SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES

Um sistema de equações não-lineares consiste em duas, ou mais, equações não- lineares que devem ser solucionadas simultaneamente. Por exemplo, a Fig. 3-22 mostra uma curva catenária (cabo pendu- rado) dada pela equação e uma elipse espe- cifi cada pela equação . O ponto de interseção entre as duas curvas é dado pela solução do seguinte sistema de equa- ções não-lineares:

(3.38) (3.39) A análise de muitos problemas na ciência e na engenharia requer a solução de sistemas de equações não-lineares. Além disso, conforme mostrado no Capítulo 9, um dos mais populares métodos numéricos usados na solução de equações Figura 3-22 Gráfi co das Eqs.

diferenciais ordinárias não-lineares (o método das diferenças fi nitas) requer a so- lução de um sistema de equações algébricas não-lineares.

Nesta seção, são apresentados dois métodos para a solução de equações não- lineares. O método de Newton (também chamado de método de Newton-Raph- son), adequado para a solução de sistemas pequenos, é descrito na Seção 3.10.1. O método da iteração de ponto fi xo, que também pode ser usado para solucionar grandes sistemas, é discutido na Seção 3.10.2.

3.10.1 Método de Newton para a solução de sistemas de equações não-lineares

O método de Newton para a solução de sistemas de equações não-lineares é uma extensão do método usado para resolver uma única equação (Seção 3.5). O méto- do é primeiramente deduzido em detalhe para a solução de um sistema com duas equações não-lineares. Subseqüentemente, uma formulação geral é apresentada para o caso de um sistema com n equações não-lineares.

Resolvendo um sistema com duas equações não-lineares

Um sistema com duas equações e duas incógnitas x e y pode ser escrito como: (3.40) O processo de solução começa com a escolha de uma solução estimada x1 e y₁. Se x₂ e y₂ são a solução exata do sistema (desconhecida) e estão sufi ciente- mente próximos de x1 e y1, então o valores de f1 e f2 nos pontos x2 e y2 podem ser expressos usando a expansão em série de Taylor das funções f₁(x, y) e f₂(x, y) em torno de (x1, y1) (ver Seção 2.7.2):

(3.41)

(3.42) Como x₂ e y₂ estão próximos de x₁ e y₁, valores aproximados para f₁(x₂, y₂) e f₂(x₂, y₂) podem ser calculados sem que sejam considerados termos de ordem mais elevada. Além disso, como f₁(x₂, y₂) = 0 e f₂(x₂, y₂) = 0, as Eqs. (3.41) e (3.42) podem ser rescritas como:

(3.43)

(3.44) onde Δx = x₂ – x₁ e Δy = y₂ – y₁. Como todos os termos nas Eqs. (3.43) e (3.44) são conhecidos, exceto as incógnitas Δx e Δy, essas equações formam um sistema de

duas equações não-lineares. O sistema pode ser solucionado com o emprego da regra de Cramer (ver Seção 2.4.6):

(3.45)

(3.46) onde

(3.47)

é o Jacobiano (ver Seção 2.6.3). Uma vez obtidos os valores de Δx e Δy, os valo- res de x₂ e y₂ são calculados com:

(3.48) Obviamente, os valores de x₂ e y₂ obtidos não são a solução real, pois foram desconsiderados termos de ordem mais elevada nas Eqs. (3.41) e (3.42). Entretan- to, espera-se que esses valores estejam próximos da solução exata x₁ e y₁.

O processo de solução continua com o uso de x₂ e y₂ como a nova estimativa da solução e o emprego das Eqs. (3.43) e (3.44) para determinar novos valores de

Δx e Δy que levem a x3 e y3. As iterações continuam até que duas respostas suces- sivas difi ram de uma quantidade menor que um valor desejado.

As equações da curva catenária e da elipse, que são mostradas na fi gura, são dadas por:

(3.49) (3.50) Use o método de Newton para determinar o ponto de interseção en- tre as curvas que reside no primeiro quadrante do sistema de coor- denadas.

