Lembre-se que se A e B s˜ao dois grupos o produto direto de A e B ´e o produto cartesiano A × B (o conjunto dos pares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B) com a opera¸c˜ao seguinte:
(a, b)(c, d) := (ac, bd).
Observe que vocˆe definiu da mesma forma a soma entre vetores: se a opera¸c˜ao for a soma, (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).
Por exemplo dado C2= {1, x} = hxi temos
C2× C2= {(1, 1), (1, x), (x, 1), (x, x)}.
Observe que C2× C2tem quatro elementos. Mais em geral, |A × B| = |A| · |B|,
pois para construir um par (a, b) temos |A| escolhas para a e |B| escolhas para b. Al´em disso, C2× C2´e abeliano, e mais em geral, se A e B s˜ao abelianos ent˜ao
A × B ´e abeliano: de fato, se (a, b), (c, d) ∈ A × B ent˜ao (a, b)(c, d) = (ac, bd) = (ca, db) = (c, d)(a, b).
Vamos mostrar que a ordem do elemento (a, b) ´e mmc(o(a), o(b)), o menor multiplo comum entre o(a) e o(b). De fato, (a, b)n = (an, bn) por defini¸c˜ao de opera¸c˜ao em A × B, logo (a, b)n = (1, 1) se e somente se an = 1 e bn = 1, isto ´e, n ´e dividido por o(a) e o(b) (por uma das propriedades da ordem de um elemento). Ent˜ao o((a, b)) (a ordem de (a, b), isto ´e, o menor inteiro positivo n tal que (a, b)n= (1, 1)) ´e o menor inteiro positivo n tal que o(a) e o(b) dividem
n, em outras palavras, o((a, b)) = mmc(o(a), o(b)).
Por exemplo se C2= {1, x} = hxi ent˜ao o((1, 1)) = 1, o((1, x)) = mmc(1, 2) =
2, o((x, 1)) = mmc(2, 1) = 2 e o((x, x)) = mmc(2, 2) = 2. Em particular C2×C2
´e um grupo de ordem |C2× C2| = |C2| · |C2| = 2 · 2 = 4 que n˜ao tem elementos
de ordem 4. Se agora C6 = hyi = {1, y, y2, y3, y4, y5} ent˜ao no grupo C2× C6
temos por exemplo o((x, y2)) = mmc(2, 3) = 6, o(x, y3) = mmc(2, 2) = 2. Os
elementos de C2× C6 s˜ao (1, 1), (1, y), (1, y2), (1, y3), (1, y4), (1, y5), (x, 1),
(x, y), (x, y2), (x, y3), (x, y4), (x, y5). As ordens s˜ao 1, 6, 3, 2, 3, 6, 2, 6, 6, 2, 6, 6.
Em particular, C2× C6´e um grupo de ordem |C2× C6| = |C2| · |C6| = 2 · 6 = 12
que n˜ao tem elementos de ordem 12.
Logo, C2× C2e C2× C6s˜ao exemplos de grupos de ordem n que n˜ao contˆem
elementos de ordem n. Ent˜ao eles n˜ao s˜ao grupos c´ıclicos (observe que um grupo c´ıclico de ordem n sempre contem elementos de ordem n, pois se Cn= hxi ent˜ao
x tem ordem n).
Para repetir: C2× C2 e C2× C6 s˜ao grupos abelianos n˜ao c´ıclicos. Observe
que ´e a primeira vez que encontramos grupos finitos abelianos n˜ao c´ıclicos. Uma pergunta natural ´e a seguinte: Cn× Cmpode ser c´ıclico? A resposta ´e sim:
Proposi¸c˜ao 11. Cn× Cm´e c´ıclico se e somente se n, m s˜ao coprimos.
Demonstra¸c˜ao. Suponha n, m coprimos, e Cn= hxi, Cm= hyi. Assim o(x) = n
e o(y) = m. A ordem do elemento (x, y) ´e o((x, y)) = mmc(o(x), o(y)) = mmc(n, m) = nm pois n, m s˜ao coprimos. Ent˜ao Cn × Cm ´e um grupo de
ordem nm que contem elementos de ordem nm, logo Cn× Cm ´e c´ıclico, em
outras palavras, Cn× Cm ∼= Cnm (dois grupos c´ıclicos da mesma ordem s˜ao
isomorfos).
