Sistemas dinâmicos

Definição 1.1.1 Um sistema dinâmico S é um triplo
X, T, φt, onde T é um conjunto tempo com estrutura de grupo, o conjunto X é um espaço de estados e φt_{: X→ X é uma} lei de evolução parametrizada em t ∈ T que satisfaz as propriedades:

(S1) φ0 = idX,

(S2) φt+s = φt◦φs, ∀t, s ∈ T , sempre que ambos os membros da igualdade estão definidos. Seguindo a tradição da mecânica clássica, é usual designar X por espaço de fase. Para que exista uma estrutura natural que permita a comparação entre os estados, X é tomado como um espaço métrico completo. Conforme a dimensão de X o sistema dinâmico S diz-se de dimensão finita ou infinita.

Quando T ⊆ Z o sistema dinâmico S diz-se discreto e quando T ⊆ R diz-se contínuo. Para cada t ∈ T , a lei de evolução φt _{está definida no espaço de fase X e transforma um} estado inicial x0 ∈ X no estado xt∈ X, ou seja, xt≡ φt(x0). Os sistemas dinâmicos com φt definida para t ≥ 0 e para t < 0 dizem-se invertíveis. Se S é invertível então o estado inicial x0 não define apenas os estados futuros mas também os passados.

Uma órbita do sistema S =
X, T, φtcom ponto inicial x0 é o subconjunto ordenado do espaço de fase X, denotado por O (x0), definido como

O (x0)≡x∈ X | x = φt(x0) , t∈ T para os valores de t em que φt_(x

0) está definida. Cada órbitaO (x0) de S é o subconjunto do espaço de fase dos pontos relacionados com x0 pela lei de evolução φt. Se y0 = φt(x0) para algum t ∈ T , as órbitas O (x0) e O (y0) coincidem. Assim, o conjunto de todas as órbitas de S constitui uma partição de X visto que órbitas diferentes não se intersectam em X.

Quando T = N0 o sistema dinâmico S fica univocamente determinado por uma única transformação f ≡ φ1_{. Dado x ∈ X, a lei de evolução do sistema S pode ser escrita como} uma equação às diferenças,

onde f (xn)≡ fn(x), indicando que f transforma cada estado xn no estado seguinte xn+1. O sistema (1.1) é linear se a transformação f o for. Dada uma condição inicial x0 ∈ X, a órbita (trajectória) de x0 é definida por

O(x0) =x0, f (x0) , f2(x0) , . . .={fn(x0)}n∈N0.

Se S é invertível então a órbita de x0 ∈ X é a sequência bilateral infinita

O(x0) =. . . , f−2(x0) , f−1(x0), x0, f (x0) , f2(x0) , . . .={fn(x0)}n∈Z.

Quando T = R o sistema dinâmico é muitas vezes definido por um sistema de equações diferenciais. Suponha o espaço de fase X ⊆ Rm _{com vectores estado x de coordenadas} x = (x1, x2, . . . , xm). Dado um campo vectorial f = (f1, f2, . . . , fm) : X → X com um certo grau de regularidade, a equação diferencial

(1.2) x˙ ≡ dx

dt = f (x)

define um sistema dinâmico contínuo. Se f não depende de t, então o sistema (1.2) diz-se autónomo e o tempo inicial pode ser tomado como t0 = 0. O sistema contínuo (1.2) é linear se o campo vectorial f o for.

Suponha que o campo vectorial f em (1.2) está definido numa região aberta U de Rm e é suave. Para cada x0 ∈ U, existe uma única função

φ≡ φx0 : R

m_{× R → R}m

suave em (x, t) tal que φ (x0, 0) = x0 e, para certo intervalo I = (−δ1, δ2) ⊆ R, com δ1,2 = δ1,2(x0) > 0, tem-se

φ (x0, t)∈ U e ˙φ (x0, t) = f (φ (x0, t))

onde t ∈ I e ˙φ (x0, t) denota a derivada de φ relativamente a x calculada em x0. O grau de regularidade de φ (x0, t) relativamente a x0 é o mesmo que o de f como função de x. A função φ (x0, t), considerada como uma função de t, diz-se a solução de (1.2) para a condição inicial x0. Assim, para cada x0∈ U, está definida univocamente a curva solução em Rm_{× R}

C(x0)≡ {(x, t) ∈ Rm× R | x = φ (x0, t) , t∈ I} ,

e a órbita de x0 (ou trajectória através de x0) como a sua projecção sobre o espaço de fase,

