energia nos dois pontos de equilíbrio instável: E = 106.92 no ponto de equilíbrio x = −2.65 e E = 34.42 no ponto de equilíbrio x = 3.95.

Observe-se também que em todos os pontos da órbita homoclínica que passa pelo ponto instável x = −2.65, a energia é igual a 106.92. De fato, a condição E = 106.92 define essa órbita. As duas órbitas homoclínicas que passam pelo ponto instável x = 3.95 estão definidas pela condição E = 34.42.

7.6 Sistemas conservativos 129 algum dos dois pontos de equilíbrio estável. Se a energia estiver comprendida entre 34.42 e 106.92, a curva de evolução será um ciclo (oscilação) em torno dos dois pontos de equilíbrio estável.

É muito importante observar que num gráfico da energia potencial, como o que aparece na figura 7.10, os pontos onde a curva tem um mínimo local correspondem a pontos de equilíbrio estável. Os pontos onde existe um máximo local são pontos de equilíbrio instável.

Pode imaginar-se a curva de energia potencial como se fosse uma calha vertical; colocando uma esfera nos pontos máximos, poderá ficar em repouso, mas um pequeno impulso fará com que comece a descer, afastando-se da posição de equilíbrio (equilíbrio instável). Se a esfera for largada desde o repouso perto de um ponto onde o potencial é mínimo (equilíbrio estável), descerá acelerando até chegar ao ponto mínimo, subindo no lado oposto até parar; se a esfera não perde nenhuma energia no seu trajecto, a altura do ponto onde pára é igual à altura do ponto onde foi largada. Assim sendo, a esfera voltará a descer e regressará ao seu ponto inicial e continuará a oscilar de um lado para o outro.

Perguntas

1. A força resultante sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo dos y é ~

F = (2 − y)(3 − y)~ey. Em t = 0 a par-

tícula encontra-se em repouso no ponto y= 2.5. Em que ponto se encontrará a partícula após um tempo muito elevado? A. Muito afastada, em y → ∞

B. Oscilando à volta de y = 2 C. Em y = 2

D. Em y = 3

E. Oscilando à volta de y = 3 2. Um sistema é autónomo se:

A. Não apresenta pontos singulares onde a derivada não pode ser calculada. B. Não depende de outros sistemas. C. Evolui de forma espontânea, sem pre-

cisar de agentes externos.

D. O seu estado não depende do tempo. E. A evolução do sistema a partir de um

estado inicial é igual em diferentes instantes.

3. A figura mostra o gráfico da componente xda força resultante Fx(x), que atua so-

bre uma partícula que se desloca ao longo do eixo dos x. Qual das seguintes afirma- ções é verdadeira, em relação aos pontos de equilíbrio da partícula? x Fx −1 1 3 A. x = −1 é estável e x = 1 é instável. B. x = 1 é estável e x = 3 é instável. C. x = −1 é estável e x = 3 é instável. D. x = −1 e x = 3 são estáveis. E. x = −1 e x = 1 são instáveis.

130 Sistemas dinâmicos 4. A figura mostra o gráfico da energia po-

tencial U (x), de uma partícula que se des- loca ao longo do eixo dos x. No instante inicial a partícula tem energia mecânica de 5 J e encontra-se em x = 1 m, com ve- locidade no sentido positivo de x. Como será o movimento da partícula?

x (m) U (J)

−2 −1 1 2 −3

3

A. Oscila à volta do ponto x = 1 B. Oscila à volta do ponto x = 2

C. Desloca-se até um ponto maior que x= 2 e depois regressa e fica em re- pouso em x = −1

D. Permanece em repouso no ponto x = 1

E. Desloca-se até um ponto maior que x= 2 e depois afasta-se em sentido negativo até −∞.

5. Quais são as componentes da velocidade de fase associada ao potencial U (x) = 3 expara uma partícula com massa m = 3? A. vx~ex− ex~evx B. vx~ex− e−x~evx C. vx~ex− x ~evx D. vx~ex+ ex~evx E. vx~ex+ e−x~evx

Problemas

1. Calcule as coordenadas da órbita heteroclínica do pêndulo, com condições iniciais θ = 0 e ω = 2pg/l, para um pêndulo com l = 0.3 m, usando o programa rk, para valores de t desde 0 até 3 s e com ∆t = 0.0005. Desenhe o gráfico de θ em função de t e compare os valores finais de θ e ω com os respetivos valores do ponto de equilíbrio instável.

2. Uma bola com 0.150 kg é lançada verticalmente para cima, desde y = 0 (o eixo dos yaponta para cima, na vertical). Desprezando o atrito com o ar, a energia permanece constante. (a) Desenhe o campo de direções, para y > 0, mostrando 4 curvas de evolução diferentes (use o valor 9.8 m/s2para g). Para cada curva, explique o significado dos pontos em que a curva interseta os eixos. (b) Explique como seria,no espaço de fase que desenhou na alínea anterior, a curva de evolução de uma bola largada em queda livre, que bate no chão sendo projetada novamente para cima.

3. Para cada um dos 3 valores de k no problema 7 do capítulo 1, encontre os pontos de equilíbrio, diga que tipo de ponto de equilíbrio é cada um e desenhe o campo de direções mostrando as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio.

4. Uma partícula com massa igual a 1 kg desloca-se ao longo do eixo dos y. No sistema SI, a componente da força sobre a partícula em cada ponto é dada pela expressão Fy= y + y2. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (b)

7.6 Sistemas conservativos 131 energia potencial em cada ponto de equilíbrio. (c) Desenhe o campo de direções do sistema, mostrando as 4 curvas de evolução correspondentes à energias seguintes: 0, uma energia menor que as energias nos pontos de equilíbrio, uma energia compreendida entre as energias nos dois pontos de equilíbrio, e energia maior que a energia nos pontos de equilíbrio. (d) Calcule a posição y onde a partícula pode estar em repouso, sem estar em equilíbrio, com energia total igual a zero; explique como seria o movimento da partícula nesse caso.

5. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x sob a ação da força: Fx= −k x +

a x3

onde k e a são duas constantes positivas. (a) Encontre os pontos de equilíbrio e mostre que todos são pontos de equilíbrio estável. (b) Explique como será o movimento da partícula. (c) Desenhe o campo de direções e algumas curvas de evolução no caso em que m, k e a são iguais a 1.

6. Uma partícula com massa m desloca-se no eixo dos x com energia potencial: U(x) = U0x2e−a x

2

onde U0 e a são duas constantes positivas. (a) Calcule a força que atua na partícula.

(b) Encontre os pontos de equilíbrio e diga se são estáveis ou instáveis. (c) Desenhe o gráfico da energia potencial para U0= 1 e a = 1. (d) Desenhe o campo de direções,

mostrando as curvas de evolução que passam pelos pontos de equilíbrio instável, no caso m = 1.