Agora suponha Cn×Cmc´ıclico e por contradi¸c˜ao suponha n, m n˜ao coprimos,
em outras palavras, existe um n´umero primo p que divide n e m. Seja r = nm/p. Se (a, b) ∈ Cn×Cment˜ao an= 1 e bm= 1 (j´a vimos que se g ∈ G ent˜ao g|G|= 1
em geral). Como p divide n e m, temos que n e m dividem r, logo ar= 1 e br= 1,
ent˜ao (a, b)r= (ar, br) = (1, 1). Isso implica que o((a, b)) divide r = nm/p, em
particular o((a, b)) < nm. Como isso vale para todo elemento (a, b) de Cn× Cm,
obtemos que Cn× Cmn˜ao tem elementos de ordem nm, logo n˜ao ´e c´ıclico.
Podemos construir produtos diretos com mais fatores: se A1, . . . , Ak s˜ao
grupos, podemos construir o produto direto
A opera¸c˜ao ´e
(a1, . . . , ak)(b1, . . . , bk) = (a1b1, . . . , akbk).
O elemento neutro ´e (1, 1, . . . , 1) e o inverso de (a1, . . . , ak) ´e (a−11 , . . . , a −1 k ).
Assim podemos construir outros grupos abelianos, por exemplo C2× C2× C4× C5× C18.
Agora uma pergunta natural ´e a seguinte: ´e verdade que todo grupo abeliano finito ´e um produto direto de grupos c´ıclicos? A resposta ´e sim:
Teorema 3 (Teorema fundamental dos grupos abelianos finitos). Todo grupo abeliano finito ´e um produto direto de grupos c´ıclicos finitos.
Antes de mostrar esse teorema, vamos ver algumas consequˆencias.
Observe que A × B ∼= B × A. Mais em geral se σ ´e uma permuta¸c˜ao de {1, . . . , k} ent˜ao Aσ(1)× · · · × Aσ(k) ∼= A1× · · · × Ak.
• Quantos grupos abelianos tem de ordem 12? Como 12 = 22· 3 e |A 1×
· · · × Ak| = |A1| · · · |Ak|, as possibilidades s˜ao C12, C2× C6, C4× C3 e
C2× C2× C3. Mas observe que como vimos acima, C4× C3∼= C4·3= C12
e C2× C3 ∼= C2·3 = C6, logo C2× C2× C3 ∼= C2× C6. Isso implica que
na verdade todo grupo abeliano de ordem 12 ´e isomorfo a um entre C12 e
C2× C2× C3.
• Quantos grupos abelianos tem de ordem 70? Como 70 = 2·5·7 e |A1×· · ·×
Ak| = |A1| · · · |Ak|, a ´unica possibilidade ´e C2×C5×C7∼= C10×C7∼= C70.
Em outras palavras, todo grupo abeliano de ordem 70 ´e c´ıclico. • Quantos grupos abelianos tem de ordem 36? Como 36 = 22· 32 e |A
1×
· · ·×Ak| = |A1| · · · |Ak|, as possibilidades s˜ao C4×C9∼= C36, C2×C2×C9,
C4× C3× C3e C2× C2× C3× C3. Isso ´e tudo pois por exemplo C2× C18∼=
C2× C2× C9.
Demonstra¸c˜ao do teorema fundamental Vamos precisar do lema geral seguinte.
Lema 1 (Produto direto interno). Sejam A, B subgrupos normais de um grupo G tais que AB = G e A ∩ B = {1}. Ent˜ao G ∼= A × B.
Demonstra¸c˜ao. Seja f : A × B → G = AB definida por f ((a, b)) = ab. Vamos mostrar que se trata de um isomorfismo de grupos. ´E claro que f ´e sobrejetiva. Agora,
f ((a, b)(c, d)) = f ((ac, bd)) = acbd, f ((a, b))f ((c, d)) = abcd.
Ent˜ao para mostrar que f ´e um homomorfismo precisamos mostrar que se a, c ∈ A e b, d ∈ B ent˜ao acbd = abcd (observe que isso ´e obvio se G ´e abeliano).
Temos abcd = ac(c−1bcb−1)bd logo basta mostrar que c−1bcb−1 = 1. Mas c ∈ A, b ∈ B e A, B s˜ao subgrupos normais, logo c−1bc ∈ B e bcb−1 ∈ A, logo c−1bcb−1 ∈ A ∩ B. Mas por hip´otese A ∩ B = {1} logo c−1bcb−1= 1.
Falta mostrar que f ´e injetivo, isto ´e, que ker(f ) = {(1, 1)}. Seja (a, b) ∈ ker(f ) e mostramos que (a, b) = (1, 1). Temos f ((a, b)) = 1, isto ´e, ab = 1, ent˜ao b = a−1. Mas B 3 b = a−1 ∈ A, logo b = a−1 ∈ A ∩ B = {1}, isto ´e,
b = a−1= 1 e isso implica (a, b) = (1, 1). Agora vamos mostrar o teorema.
Lema 2. Seja G um grupo abeliano finito e seja p um divisor primo de |G|. Ent˜ao G tem elementos de ordem p.