Ambas as curvas são parametrizadas em t e orientadas no sentido de t crescente. O vector f(x0) = 0 é tangente à curva solução C(x0) em x0. A órbita O(x0) evolui para fora da região U em t = −δ1(e/ou em t = δ2), ou permanece em U para sempre; neste último caso pode tomar-se I = R. É então possível considerar a transformação φt_{: R}m_{→ R}m_definida por φt_(x

0)≡ φ (x0, t), que atribui a x0o ponto, na órbita de x0, obtido ao fim de t unidades de tempo. Verificam-se as propriedades (S1) e (S2) e, portanto, S =
Rm_{, R, φ}t é um sistema dinâmico contínuo invertível. Cada transformação φt _{está definida para x ∈ U} e t ∈ I, onde I depende de x0 e é suave em x. A família 1-parâmetro de aplicações φt: U → Rm diz-se o fluxo local gerado pelo campo vectorial f.

Do ponto de vista computacional, as equações às diferenças são frequentemente mais acessíveis do que os fluxos, visto que um computador pode calcular com grande precisão os pontos da órbita para qualquer condição inicial. Em geral, na obtenção das soluções num fluxo, está subjacente um integrador numérico que transforma efectivamente o fluxo numa transformação e resolve uma versão discreta do sistema contínuo.

O tipo de comportamento assimptótico mais simples é representado pela convergência dos estados de uma órbita para um estado particular.

Definição 1.1.2 Seja S =
X, T, φtum sistema dinâmico definido num compacto X de dimensão finita por φt_{: X → X contínua. Dado x ∈ X, um ponto x}

∞ diz-se ω-limite de x se existe uma sucessão {tk}k ⊂ T tal que tk→ +∞ quando k → +∞ e

lim k→+∞φ

tk

(x) = x∞.

O conjunto de todos os pontos ω-limite de x para o sistema S diz-se o conjunto ω-limite de x e é denotado por ω(x, φt_).

O conjunto ω-limite ω(x, φt_{) é o conjunto dos pontos de acumulação da órbita de x e} pode ser escrito como

ω(x, φt) = t≥0

cl s≥t

{φs(x)}

(onde cl(A) denota o fecho do conjunto A). O conjunto dos pontos recorrentes de φt_, denotado por Rec
φt, é dado como

Rec
φt=x_{∈ X | x ∈ ω}
x, φt. São válidas as seguintes propriedades:

(L1) Para T = N0, se O (x) é limitada então ω(x, φt) é conexo; (L2) Se y = φt(x) para um certo t∈ T então ω(x, φt) = ω(y, φt); (L3) Se y∈ ω(x, φt) então ω(y, φt)⊂ ω(x, φt).

O conjunto ω-limite do sistema dinâmico S define-se como o fecho do conjunto de todos os conjuntos ω-limite, ω
φt= cl   x∈X ω(x, φt)  .

Se φt_{é um homeomorfismo podem ainda ser definidos pontos limite e conjuntos limite} tempo-inverso designados por pontos e conjuntos α-limite. As definições são análogas às apresentadas substituindo tk→ +∞ quando k → +∞ por tk→ −∞ quando k → +∞. É válida a igualdade

α
x, φt= ω(x,
φt−1).

Um ponto x ∈ X diz-se errante (ou não-recorrente) se, existe uma vizinhança aberta U de x e um tempo t
tal que, para t > t
_{, se verifica}

φt
(U )∩ U = ∅.

Um conjunto errante é uma colecção de pontos errantes. Quando um sistema dinâmico tem um conjunto errante de medida positiva, então a lei de evolução φt _{do sistema diz-se} dissipativa (e o sistema S diz-se dissipativo). Caso contrário, a lei φt _{diz-se conservativa} (e o sistema S diz-se conservativo). O conceito de conjunto errante formaliza uma certa ideia de "mistura"no sistema dinâmico.

Definição 1.1.3 Os sistemas dinâmicos S =
X, T, φt e S
_{=
Y, T, ψ}t_{dizem-se topo-} logicamente (ou qualitativamente) equivalentes se existe um homeomorfismo h : X → Y que aplica órbitas de S em órbitas de S
_{e uma função reparametrização γ : T × X → T} tal que

h_{◦ φ}γ(t,x)(x) =
ψt◦ h(x), ∀x ∈ X, ∀t ∈ T

onde, para cada x fixado, é assumido que γ (t, x) é monótona crescente em t e sobrejectiva em T .

