A.1 Função Γ(z) no intervalo −5 < z < 5
4.4 Sobre os resultados
de acordo com o valor de α, as partículas podem ser adsorvidas e, depois de algum tempo, dessorvidas.
Figura 4.3: Comportamento da equação (4.59), isto é, da probabilidade de sobrevivência S(t) versus t para diferentes valores de α. Por simplicidade, assumem-se φ(r) = (1/r2)δ(r− 3/2), κ′ = 1,K
γ = 1,
R = 1 e γ = 1 em unidades arbitrárias.
Para α = 0, vê-se que a taxa de sobrevivência das partículas diminui muito para um tempo muito curto e esse valor aumenta lentamente para tempos posteriores. Isso corresponde ao fato de que a taxa de adsorção das partículas na superfície da esfera é maior que a taxa de dessorção para tempos curtos e, depois de um tempo, o sistema possui uma taxa de dessorção ligeiramente maior, de maneira que uma pequena quantidade é liberada para o bulk.
Para α = 1, a taxa de sobrevivência decai mais lentamente que no caso anterior e, no intervalo de tempo analisado, não apresenta inflexão. Pode-se interpretar esse comportamento com o fato da taxa de adsorção ser maior que a de dessorção.
O último caso, α = 1/2, mostra que a taxa de sobrevivência diminui em um intervalo de tempo muito curto, mas não tanto quanto o caso α = 0. É possível observar, também, que existe um ponto de inflexão, em que a curva começa a apresentar valores crescentes. Isso mostra que, para tempos curtos, a taxa de adsorção é maior que a de dessorção, mas, depois de um tempo, essa relação se inverte, fazendo que partículas retornem ao bulk.
4.4 Sobre os resultados
Nesse capítulo, investigou-se a equação de difusão fracionária (4.1), que remete a uma equação de difusão tridimensional com simetria radial com condições de contorno integro- diferenciais (4.4). Para resolver essas equações, foram utilizados o método da transformada de Laplace e o formalismo das funções de Green. As soluções obtidas, expressões (4.66) e
4.4. Sobre os resultados
(4.67), foram dadas em termos da função de Green (4.56), que, por sua vez, é escrita em ter- mos das funções H de Fox e Mittag-Leffler. Essas funções estão conectadas diretamente com espalhamentos anômalos. Uma característica interessante analisada nesse sistema foi a taxa de sobrevivência. Essa quantidade relacionada ao sistema mostrou que, de acordo com a escolha do kernel κ(t), associado à condição de contorno (4.3), os efeitos referentes à superfície da es- fera podem apresentar diferentes tipos de comportamento, por exemplo, processos de adsorção e/ou dessorção.
Considerou-se uma distribuição de partículas normalizada, isto é, no início da dinâmica do sistema, em t = 0, o número de partículas que se encontravam no bulk e adsorvidas na superfície da esfera. A partir de uma escolha aparentemente simples para o kernel κ(t), verificou-se que, dependendo do valor da constante α associada a essa função, diferentes comportamentos para o sistema podem ser observados. A fim de analisar como o sistema se dispersa no espaço próximo à esfera, alguns gráficos foram feitos para analisar o comportamento da função de Green, já que a distribuição final de partículas ρ(r, t) é regida pelo comportamento dessa função. E com o objetivo de ilustrar como as partículas no sistema se espalham, escolheu-se α = 1/2, devido ao fato de que, para esse valor, foi observado uma maior quantidade de partículas no bulk, e foram feitos gráficos com diferentes coeficientes de difusão, Fig. (4.2).
Outro aspecto do sistema analisado foi a taxa de sobrevivência das partículas no volume. A expressão que fornece essa propriedade é dada por (4.59), que possui uma dependência do kernel κ(t), contido na função Λ(t) em (4.55). A escolha do kernel está diretamente associ- ada à condição de contorno (4.3), a qual descreve os efeitos pertinentes à superfície da esfera. Como a taxa de sobrevivência depende desses tipos de efeitos, fez-se uma análise gráfica dessa característica do sistema para diferentes valores de α, Fig. (4.3).
O sistema, portanto, pode apresentar diversos tipos de comportamentos dependendo da es- colha do kernel κ(t) na condição de contorno (4.3) pertinente aos efeitos que ocorrem na su- perfície da esfera. A escolha aqui feita mostrou que esse sistema possui uma dependência não linear no tempo dada por (4.68). Dessa forma, os comportamentos observados ao longo dessa análise são fenômenos de difusão de natureza anômala.