Demonstra¸c˜ao. Indu¸c˜ao sobre |G|. Se |G| = 1 o enunciado ´e obvio, agora su- ponha |G| > 1. Se 1 6= g ∈ G tem ordem mp para algum inteiro m ent˜ao o(gm) = p, ent˜ao agora supomos que p n˜ao divida k = o(g), assim p divide
o indice |G : hgi| = |G/hgi|, e por indu¸c˜ao, como |G/hgi| = |G|/k < |G|, existe xhgi ∈ G/hgi de ordem p no quociente, assim pondo h = o(x) temos (xhgi)h= hgi ent˜ao p divide h e o(xh/p) = p.
Seja G um grupo abeliano finito, e para d um qualquer divisor de |G| seja G[d] := {g ∈ G : gd= 1}.
Observe que G[d] ≤ G: de fato 1d = 1 logo 1 ∈ G[d] e se x, y ∈ G[d] ent˜ao
(xy)d = xdyd = 1 · 1 = 1 (a igualdade (xy)d = xdyd vale s´o porque G ´e
abeliano).
Suponha que |G| = nm para inteiros n, m coprimos. Usando o lema 1, vamos mostrar que
G ∼= G[n] × G[m]. ´
E claro que G[n] e G[m] s˜ao subgrupos normais de G (em um grupo abeliano todo subgrupo ´e normal). Como n, m s˜ao coprimos existem inteiros a, b tais que na + mb = 1.
Mostramos que G[n] ∩ G[m] = {1}. Se x ∈ G[n] ∩ G[m] ent˜ao xn= 1 = xm, logo x = x1= xna+mb= (xn)a(xm)b= 1a1b= 1.
Mostramos que G[n]G[m] = G. Se g ∈ G ent˜ao g = g1 = gmb+na =
(gm)b(gn)a e o fato que gnm = g|G| = 1 implica que gm ∈ G[n] e gn ∈ G[m],
logo tamb´em (gm)b∈ G[n] e (gn)a∈ G[m].
Ent˜ao temos G[n]×G[m] ∼= G. Al´em disso, se m > 1 e n > 1 ent˜ao G[m] 6= G e G[n] 6= G pois por exemplo se o primo p divide n e n˜ao divide m (tal primo existe pois n e m s˜ao coprimos) ent˜ao G tem um elemento x de ordem p pelo lema 2, e xm6= 1 (pois p n˜ao divide m) implica que x 6∈ G[m]. Isso mostra que
G 6= G[m] e analogamente G 6= G[n].
Iterando o processo de decomposi¸c˜ao de G obtemos que G ´e um produto direto de subgrupos de ordem potˆencias de primos (porque um n´umero inteiro
que n˜ao pode ser escrito como produto de dois inteiros coprimos maiores de 1 ´e exatamente uma potˆencia de um primo), logo estamos reduzidos a mostrar o teorema no caso em que |G| = pt, onde p ´e um primo.
Supomos ent˜ao que G seja um grupo abeliano finito de ordem pt, com p primo. Vamos mostrar que G ´e um produto direto de grupos c´ıclicos, por indu¸c˜ao. Se t = 1 ent˜ao |G| = p logo G ´e c´ıclico (ent˜ao ele ´e um produto direto de grupos c´ıclicos). Agora supomos t > 1. Seja g um elemento de ordem m´axima em G, seja
F := {H ≤ G : H ∩ hgi = {1}}
e seja M um elemento maximal de F (isto ´e, se H ∈ F e M ≤ H ent˜ao M = H: um tal M existe pois F ´e uma fam´ılia finita). Se G = M hgi ent˜ao o lema 1 implica que G ∼= M × hgi e |M | < |G| logo o resultado segue por indu¸c˜ao. Supomos ent˜ao que G 6= M hgi e seja x ∈ G − M hgi de ordem m´ınima. Temos o(x) = pkcom k ≤ t (pelo teorema de Lagrange), ent˜ao temos xp∈ M hgi (sen˜ao
xp seria um elemento de G − M hgi de ordem pk−1, menor que o(x) = pk), logo
xp = ygl com y ∈ M e l inteiro positivo. Pelo teorema de Lagrange todo elemento de G tem ordem uma potˆencia de p logo o(g) = pn e lembre-se que g ´e um elemento de G de ordem m´axima, logo xpn = 1 (sen˜ao, x teria ordem ph maior que pn). Temos
1 = xpn= (xp)pn−1= (ygl)pn−1= ypn−1glpn−1,
logo glpn−1 ∈ M ∩ hgi = {1}, ent˜ao pn = o(g) divide lpn−1, isto ´e, p divide l. Escreva l = pj, assim (xg−j)p= y ∈ M , e xg−j 6∈ M pois x 6∈ M hgi. Observe que hxg−jiM ≤ G (pois ´e um produto de subgrupos normais), ent˜ao como M ´e maximal em F , hxg−jiM ∩ hgi 6= {1}. Temos ent˜ao 1 6= gk = (xg−j)uy0 para k, u ∈ Z e y0 ∈ M . Obtemos xu = gkgjuy0−1 ∈ M hgi. Suponha p|u.
