Ao inv´es de fixarmos o custo de setup c2 como sendo 100 ou 300, conforme [20], podemos
consider´a-lo como um parˆametro dinˆamico. Buscamos obter na fun¸c˜ao objetivo de Pk, o
mesmo peso para o termo linear
c1 n X j=1 xj + c3 n X j=1 tjxj = n X j=1 (c1+ c3tj)xj,
e o termo n˜ao-linear c2 n X j=1 kx2j 1 + kx2 j .
Inicialmente, temos objSHP o n´umero de objetos processados e nSHP o n´umero de
padr˜oes gerados na solu¸c˜ao inicial obtida por SHP. Considerando c1 = 1 e c3 = 10, para
que os termos linear e n˜ao-linear tenham o mesmo peso, devemos ter c2 = objSHP/nSHP.
Baseando-se nesta id´eia e estimando que o n´umero de objetos processados na solu¸c˜ao final seja objSHP, propomos que
c2 =
objSHP
n ,
onde n ´e o n´umero de padr˜oes no problema corrente Pk.
Dessa forma, c2 ´e um parˆametro dinˆamico que a cada padr˜ao gerado tem seu valor
diminu´ıdo, favorecendo a minimiza¸c˜ao do n´umero de objetos processados e o desperd´ıcio relativo.
Cap´ıtulo 3
Implementa¸c˜ao e Testes num´ericos
Neste cap´ıtulo detalhamos a implementa¸c˜ao computacional dos m´etodos descritos no cap´ıtulo anterior e realizamos testes num´ericos.
Chamamos de MNLPC a implementa¸c˜ao do m´etodo com a formula¸c˜ao n˜ao-linear para o problema de corte, proposta deste trabalho. A seguir, temos um algoritmo b´asico de MNLPC.
Algoritmo 4 Algoritmo b´asico do M´etodo MNLPC.
Passo 0: Dados : W , w, d, c1, c2, c3.
Passo 1: Gere um conjunto de padr˜oes iniciais.
Passo 2: Monte e obtenha a solu¸c˜ao global de Pk, k = 1, 10, 102, 103, 104.
Passo 3: Utilize os multiplicadores da solu¸c˜ao de Pk para formular o problema da
mochila e gerar um novo padr˜ao.
Passo 4: Se o padr˜ao gerado ´e promissor (Z ≥ c1+ c3), diferente do padr˜ao gerado na
itera¸c˜ao anterior e o n´umero m´aximo de padr˜oes gerados n˜ao for atingido, insira-o ao problema Pk e volte ao Passo 2. Caso contr´ario, ir para o Passo 5.
Passo 5: Obtenha uma solu¸c˜ao inteira, empregando a heur´ıstica BRURED modificado.
No Passo 1 podem ser utilizados a solu¸c˜ao inicial homogˆenea ou a heur´ıstica SHP. As t´ecnicas de globaliza¸c˜ao utilizadas no Passo 2 foram a de chutes aleat´orios e Simulated Annealing (SA). Para o Passo 3, as op¸c˜oes de resolu¸c˜ao do problema da mochila s˜ao MTB2, B&B , GCN e GCL, descritos na Subse¸c˜ao 2.5.2.
tran. As demais implementa¸c˜oes tamb´em s˜ao na mesma linguagem. Os experimentos num´ericos foram executados em um computador biprocessado com processadores AMD Opteron 242, 1.5 GB RAM.
A implementa¸c˜ao da heur´ıstica SHP foi conforme descrita na Subse¸c˜ao 2.3.2. Os parˆametros utilizados foram os citados na mesma.
Ao montar o problema Pk, utilizamos tamb´em um limitante superior para as vari´aveis,
exigˆencia do pacote de otimiza¸c˜ao usada. Definimos este limitante, igual para todas as vari´aveis, como
u = max {di, i = 1, . . . m} .
A id´eia de se colocar este limitante ´e que mesmo que o padr˜ao seja formado por apenas um item, o n´umero de vezes que este ser´a utilizado n˜ao exceda a sua demanda. Tomando o maior deles, nenhum padr˜ao ser´a utilizado mais vezes que este m´aximo.
Definimos o n´umero m´aximo de colunas geradas como sendo o triplo do n´umero de colunas geradas na solu¸c˜ao inicial.
Como limitantes para o problema da mochila utilizamos a proposta de Salles Neto, [20]. Seja p o n´umero de padr˜oes distintos existentes na solu¸c˜ao corrente, processando N O objetos. Suponha que queremos diminuir em 20% o setup, ent˜ao a estimativa m´edia do n´umero de objetos que o novo padr˜ao a ser gerado deve processar ´e M OP = N O/0.8p. Dessa forma, supondo que o n´umero de objetos processados com o novo padr˜ao ´e M OP , para que n˜ao se exceda a demanda nem a largura da bobina, devemos ter para cada pe¸ca i o seguinte limitante para o n´umero de itens de tamanho wi processados com este padr˜ao:
bi = min ($ di M OP % , W wi ) , i = 1, . . . , m.