CAPÍTULO 5
PROCESSOS DE SORÇÃO E
DESSORÇÃO GOVERNADOS POR
EQUAÇÕES DE DIFUSÃO
FRACIONÁRIA
E
ste capítulo investigará os processos de sorção e dessorção, ou seja, será estudada a dinâmica das partículas ρ quando elas se difundem em meio às partículas Γ. O sistema pode ser comparado, por exemplo, com o caso em que dois fluidos diferentes se difundem entre si, tendo a possibilidade de ocorrer uma reação de natureza química ou física entre essas duas substâncias [89].Para descrever tal processo, considera-se que a dinâmica das partículas da substância ρ, que se encontram no volume (dinâmica no bulk), é governada por uma equação fracionária do tipo difusão com um termo de reação, o qual pode descrever processos irreversíveis, quando as par- tículas ρ são absorvidas, ou reversíveis, quando elas sofrem processos de adsorção e dessorção. Esse termo de reação apresenta uma generalização da equação cinética de primeira ordem, con- siderando efeitos de memória. A fim de constatar o comportamento anômalo da difusão em tal sistema, soluções analíticas para o desvio quadrático médio foram obtidas. Outras quantida- des de interesse, como a taxa de sobrevivência e a distribuição das partículas ρ no bulk, foram obtidas analiticamente, tendo características que descrevem o comportamento do sistema como anômalo.
O problema que está sendo tratado neste capítulo é importante devido a sua abordagem que pode descrever processos reais, como, por exemplo, o processo de difusão em células vivas e microorganismos encontrados em biologia e bioquímica [90].
5.1. Introdução ao problema
5.1 Introdução ao problema
Para começar o problema, considera-se que a densidade de partículas ρ é governada pela seguinte equação de difusão fracionária:
∂ ∂tρ(x, t) =Kγ,µ RL 0D 1−γ t ∂µ ∂|x|µρ(x, t)− ∂ ∂tΓ(x, t), (5.1)
em que Kγ,µ é o coeficiente de difusão, 0 < γ ≤ 1 e, quando γ = 1 e µ = 2, tem-se difusão
usual e, quando 0 < γ < 1 e µ = 2, tem-se o caso de subdifusão. O termo de derivada fracionária temporal é o operador de Riemann-Liouville (2.27) e a derivada fracionária espacial é considerada na representação de Riesz-Weyl, mencionada no capítulo 3, com 1 < µ ≤ 2.
A densidade de partículas sendo difundidas é representada por ρ(x, t), já que é a quantidade regida pela equação de difusão fracionária em questão. O termo Γ(x, t) está relacionado com a densidade de partículas ρ que foram sorvidas (ou aprisionadas) pelas partículas do fluido Γ. O último termo do lado direito da equação (5.1) representa o processo das partículas ρ serem sorvidas pela substância Γ, existindo a possibilidade de serem dessorvidas de volta para o bulk, assim como a possibilidade de reagirem entre si em um processo químico ou físico. Esse processo pode ser entendido de duas formas: (i) como um fenômeno difusivo em que parte da substância se torna imobilizada (as partículas ρ são absorvidas pelo fluido Γ e ficam aprisionadas), sendo que algumas partículas são somente adsorvidas e podem retornar para o bulkpor meio de um processo de dessorção; (ii) como um problema de cinética química em que a taxa de reação depende do fornecimento de um dos reagentes por meio de um processo de difusão.
Para suprir todas as características atribuídas teoricamente à taxa de variação temporal da densidade de partículas sorvidas, Γ(x, t), considera-se a seguinte equação cinética:
∂ ∂tΓ(x, t) = t Z 0 dt′kf(t− t′)ρ(x, t′)− t Z 0 dt′ kb(t− t′)Γ(x, t′) , (5.2)
em que kf(t) é a taxa de reação que ocorre no sentido de diminuir a densidade de partículas
ρ(x, t), ou seja, das partículas serem adsorvidas; e kb(t) é a taxa de reação que ocorre no sentido
de aumentar essa densidade de partículas, ou seja, das partículas que se encontram adsorvidas serem dessorvidas para o bulk.
Como visto, as taxas de reação dependem das concentrações: (i) o termo referente à taxa com que as partículas são sorvidas depende da concentração ρ(x, t) de partículas que existem para serem capturadas pela substância Γ; (ii) o termo referente à taxa com que as partículas são dessorvidasdepende da concentração Γ(x, t) de partículas que estão adsorvidas. Essa equação ainda pode ser entendida da seguinte forma: o soluto imobilizado (Γ(x, t)) é formado a uma taxa que depende da concentração do soluto que se encontra livre para se difundir (ρ(x, t)), e ele desaparece a uma taxa que depende da sua própria concentração. Essa característica