Como (xg−j)p ∈ M temos (xg−j)u ∈ M logo gk = 1, logo p n˜ao divide u e
existem inteiros a, b ∈ Z com pa + ub = 1. Mas xp e xupertencem a M hgi, logo
x = x1= xpa+ub= (xp)a(xu)b∈ M hgi. Contradi¸c˜ao.
1.9
Exerc´ıcios resolvidos
1. Seja f : (R, +) → (R>0, ·) definida por f (x) := ex. Mostre que f ´e um
isomorfismo de grupos.
(a) f ´e homomorfismo: f (x + y) = ex+y= exey = f (x)f (y).
(b) f ´e injetivo: se f (x) = 1 ent˜ao ex= 1, logo x = 0. Isso mostra que ker(f ) = {0}, logo f ´e injetivo.
(c) f ´e sobrejetivo: se y ∈ R>0 seja x := loge(x). Ent˜ao f (x) = ex= y.
2. Seja n ∈ Z, n 6= 0 e seja f : Z → Z definida por f (z) := nz. Mostre que f ´e um homomorfismo injetivo. Calcule a imagem de f . f pode ser sobrejetivo?
f ´e homomorfismo pois f (x + y) = n(x + y) = nx + ny = f (x) + f (y). f ´
e injetivo pois se nz = 0 ent˜ao z = 0 (pois n 6= 0), logo ker(f ) = {0}. A imagem de f ´e {nz : z ∈ Z} = nZ ≤ Z. f ´e sobrejetivo se e somente se n = ±1.
3. Sejam X, Y conjuntos e seja f : X → Y uma fun¸c˜ao bijetiva. Mostre que Sym(X) ∼= Sym(Y ).
Sym(X) ´e o grupo das func¸c˜oes bijetivas X → X. Vamos definir um isomorfismo ϕ : Sym(X) → Sym(Y ) levando σ para f ◦ σ ◦ f−1. ´E claro que essa fun¸c˜ao ´e bem definida (composi¸c˜ao de bije¸c˜oes ´e uma bije¸c˜ao). Vamos mostrar que se trata de um isomorfismo de grupos.
(a) ϕ ´e um homomorfismo: ϕ(στ ) = f στ f−1 = f σf−1f τ f−1 = ϕ(σ)ϕ(τ ). (b) ϕ ´e injetivo: se ϕ(σ) = 1 ent˜ao f σf−1 = 1 e multiplicando a esquerda
por f−1 e a direita por f obtemos σ = f−1f = 1. Isso mostra que ker(ϕ) = {1}, logo ϕ ´e injetivo.
(c) ϕ ´e sobrejetivo. Seja τ ∈ Sym(Y ), ent˜ao τ = f (f−1τ f )f−1 = ϕ(f−1τ f ).
4. Considere R como grupo aditivo (abeliano) e Z ≤ R. Mostre que R/Z∼= S1= {a + ib ∈ C : a2+ b2= 1}.
Considere a fun¸c˜ao f : R → S1que leva t para e2πit= cos(2πt)+i sin(2πt).
Se trata de um homomorfismo pois f (t + s) = e2πi(t+s) = e2πit+2πis =
e2πite2πis = f (t)f (s). O n´ucleo ´
e dado pelos t ∈ R tais que e2πit = 1,
isto ´e, t ∈ Z, logo ker(f ) = Z. Como f ´e sobrejetivo (pois se a2+ b2 = 1
existe um n´umero real t tal que cos(t) = a e sin(t) = b), temos ent˜ao pelo teorema de isomorfismo que R/Z ∼= S1.
5. Seja G = C∗= C − {0} (grupo multiplicativo dos n´umeros complexos n˜ao nulos) e seja N = {a + ib ∈ C∗ : a2+ b2= 1}. Mostre que G/N ∼= R>0
(grupo multiplicativo dos n´umeros reais positivos).
Primeiro, vamos mostrar que f (a + ib) := a2+ b2define um homomorfismo de grupos multiplicativos C∗ → R
>0 onde C∗ ´e o grupo dos n´umeros
complexos n˜ao nulos e R>0 ´e o grupo dos n´umeros reais positivos. Temos
que
f ((a + ib)(c + id)) = f (ac − bd + i(ad + bc)) = (ac − bd)2+ (ad + bc)2 f (a + ib)f (c + id) = (a2+ b2)(c2+ d2)
s˜ao iguais. Logo, f ´e um homomorfismo, e ker(f ) = N . Como f ´e sobre- jetivo (pois se α ∈ R>0 ent˜ao α = f (
√
α)) pelo teorema de isomorfismo G/N ∼= R>0.
