SOBRE A GEOMETRIA EUCLIDIANA E OS CINCO POSTULADOS

Como ressaltado, a geometria teve maior espaço no mundo quando Euclides de Alexandria publicou sua coleção chamada Os Elementos, que possui treze volumes dos quais seis são dedicados à geometria plana. Tais volumes enfatizam a axiomatização da geometria, dedução de sequências lógicas e a formulação de deduções precisas garantindo uma compreensão de reciprocidade entre palavras e símbolos. De fato, nesta obra, Euclides esquematiza a geometria com uma estrutura lógica e um rigor muito bem elaborados, sendo tal estruturação considerada muito importante para a Matemática.

Vale destacar que as demonstrações matemáticas deste período grego não eram aritmetizadas como temos atualmente, eram totalmente geométricas. Por exemplo, a demonstração do Teorema de Pitágoras, antes da álgebra era toda geometrizada, como podemos conferir a seguir.

Observam-se duas demonstrações do Teorema de Pitágoras, a primeira é clássica de acordo com Euclides (2009) e a segunda, por Oliveira (2008) tem mais ilustrações e pode se aproximar do que os professores ensinam na sala de aula, embora a maioria dos livros didáticos não disponibilize para apreciação dos alunos.

Em Os Elementos, a proposição 47 de diz que “nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto”.

A seguir, a prova através da figura que trata de uma análise em demonstração matemática.

Seja o triângulo retângulo ABC, tendo o ângulo sob BAC reto; digo que o quadrado sobre a BC é igual aos quadrados sobre as BA, AC. Fiquem, pois, descritos, por um lado, o quadrado BDEC sobre a BC, e, por outro lado, os GB, HC sobre as BA, AC, e, pelo A, fique traçada a AL paralela a qualquer uma das BD, CE; e fiquem ligadas as AD, FC. E, como cada um dos ângulos sob BAC, BAG é reto, então, as duas retas AC, AG, não postas do mesmo lado, fazem relativamente a alguma reta, a BA, e no ponto A sobre ela, os ângulos adjacentes iguais a dois reto; portanto, a CA está sobre uma reta com a AG. Pelas mesmas coisas, então, também a BA está sobre uma reta com a igual a AH. E, como o ângulo sob DBC é igual ao sob FBC; pois, cada um é reto; fique adicionado o sob ABC comum; portanto, o sob DBA todo é igual ao sob FBC todo. E como, por um lado, a DB é igual à BC, e, por outro lado, a FB, à BA, então, as duas DB, BA são iguais às duas FB, BC, cada uma a cada uma; e o ângulo sob DBA é igual ao ângulo sob FBC; portanto, a base AD [é] igual à base FC, e o triângulo ABD é igual ao triângulo FBC; e, por um lado, o paralelogramo BL [é] o dobro do triângulo ABD; pois, tanto têm a mesma base BD quanto estão nas mesmas paralelas BD, AL; e, por outro lado, o quadrado GB é o dobro do triângulo FBC; pois, de novo, tanto tem a mesma base FB quanto estão nas mesmas paralelas FB, GC. [Mas os dobros das coisas iguais são iguais entre si;] portanto, também o paralelogramo BL é igual ao quadrado GB. Do mesmo modo, então, sendo ligadas as AE, BK, será provado também o paralelogramo CL igual ao quadrado HC; portanto, o quadrado BDEC todo é igual aos quadrados GB, HC. E, por um lado, o quadrado BDEC foi descrito sobre a BC, e, por outro lado, os GB, HC, sobre as BA, AC. Portanto, o quadrado sobre o lado BC é igual aos quadrados sobre os lados BA, AC. Portanto, nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sobre o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o [ângulo] reto; o que era preciso provar (EUCLIDES, 2009, p. 132).

Agora a demonstração geométrica, porém com o uso da álgebra do mesmo teorema:

Considere um quadrado ABCD de lado b + c. Sobre os lados desse quadrado marque pontos M, N, P, Q, como na figura a seguir, de modo que:

Pelo caso de congruência LAL os triângulos retângulos QAM, MBN, NCP e PDQ são congruentes ao triângulo retângulo da hipótese. Daí segue que MN = NP = PQ = QM =a. Isso implica que o quadrilátero MNPQ é um losango. Vamos mostrar que, de fato, ele é um quadrado. Suponhamos que os ângulos agudos do triângulo de hipótese sejam: α e β.

Pela congruência dos triângulos QAM, MBN, NCP e PDQ descritos acima, os ângulos agudos destes triângulos retângulos medem α e β, de acordo com a figura acima. Como α + β = 90º segue que cada ângulo interno do quadrilátero MNPQ deve ser reto. Isso demonstra que MNPQ é um quadrado de lado a. Daí a área do quadrado de lado b +c é igual à soma da área do quadrado de lado a com a área de quatro triângulos retângulos de catetos b e c. Isto é:

, como queríamos demonstrar. (OLIVEIRA, 2008, p.7)

Diante da demonstração original do Teorema de Pitágoras e de uma demonstração geométrica com colaboração algébrica, observa-se a diferença de termos usados em ambos os casos. Na primeira, a formalização grega é riquíssima com sua preocupação em expor a figura geométrica e a prova do rigor matemático, porém o que se torna mais interessante é a clareza dos dados muito bem escritos para uma geometria grega bastante antiga, mas com uma preocupação forte na linguagem geométrica da época. Já a atual é mais detalhada com a separação das figuras e o uso da álgebra que contribui com um melhor para a linguagem contemporânea da matemática.

Assim, diante da força euclidiana, toda essa geometrização perdurou no ocidente por mais de um milênio após o declínio da civilização helenística.

Dentro dessa estruturação lógica, Euclides escreveu cinco postulados, e diferentemente de Aristóteles que tinha definições distintas para axiomas e postulados, não via variação e tratando-os como se fossem a mesma coisa. Desses cinco axiomas, quatro eram

diretos e claros, tanto é que não eram questionados e nem questionáveis dentro da comunidade científica da época, entretanto o quinto postulado foi motivo de muitas inquietações e dúvidas que perduraram por diversos séculos da história porque não era claro e nem simples de ser verificado. Mlodinow (2004, p.46) diz que o postulado “não era suficientemente simples para um postulado, e deveria ser demonstrável como um teorema”, essa falta de simplicidade incomodou estudiosos por diversos séculos, e falaremos sobre isto mais a frente.

A seguir, estão descritos o os cinco postulados de Euclides (2009, p. 98): 1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. 2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. 3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.

4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.

5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos.

Os matemáticos e filósofos não aceitavam que o postulado das paralelas não fosse passível de prova, eles queriam e tentavam, de qualquer forma, mostrar que se tratava de um teorema e não um postulado26, como afirmara Euclides em sua obra. Neste sentido, queriam mostrar que havia um equívoco em um dos volumes de Os Elementos. Um exemplo deste questionamento foi feito por Saccheri (1667- 1733), onde discutiremos posteriormente e que culminaram no surgimento de uma nova geometria.

Na seção seguinte, aponta-se a discussão sobre esse quinto postulado, alvo de tantos estudos, questionamentos e o “pontapé” inicial para uma geometria que até então não era conhecida, o que atesta uma das características de anomalia, isto é, avanço para o ramo

diante do padrão.