Sobre a fronteira de produção estocástica

O objetivo principal de um modelo de fronteira de produção estocástica é a obtenção de uma função de produção com base nas relações estabelecidas entre os fatores de produção e o produto gerado. Nesse sentido, o intuito da modelagem é construir uma fronteira que expresse a máxima produção possível de uma instituição quando empregada, de forma eficiente, dado determinada combinação de insumos, ou fatores de produção.

Na realidade, porém, não existem garantias de que a combinação executada pelas instituições seja a combinação eficiente, que maximize a produção. Isso porque, dada a existência de ineficiências técnicas no uso desses fatores, pode acontecer de a instituição estar operando em lugar abaixo da fronteira máxima de produção.

A especificação original da modelagem de uma função de produção estocástica envolveu uma função de produção específica para dados cross-section e com um termo de erro com dois componentes: um para contabilizar os efeitos aleatórios, fora do controle das unidades de produção, e outro para contabilizar a ineficiência tecnológica das firmas. O modelo de fronteira estocástica estabelecido foi um modelo de regressão, estimado por máxima verossimilhança, com um distúrbio que é assimétrico e não-normal (GREENE, 2002).

Para ilustrar a referida técnica, suponha que y= f

( )

x defina uma relação de produção entre o insumo, x , e um produto, y. Então, para qualquer x dado, o valor observado de ydeve ser menor ou igual a f

( )

x . A implicação dessa relação em um modelo de regressão empírico tem uma formulação, tal comoy=h

( )

x,b +u, em que u é o erro aleatório. Assim, desde que a função de produção teórica seja um ideal – a fronteira de produção eficiente – qualquer distúrbio não-nulo deveria ser interpretado como resultante de uma ineficiência. De outra forma, uma instituição poderia ser considerada ineficiente mesmo quando operasse acima da fronteira de possibilidades de produção. Além disso, um

único erro de medida pontual seria capaz de influenciar a função de produção.

Para solucionar esses problemas, Aigner et al. (1977) e Meeusen e Van-Den- Broeck (1977) propuseram, independentemente, uma função de produção específica para dados “cross-section”, na qual os desvios observados na função de produção poderiam ser obtidos de duas fontes: (i) da ineficiência produtiva, como definida anteriormente e que, necessariamente, seria negativa; e (ii) dos efeitos idiossincráticos (ou aleatórios), que são específicos à firma e que poderiam entrar no modelo com qualquer um dos sinais.

Uma extensão desse modelo pressupõe o uso de dados de painel, em que um número N de instituições é observado ao longo de um número de períodos de tempo T. As vantagens da utilização de dados em painel estão no maior número de graus de liberdade quando da estimação dos parâmetros e na possibilidade de investigação simultânea de uma mudança tecnológica e de uma mudança na eficiência técnica ao longo do tempo (COELLI et al., 1998). Outra extensão para o modelo Aigner et al. (1977) e Meeusen e Van-Den- Broeck (1977), desenvolvida por Kumbhakar et al. (1991) e Reifschneider e Stevenson (1991), é um modelo de fronteira estocástica em que os efeitos da ineficiência

( )

u são i expressos como uma função explícita de um vetor de variáveis específicas da firma e um erro aleatório. Battese e Coelli (1992) e Battese e Coelli (1995) propuseram um modelo equivalente à especificação de Kumbhakar et al. (1991), no qual impuseram a eficiência alocativa, removeram a condição de primeira ordem de maximização de lucro e permitiram o uso de dados em painel.