6. Seja G um grupo abeliano finito. Mostre que f : G → G, f (x) := x2´e um homomorfismo. Mostre que se |G| ´e impar ent˜ao f ´e um isomorfismo. f ´e homomorfismo pois f (xy) = (xy)2= xyxy = xxyy = x2y2= f (x)f (y) (sendo G abeliano). Suponha |G| impar, e mostramos que f ´e isomorfismo, isto ´e, que f ´e bijetivo. Pelo princ´ıpio da casa dos pombos (se A, B s˜ao conjuntos finitos da mesma cardinalidade, uma fun¸c˜ao A → B ´e injetiva se e somente se ´e sobrejetiva), basta mostrar que f ´e injetivo, isto ´e, ker(f ) = {1}. Seja x ∈ ker(f ) e suponha por contradi¸c˜ao x 6= 1. Temos f (x) = x2 = 1, logo o(x) = 2 (pois x 6= 1). Pelo teorema de Lagrange,
|hxi| = o(x) = 2 divide |G|, absurdo (|G| ´e impar).
7. Dado um primo p e Fp = Z/pZ, calcular a cardinalidade de S = {x2 :
x ∈ Fp}.
Considere o grupo multiplicativo G := F∗
p = Fp− {0}. Como j´a vimos
no exerc´ıcio anterior, f : G → G que leva x para x2´e um homomorfismo
pois G ´e um grupo abeliano finito. Sendo Fp um corpo, a equa¸c˜ao x2= 1
tem duas solu¸c˜oes: 1 e −1, que s˜ao diferentes se p 6= 2. Nesse caso temos ent˜ao que ker(f ) = {−1, 1} tem ordem 2. Alem disso, a imagem de f ´e C = {x2 : x ∈ G} e pelo teorema de isomorfismo C ∼= G/ ker(f ), ent˜ao
|C| = |G/ ker(f )| = |G|/| ker(f )| = (p − 1)/2.
Obtemos que |S| = |C ∪ {0}| = |C| + 1 = (p + 1)/2. Se p = 2 ent˜ao Fp= {0, 1} = S logo |S| = 2.
8. Mostre que A×B {1}×B ∼= A.
Se trata de mostrar que a fun¸c˜ao A × B → A que leva (a, b) para a ´e um homomorfismo sobrejetivo de n´ucleo {1} × B e aplicar o teorema de isomorfismo.
9. Sejam n um inteiro positivo e m um divisor positivo de n. Seja Cn =
hxi = {1, x, x2, . . . , xn−1}. Mostre que C
n/hxmi ∼= Cm.
Considere f : Cn → Cm= hxn/mi definida por f (xk) := xkn/m. Se trata
de um homomorfismo sobrejetivo de n´ucleo hxmi, logo o resultado segue
do teorema de isomorfismo.
10. Seja H um subgrupo de Sn contendo permuta¸c˜oes impares. Mostre que
|H ∩ An| = 12|H|.
J´a vimos em um outro exerc´ıcio que se H ≤ G e N E G ent˜ao HN/N ∼= H/H ∩N . Vamos aplicar esse resultado ao caso G = Sne N = An. Vamos
mostrar que HAn = Sn. Sendo obvio que HAn ⊆ Sn, vamos mostrar a
outra inclus˜ao: Sn⊆ HAn. Seja ent˜ao g ∈ Sn. Se g ∈ Anent˜ao g = 1 · g ∈
HAn, agora suponha g 6∈ An, assim sgn(g) = −1. Por hipotese, existe
h ∈ H com sgn(h) = −1, logo sgn(hg) = sgn(h)sgn(g) = (−1)(−1) = 1, assim hg ∈ An e obtemos g = h−1(hg) ∈ HAn.
Agora temos C2 ∼= Sn/An = HAn/An ∼= H/H ∩ An ent˜ao 2 = |H/H ∩
11. Conte os grupos abelianos de ordem 72.
Temos 72 = 2332e pelo teorema fundamental dos grupos abelianos finitos temos 3 grupos abelianos de ordem 8 (C8, C2× C4 e C2× C2× C2) e 2
grupos abelianos de ordem 9 (C9 e C3× C3). Logo temos 3 · 2 = 6 grupos
abelianos de ordem 72, eles s˜ao C8×C9∼= C72, C8×C3×C3, C2×C4×C9,
C2× C4× C3× C3, C2× C2× C2× C9, C2× C2× C2× C3× C3.