Para o algoritmo MTB2, s˜ao exigidos alguns crit´erios sobre os dados de entrada, por exemplo, serem inteiros e estritamente maiores que zero. Os multiplicadores oriundos da solu¸c˜ao de Pkpodem estar no intervalo (0,1), e se anular˜ao ao tomarmos sua parte inteira.
Para evitar que se tenha multiplicadores com valor zero n˜ao satisfazendo os crit´erios para que o algoritmo MTB2 seja executado, utilizamos ηi = bηic + 1. No caso do limitante ser
zero, bi = 0, trocamos por bi = 1.
Para o algoritmo GCN, resolvemos o Problema (2.32) utilizando α = 100 e k = 104.
Um dos crit´erios de parada do algoritmo ´e se o padr˜ao n˜ao ´e promissor (Z > c1 + c3).
Mesmo no caso de GCN, que possui fun¸c˜ao objetivo com um termo n˜ao-linear positivo, se Z ≤ c1+ c3 o padr˜ao ´e considerado promissor.
Para a resolu¸c˜ao do problema com restri¸c˜oes (Pk e Problema (2.32)), utilizamos o
pacote de otimiza¸c˜ao MINOS, [18]. Este pacote ´e utilizado para resolu¸c˜ao de problemas de programa¸c˜ao linear e problemas com fun¸c˜ao objetivo n˜ao-linear e restri¸c˜oes lineares.
Ao se utilizar a estrat´egia dos chutes aleat´orios para resolver o problema Pk, para cada
k resolvemos o problema com o MINOS para 20 chutes aleat´orios dentro da caixa, ou seja, entre 0 e u. A solu¸c˜ao do problema para cada valor de k ser´a um dos chutes iniciais para o problema seguinte com k = 10k.
No Simulated Annealing (SA), os pontos aleat´orios tamb´em s˜ao dados dentro da caixa. Definimos o n´umero m´aximo de trocas de temperatura como sendo µ = 10. Iniciamos com k = 1, e ao final do processo na temperatura corrente, utilizamos a solu¸c˜ao para ser uma aproxima¸c˜ao inicial para a resolu¸c˜ao de Pk atrav´es do MINOS. Atualizamos ent˜ao
k (k = 10k), e iniciamos o processo para a nova temperatura. Terminado o processo, a solu¸c˜ao ser´a um dos chutes iniciais para o MINOS, al´em da solu¸c˜ao encontrada para o problema anterior Pk−1. O valor de k aumenta at´e 104, ficando fixo para valores acima
deste, mesmo que a temperatura no processo SA diminua.
Note que o processo SA e a resolu¸c˜ao do problema n˜ao-linear com o MINOS s˜ao in- dependentes. A solu¸c˜ao obtida no SA a cada final do processo da temperatura corrente ´
e usada como aproxima¸c˜ao inicial para o MINOS. O processo de SA continua sem inter- ferˆencia da resolu¸c˜ao de Pk pelo MINOS.
Utilizamos duas formas distintas para o SA: irrestrito e restrito. Na forma irrestrita, despreza-se a restri¸c˜ao de demanda, ou seja, trata-se o problema apenas com restri¸c˜oes de caixa. J´a na forma restrita, incorporamos a restri¸c˜ao de demanda na fun¸c˜ao objetivo, como descrito na Subse¸c˜ao 2.4.2. Definimos o parˆametro de penaliza¸c˜ao ρ = 100.
Nas tabelas deste cap´ıtulo, Setup e Objetos indicam, respectivamente, o n´umero de padr˜oes distintos na solu¸c˜ao e o n´umero de objetos processados. A percentagem do des-
perd´ıcio ´e indicada por DESP., que ´e obtida considerando a perda total relativamente ao n´umero de objetos processados:
DESP. = 100 × n X j=1 tjxj n X j=1 xj , lembrando que tj = W − m X i=1 aijwi
W ´e a perda relativa que ocorre quando usamos o padr˜ao j.
A percentagem do excesso de produ¸c˜ao, relativamente ao n´umero de objetos processa- dos ´e dada por:
EXC. = 100 × m X i=1 n X j=1 aijxj− di wi W n X j=1 xj .
Para a constru¸c˜ao dos gr´aficos dos resultados dos testes num´ericos, a varia¸c˜ao de uma vari´avel de compara¸c˜ao C de um m´etodo A em rela¸c˜ao ao m´etodo B, ´e dado pela express˜ao (CA − CB)/CB. Caso o problema vise minimizar a vari´avel C, ent˜ao se o resultado da
express˜ao ´e negativo significa que o m´etodo A ´e melhor, se ´e positivo o m´etodo B ´e melhor e se ´e zero, ambos tˆem o mesmo desempenho.