O modelo de fronteira estocástica para dados em painel, proposto por Battese e Coelli (1992) e Battese e Coelli (1995), permite que os efeitos das eficiências sejam definidos por funções explícitas de fatores específicos das firmas. A heterogeneidade de cada unidade de produção é incluída no termo de eficiência. Neste modelo, as distribuições dos efeitos das ineficiências técnicas não são iguais, mas sim funções de variáveis observáveis. Para tal, os autores admitiram que os efeitos das eficiências técnicas são independentes, mas não identicamente distribuídos; consequentemente, admitiram que as eficiências poderiam mudar no tempo e para cada firma ou instituição. O modelo adaptado pelos autores considera as seguintes funções de produção e de determinação dos efeitos da eficiência técnica,

(

x v u

)

i N e t T

y_it =exp _itβ+ _it − _it , =1,2,, =1,2,, (1) e

it it

it Z

u = δ +µ , (2)

em que i indica a observação da i-ésima unidade produtora da amostra; t é o t-ésimo período; y é o produto gerado; x é o vetor de fatores de produção, de ordem

(

1×k

)

, que explicam o produto gerado; β é o vetor

(

k×1

)

de parâmetros a serem estimados; v é o erro aleatório que, por hipótese, é i.i.d. com distribuição

(

2

)

, 0 v

N σ e independente de u ; u

é o vetor de variáveis aleatórias não-negativas, relacionadas com a eficiência técnica de produção, e independentemente distribuídas, com distribuição N

(

u_it,σ truncada em _u2

)

zero; Z é o vetor

(

1×m

)

de variáveis que explicam a eficiência técnica de produção da unidade produtora i; e δ é vetor

(

m×1

)

de parâmetros de determinação para as variáveis do vetor Z.

Na estimativa dos parâmetros da modelagem proposta na presente pesquisa, obtidos pelo método da máxima verossimilhança, utiliza-se a reparametrização de Battesse e Corra (1977), conforme apresentado em (3)

2 2 v u u σ σ σ γ + = . (3)

Quanto aos resultados estimados, tem-se que quanto mais próximo de 1 for gama (γ ), maior a importância do termo de erro, termo que atesta a existência de eficiência técnica introduzido no modelo. No caso de γ ser estatisticamente igual zero, não há influência do termo de eficiência técnica no modelo, o que permitiria a aplicação do método de Mínimos Quadrados Ordinários – MQO na estimação. O parâmetro γ pode variar entre 0 e 1, indicando a adequação da utilização do método de fronteiras estocásticas na modelagem. Se γ =0, a variância do erro associado à eficiência técnica também será igual a zero, de modo que os efeitos do termo de eficiência não serão significativos na análise da fronteira de produção. Desse modo, considera-se que o modelo é mais adequado, em detrimento da estimativa por MQO, à medida em que γ se aproxima de 1, visto que a diferença entre o desempenho efetivo e o potencial poderá ser melhor explicada pelas variáveis do modelo que introduz o termo de eficiência técnica.

(

it it it

)

(

it it

) (

it

)

it x v u x v u

y =exp β+ − =exp β+ exp − . (4)

Se yit _{é o produto, ou desempenho, observado pelo estado i diante do gasto em} determinada área, tem-se que y_it = y_it*exp

(

−u_it

)

, em que y*_it =exp

(

x_itβ+v_it

)

= f

( )

x_it é o resultado potencial máximo do gasto executado pelo estado i, no tempo t . Assim, a eficiência técnica seria definida pela razão entre o produto observado e o produto potencial máximo da amostra. Assim, ao utilizar o método proposto por Jondrow et al. (1982), tal medida de eficiência é obtida pela derivação das expressões para a esperança de ui _, condicional aos valores observados de

(

vi −ui

)

_{. Então, a expressão para a eficiência} técnica do estado i seria

( )

(

(

) ()

)

(

it

)

(

it it

)

it i it it i it it it it it u Z v x u v x x f y y y ET δ µ β β − − = − = + − + = = = exp exp exp exp exp * , (5)

em queµ tem distribuição truncada em_it N

(

0,σ_µ2

)

. O valor de

(

ET_it

)

estará situado no intervalo

[ ]

0;1 , em que zero representa total ineficiência e 1, plena eficiência.