12. Sejam C12 = hai, C16 = hbi. Calcule a ordem de (a10, b12) no produto
direto G = C12× C16.
A ordem de (a10, b12) ´e igual ao mmc entre o(a10) e o(b12). Temos
o(a10) = o(a)/(10, o(a)) = 12/(10, 12) = 12/2 = 6 o(b12) = o(b)/(12, o(b)) = 16/(12, 16) = 16/4 = 4. Logo a ordem de (a10, b12) vale mmc(6, 4) = 12.
13. Conte os elementos de C6× C12de ordem 6.
Um elemento de ordem 6 tem a forma (x, y) onde as ordens de x e y podem ser: 1, 6 ou 2, 3 ou 2, 6 ou 3, 2 ou 3, 6 ou 6, 1 ou 6, 2 ou 6, 3 ou 6, 4 ou 6, 6. Em total temos 24 tais elementos.
Mais exerc´ıcios.
1. Seja A um grupo e seja G = A3= A × A × A. Mostre que G/(A × {1} ×
{1}) ∼= A × A.
2. Mostre que N = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ´e um subgrupo normal de S4.
3. Sejam A, B dois subgrupos normais de um grupo G, com A ⊆ B. Mostre que f : G/A → G/B definida por gA 7→ gB ´e um bem definido homo- morfismo sobrejetivo de grupos e ker(f ) = B/A. Usando o teorema de isomorfismo mostre que G/AB/A ∼= G/B.
4. Seja L um subgrupo de G/N . Mostre que existe H ≤ G tal que H ⊇ N e L ∼= H/N . [Dica: define H := {g ∈ G : gN ∈ L}.]
2
Aneis comutativos unit´arios
Um anel unit´ario ´e um conjunto A que tem duas opera¸c˜oes binarias + e · tais que
• (A, +) ´e um grupo abeliano com elemento neutro 0 e o inverso de a ´e −a. • (A, ·) ´e um monoide, isto ´e, · ´e associativa e existe um elemento neutro
• Propriedade distributiva (compatibilidade entre soma e produto): a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc para todo a, b, c ∈ A.
Um anel A ´e dito comutativo se · ´e comutativa, isto ´e, se ab = ba para todo a, b ∈ A.
Por exemplo Z, Q, R, C s˜ao aneis comutativos com as opera¸c˜oes usuais. Um outro exemplo importante de anel ´e o seguinte: o anel dos polinˆomios A[X] com soma e produto usuais, onde A ´e um anel comutativo. Um elemento generico de A[X] ´e um polinˆomio a0+ a1X + a2X2+ . . . + akXk onde a0, a1, . . . , ak ∈ A.
Existem aneis n˜ao comutativos, por exemplo o conjunto Mn×n(k) das ma-
trizes n × n sobre um dado anel k, com as opera¸c˜oes de soma e produto usuais entre matrizes, onde 0 ´e a matriz nula e 1 ´e a matriz identidade. Como em geral se A, B s˜ao duas matrizes temos AB 6= BA, o anel Mn×n(k) n˜ao ´e comutativo
se n > 1.
Nessa parte do curso vamos falar s´o de aneis comutativos. Ent˜ao nunca vamos ter problemas de especificar se estamos multiplicando a esquerda ou a direita e podemos sempre multiplicar os elementos na ordem que queremos. Al´em disso, todos os aneis e os subaneis considerados ser˜ao unit´arios (existe 1 ∈ A e 1 6= 0).
Um anel comutativo A ´e dito corpo se todo elemento a ∈ A diferente de zero admite inverso multiplicativo a−1. Por exemplo Z n˜ao ´e um corpo (pois por exemplo 2 ∈ Z mas 1/2 6∈ Z) mas Q, R e C s˜ao corpos.
Observe que se A ´e um corpo vale a regra de cancela¸c˜ao: se a, b ∈ A e ab = 0 ent˜ao a = 0 ou b = 0, de fato se a 6= 0 multiplicando por a−1 obtemos b = aba−1= 0a−1= 0 logo b = 0. Por outro lado, essa propriedade vale tamb´em em Z apesar do fato que Z n˜ao seja um corpo (se n, m ∈ Z e nm = 0 ent˜ao n = 0 ou m = 0). Um anel com essa propriedade ´e dito dom´ınio de integridade. Um dom´ınio de integridade ´e um anel comutativo A tal que se a, b ∈ A e ab = 0 ent˜ao a = 0 ou b = 0.
Para entender melhor os dom´ınios de integridade vamos introduzir mais conceitos. Se A ´e um anel unit´ario, um subanel unit´ario de A ´e um subconjunto B de A tal que B ´e um anel unit´ario (contendo 1) com as mesmas opera¸c˜oes + e · de A. Escrevemos B ≤ A. Por exemplo temos Z ≤ Q ≤ R ≤ C.