SOLUÇÃO

As Eqs. (3.49) e (3.50) são um sistema de duas equações não-lineares. Os pontos de interseção são dados pela solução do sistema. A solução pelo método de Newton é obtida empregando-se as Eqs. (3.43) e (3.44). No presente problema, as derivadas parciais das equações são dadas por:

Exemplo 3-5: Solução de um sistema de equações não-lineares usando o método de Newton

(3.51)

(3.52) O Jacobiano é dado por:

(3.53)

A substituição das Eqs. (3.51)–(3.53) nas Eqs. (3.45) e (3.46) fornece a solução para Δx e Δy. O problema é solucionado no programa de MATLAB listado abaixo. A ordem das operações no programa é:

A solução começa com a tentativa inicial,

•

As iterações têm início.

•

(3.46).

x

•

Se o erro relativo estimado (Eq. (3.9)) para ambas as variáveis for menor que 0,001, as iterações

•

param. Caso contrário, os valores de xi + 1 e yi + 1 são atribuídos a xi e yi, respectivamente, e a próxi-

ma iteração tem início.

O programa também mostra a solução e o erro em cada iteração. Solução do Exemplo 5 do Capítulo 3

Atribui a primeira estimativa da solução.

Calcula Δx e Δy com as Eqs. (3.45) e (3.46).

Calcula x_{i + 1} e y_{i + 1}.

Se o erro não for pequeno o suficiente, atribui-se x_{i + 1} a x_i, e y_{i + 1} a y_i. As iterações têm início.

A aplicação do método de Newton é ilustrada no Exemplo 3-5, onde se deter- mina o ponto de interseção entre a curva catenária e a elipse da Fig. 3-22.

Resolvendo um sistema com n equações não-lineares

O método de Newton pode ser facilmente generalizado para o caso de um siste- ma com n equações não-lineares. Com n incógnitas, x1, x2,..., xn, um sistema de n

equações não-lineares simultâneas tem a forma:

(3.54)

Os valores das funções na próxima aproximação da solução, x_{1, i + 1}, x_{2, i + 1},..., xn, i + 1, são então obtidos usando-se a expansão em série de Taylor em torno do

valor atual da solução aproximada, x_{1, i}, x_{2, i},..., x_{n, i}. Se o mesmo procedimento que leva às Eqs. (3.43) e (3.44) for seguido, obtêm-se como resultado o seguinte siste- ma com n equações lineares para as incógnitas Δx₁, Δx₂,..., Δx_n:

(3.55)

(O determinante da matriz contendo as derivadas parciais das funções no lado esquerdo da equação é chamado de Jacobiano, ver Seção 2.6.3). Assim que o sis- tema da Eq. (3.55) é resolvido, a nova solução aproximada é obtida a partir de:

(3.56)

Da mesma forma que no método de Newton para uma única equação não-line- ar, a convergência não é garantida. O procedimento iterativo de Newton converge Quando o programa é executado, aparecem as seguintes informações na janela de comando do MAT- LAB:

durante a solução de um sistema de equações não-lineares tipicamente se as três condições a seguir forem satisfeitas:

(i) As funções f1, f2,..., fn e suas derivadas devem ser contínuas e limitadas na vizinhança

da solução (raiz).

(ii) O Jacobiano deve ser diferente de zero, isto é, J(f1, f2,..., fn) ≠ 0, na vizinhança da solução.

(iii) A estimativa inicial (tentativa) da solução deve estar sufi cientemente próxima da so- lução exata.

O método de Newton para resolver um sistema com n equações não-lineares é resumido no algoritmo a seguir.

Algoritmo para o método de Newton usado na solução de sistemas com n equações não-lineares

Dado um sistema com n equações não-lineares,

1. Estime (chute) uma solução inicial, x1, i, x2, i,..., xn, i.