Assim, o modelo de fronteira estocástica com orientação-produto, a ser estimado para cada uma das áreas de ação dos governos estaduais, a partir de Battese e Coelli (1992) e Battese e Coelli (1995), tem a seguinte especificação:

( ) ( ) ( ) ( ) it it i i it it it it it u v despt gastofunc pibp renda gastofunc DSP − = + + + + + = ε ε β β β β

β log log log log( ) ,

log _{0 1 2 3 4 (6)}

e

( )

( )

( )

( )

it

it NE SU CO

ET =δ₀ +δ₁ NO +δ₂ +δ₃ +δ₄ +µ (7) em que DSP é o indicador agregado de desempenho do setor público para o estado _it i, na área de ação em questão, no período t; β são os coeficientes de determinação deste i desempenho;

(

gastofunc , é o gasto realizado

)

34 pelo governo do estado i com a função

34_{Os gastos funcionais realizados ou executados nas áreas de ação objeto deste estudo equivalem às despesas}

empenhadas no ano em questão e divulgadas à Secretaria de Tesouro Nacional, conforme Artigos 34 e 35 da Lei Federal 4.320, de 17 de março de 1964. Assim, caso ocorra contingenciamento linear de gastos em um

considerada;

(

renda , é a renda média familiar no estado

)

i, que capta o poder aquisitivo e o nível de renda médio da população do estado i;

(

pibp o PIB per capita do estado

)

i, que capta o nível de atividade econômica e o crescimento per capita percebido pelo estado

i;

(

gastofunc despt

)

é a parcela do gasto total do estado destinada à área em análise, que capta a prioridade da área quando da distribuição dos gastos totais realizados pelo estado

i; ET é a eficiência técnica estimada com base na fronteira estocástica, definida por uma i função explícita de um vetor de variáveis regionais, ou ambientais, específicas, que capta as diferenças e características das regiões político-administrativas do País (definidas por), não aleatórias, dos estados; δ são os coeficientes de determinação da ET. As variáveis _i regiões são dummies representativas das regiões Norte (NO) , Nordeste (NE), Sul (SU) e Centro-Oeste (CO). Uma dummy representativa da Região Sudeste (SU) não é incluída na modelagem por ter sido esta a Região escolhida como de controle, ou referência, para os resultados que se pretende encontrar. A escolha da Região Sudeste como Região de controle deve-se a sua histórica posição hegemônica em relação às demais regiões, conforme já destacado.

As fronteiras estocásticas são estimadas por Máxima Verossimilhança e a forma funcional adequada é do tipo Cobb-Douglas, que pressupõe rendimentos decrescentes e retornos constantes à escala, uma para cada área de ação do governo considerada na análise.

O processo de estimação (Equações 6 e 7) é implementado em dois estágios e permite considerar dois vetores de variáveis explicativas: o vetor x , que afeta o nível de produção de fronteira de gastos públicos – os DSPs – e o vetor z, que afeta as ineficiências técnicas – ET. De acordo com Battese e Coelli (1992), os vetores x e z

podem sobrepor-se, já que a posição da fronteira pode depender de fatores outros, que não tipicamente insumos, e os insumos podem estar entre os fatores que também afetam a eficiência técnica35.

Considerando os dados a serem utilizados para estimação das fronteiras estocásticas e dos determinantes da eficiência técnica (Equações 6 e 7), tem-se, em

período, pressupõe-se que esta medida não alcança áreas setoriais da ação pública responsáveis pela oferta de bens e serviços sociais de educação e cultura, saúde e saneamento, habitação e urbanismo e segurança pública.

35

Wang e Schmidt (2002), por meio de um estudo de Monte Carlo, mensuraram o viés envolvido nas estimações em dois estágios, tanto nos parâmetros tecnológicos estimados quanto nos níveis de eficiência e na relação destes com as variáveis explicativas no vetor.

princípio, um painel com 405 observações, sendo 27 unidades cross-section e 15 períodos temporais. Partindo do princípio que os recursos empregados pelos governos podem levar algum tempo para produzirem efeito e serem efetivamente realizados, defasagens temporais podem ser introduzidas no modelo. Essas defasagens, caso existam, podem variar de acordo com as especificidades do objeto do gasto e da função, ou área de ação, a que se refere. A inclusão de defasagens implicaria redução do número de observações.

No documento Gasto público social dos estados brasileiros: um estudo sob a ótica da eficiência técnica (páginas 55-60)