Vamos mostrar o resultado seguinte.
Teorema 4. Seja A um anel comutativo. Ent˜ao A ´e um dom´ınio de integridade se e somente se A ´e um subanel de um corpo.
Demonstra¸c˜ao. Seja A um subanel de um corpo K e sejam a, b ∈ A tais que ab = 0. Mostraremos que a = 0 ou b = 0, em outras palavras, mostraremos que
se a 6= 0 ent˜ao b = 0. Se a 6= 0 ent˜ao existe a−1∈ K (pois K ´e um corpo) logo multiplicando os dois lados de ab = 0 por a−1 obtemos b = aba−1 = 0a−1= 0.
Agora vamos mostrar a outra implica¸c˜ao, isto ´e, que se A ´e um dom´ınio de integridade ent˜ao A ´e um subanel de um corpo. Seja R := {(a, b) : a, b ∈ A, b 6= 0}. Vamos definir uma rela¸c˜ao ∼ em R da forma seguinte:
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. Se trata de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia:
1. Propriedade reflexiva. Se (a, b) ∈ R ent˜ao (a, b) ∼ (a, b) pois ab = ba (A ´e comutativo).
2. Propriedade sim´etrica. Se (a, b) ∼ (c, d) ent˜ao (c, d) ∼ (a, b). De fato, (a, b) ∼ (c, d) significa ad = bc, que implica da = cb (A sendo comutativo) logo (c, d) ∼ (a, b).
3. Propriedade transitiva. Suponha (a, b) ∼ (c, d) ∼ (e, f ), e vamos mostrar que (a, b) ∼ (e, f ), isto ´e, que af = be. Temos ad = bc e cf = de. Multiplicando os dois lados de ad = bc por e temos ade = bce e usando cf = de obtemos acf = bce, isto ´e, caf − cbe = 0 (A ´e comutativo). Isolando c temos c(af − be) = 0 (propriedade distributiva) logo se c 6= 0 ent˜ao af = be, o que queremos (pois A ´e um dom´ınio de integridade). Agora suponha c = 0. Precisamos mostrar que se ad = 0 e de = 0 ent˜ao af = be. Como d 6= 0 e A ´e um dom´ınio de integridade, ad = 0 e de = 0 implicam a = e = 0 logo af = be vale.
As classes de equivalˆencia de ∼ s˜ao [(a, b)]∼ := {(x, y) ∈ R : (x, y) ∼ (a, b)}.
O conjunto quociˆente ´e
K := R/ ∼ = {[(a, b)]∼ : (a, b) ∈ R}.
Queremos dar a K estrutura de corpo contendo uma copia do anel A.
A primeira coisa para fazer ´e usar uma nota¸c˜ao menos complicada para a classe de equivalˆencia [(a, b)]∼, vamos por
a
b := [(a, b)]∼.
Com essa nota¸c˜ao, lembrando que o que acontece em Q ´e a b + c d = ad + bc bd , a b c d:= ac bd
´e natural pegar essas igualdades como defini¸c˜ao de soma e produto em K, em outras palavras (mais formais)
Agora precisamos verificar que + e · fazem de K um corpo. No que segue lembre-se que por defini¸c˜ao de classe de equivalˆencia, [(a, b)]∼ = [(c, d)]∼ se e
somente se (a, b) ∼ (c, d), isto ´e, ab = cd se e somente se ad = bc.
1. + ´e bem definida. Se ab = xy (isto ´e, ay = bx) e dc = wz (isto ´e, cw = dz) precisamos mostrar que a
b + c d = x y + z w, isto ´e, ad+bc bd = xw+yz yw , isto ´e,
(ad + bc)yw = bd(xw + yz), que segue das propriedades comutativa do produto e distributiva e do fato que ay = bx e cw = dz.
2. · ´e bem definida. Se Se ab = xy (isto ´e, ay = bx) e cd =wz (isto ´e, cw = dz) precisamos mostrar que ab·c
d = x y· z w, isto ´e, ac bd = xz yw, em outras palavras
acyw = bdxz, o que segue da propriedade comutativa do produto e do fato que ay = bx e cw = dz.
3. (K, +) ´e um grupo abeliano com elemento neutro 01 e o inverso de ab ´e −ab (em outras palavras, −ab ´e por defini¸c˜ao −ab ).
A opera¸c˜ao + ´e associativa pois (a b + c d) + e f = ad + bc bd + e f = (ad + bc)f + bde bdf a b + ( c d+ e f) = a b + cf + de df = adf + (cf + de)b bdf
s˜ao iguais pois (ad + bc)f + bde = adf + (cf + de) pelas propriedades comutativa e distributiva de A.