Os retratos de fase de sistemas topologicamente equivalentes também se dizem topo- logicamente equivalentes. Quando não é exigida a existência da função γ mas apenas de um homeomorfismo que aplique órbitas de S em órbitas de S
_,

não são preservadas muitas da propriedades geométricas do retrato de fase (em particu- lar a orientação no tempo) e os sistemas dizem-se topologicamente conjugados, sendo h uma conjugação topológica entre eles. Se h não é um homeomorfismo mas apenas uma função sobrejectiva contínua tal que h ◦ φt _{= ψ}t_{◦ h, então os sistemas S e S
dizem-se} topologicamente semi-conjugados.

Se S =
X, Z, φ1 ≡ fe S
_{=
Y, Z, ψ}1 _{≡ g}_{são sistemas topologicamente equivalentes} através de um homeomorfismo h : X → Y , então é válida a igualdade de funções

(1.3) f = h−1◦ g ◦ h.

As transformações f e g dizem-se topologicamente conjugadas. A conjugação topológi- ca define uma relação de equivalência muito útil em teoria de sistemas dinâmicos, pois cada classe contém todas as transformações que partilham a mesma dinâmica do ponto de vista topológico. Se os homeomorfismos h e h−1 _{são de classe C}k_{, 0 ≤ k ≤ r, as trans-} formações f e g dizem-se Ck_{-conjugadas. Para k ≥ 1 as transformações C}k_-conjugadas (e os correspondentes retratos de fase) dizem-se suavemente conjugadas ou difeomorfas. Dois sistemas discretos difeomorfos podem ser considerados como o mesmo sistema mas escrito em diferentes sistemas de coordenadas e h pode ser entendido como a mudança de coordenadas suave entre eles.

Definição 1.1.4 Seja S = (X, Z, f) um sistema dinâmico definido numa variedade suave compacta X por uma transformação f de classe Cr_{, r ≥ 1. Diz-se que f é C}k_{-estruturalmente} estável se existe uma vizinhança U de f no espaço dos homeomorfismos de X, Homeo(X), munido da topologia Cr_{, tal que cada elemento de U é topologicamente conjugado a f} através de um homeomorfismo h de classe Ck_{, 1 ≤ k ≤ r.}

Enquanto em tempo discreto a conjugação topológica h pode ser vista como uma relação de equivalência, em tempo contínuo é exigida a noção de equivalência topológica. Para sistemas dinâmicos contínuos S =
X, R, φt e S
_{=
Y, R, ψ}t _{não basta exigir que} as órbitas de φt _{sejam aplicadas homeomorficamente em órbitas de ψ}t_{. É necessário que} as aplicações φt _{e ψ}t _{sejam topologicamente conjugadas para cada t, ou seja,}

h (O (x; φ)) =h
φt(x)| t ∈ R=ψt(h (x))| t ∈ R=O (h (x) ; ψ) ,

para cada órbita O (x; φ) de x ∈ X por φt_{, e que seja preservada a orientação das órbitas.} Assim é a equivalência topológica que fornece uma partição do conjunto de todos os fluxos

em X em classes de equivalência de fluxos que partilham a mesma dinâmica, ainda do ponto de vista topológico.

Para sistemas dinâmicos contínuos S e S
_{topologicamente equivalentes definidos em} X ⊆ Rm por ˙x = f (x) e ˙y = g (y), respectivamente, não existe uma relação explícita entre f e g análoga à fórmula (1.3) obtida no caso discreto. Contudo existem pelo menos dois casos particulares de equivalência topológica que podem ser expressos analiticamente [34].

Tal como em tempo discreto, pode ser considerada a seguinte relação, com vista à análise da robustez de um sistema dinâmico contínuo a pequenas perturbações.

Definição 1.1.5 Seja S =
X, R, φt um sistema dinâmico definido numa variedade suave X por ˙x = f (x) onde f é de classe Cr_{, r ≥ 1. O campo vectorial f diz-se C}k_- estruturalmente estável se existe uma vizinhança U de f no espaço fr_{(X) dos campos} vectoriais de classe Cr_{, munido da topologia C}r_{, tal que cada campo vectorial em U gera} um fluxo em X topologicamente equivalente ao fluxo gerado por f através de um homeo- morfismo h de classe Ck_{, 1 ≤ k ≤ r.}