4. (K, ·) ´e um monoide comutativo com elemento neutro 11. A opera¸c˜ao · ´e associativa pois a b · ( c d· e f) = a b · ce df = ace bdf = ac bd· e f = ( a b · c d) · e f. ´ E comutativa pois a b · c d = ac bd = ca db = c d· a b, sendo A comutativo.
5. A propriedade distributiva, isto ´e, o fato que ab · (c d + e f) = a b · c d + a b · e f
(podemos verificar s´o essa pois · ´e comutativo). De fato, temosab·(c d+ e f) = a b · cf +de df = a(cf +de) bdf e a b · c d + a b · e f = ac bd + ae bf = acbf +bdae bdbf s˜ao iguais pois
a(cf + de)(bdbf ) = bdf (acbf + bdae) (defini¸c˜ao de igualdade entre fra¸c˜oes). 6. Todo elemento diferente de zero tem inverso. De fato, se ab ∈ K e a
b 6=
0 = 01, isto significa que a · 1 6= b · 0, isto ´e, a 6= 0, logo ab ∈ K. Temos
a b · b a = ab ba= 1 1 sendo ab = ba.
Isso mostra que K ´e um corpo. Agora, observe que A pode ser identificado com ˜A := {a1 : a ∈ A}, que ´e um subanel de K, sendo a1 + 1b = a+b1 e
a 1· b 1 = ab 1.
O corpo K construido na prova acima ´e dito corpo de fra¸c˜oes de A e indicado com K(A). Por exemplo K(Z) = Q. Um outro exemplo ´e dado pelos polinˆomios: K(Z[X]) = Q(X), onde Q(X) ´e o anel (na verdade, corpo) das fra¸c˜oes P (X)Q(X)
onde P (X), Q(X) s˜ao polinˆomios de Q[X] e Q(X) 6= 0.
2.1
Ideais, quociˆentes, teorema de isomorfismo
Seja A um anel comutativo unit´ario. Em particular A ´e um grupo abeliano com +; seja I um subgrupo aditivo de A. Como visto no primeiro modulo, sabemos fazer o quociˆente A/I = {a + I : a ∈ A} e sabemos que se trata de um grupo aditivo abeliano com elemento neutro I = 0 + I. Observe que como visto no primeiro modulo, x + I = y + I se e somente se x − y ∈ I (lembre-se que em nota¸c˜ao multiplicativa, xN = yN se e somente se y−1xN = N , se e somente se y−1x ∈ N ). Queremos indagar as propriedades que I precisa ter para poder dar uma estrutura natural de anel a A/I. J´a temos uma opera¸c˜ao de soma em A/I, aquela do grupo quociˆente: (a + I) + (b + I) := (a + b) + I. A defini¸c˜ao natural de produto ´e (a + I)(b + I) := ab + I.
Imagine que A/I seja um anel bem definido com as opera¸c˜oes definidas acima. Lembre-se que sendo A/I um anel com zero igual a 0 + I = I, temos (a + I)(0 + I) = 0 + I para todo a ∈ A (pois r · 0 = 0 para todo r ∈ R, se R ´e um qualquer anel - de fato, pela propriedade distributiva, r·0 = r(1−1) = r−r = 0). Por outro lado x + I = 0 + I para todo x ∈ I, logo temos (a + I)(x + I) = 0 + I para todo a ∈ A, x ∈ I, em outras palavras ax + I = I para todo a ∈ A, x ∈ I, isto ´e, ax ∈ I para todo a ∈ A, x ∈ I.
Defini¸c˜ao 9. Um “ideal” de um anel A ´e um subgrupo aditivo I de A tal que ax ∈ I para todo a ∈ A, x ∈ I. Se I ´e um ideal de A escrevemos I E A.
Por exemplo, ´e facil mostrar que {0} e A s˜ao ideais de A.
Vamos mostrar que se I ´e um ideal de A ent˜ao as opera¸c˜oes (a+I)+(b+I) = (a + b) + I, (a + I)(b + I) = ab + I fazem de A/I um anel comutativo unitario com elemento neutro da soma 0 + I = I e elemento neutro do produto 1 + I. Vamos mostrar isso.
• O produto ´e bem definido. Sejam a + I = c + I (isto ´e, a − c ∈ I), b + I = d + I (isto ´e, b − d ∈ I) elementos de A/I. Queremos mostrar que (a + I)(b + I) = (c + I)(d + I), isto ´e, que o produto n˜ao depende do representante escolhido. Mas (a+I)(b+I) = ab+I e (c+I)(d+I) = cd+I, logo temos que mostrar que ab + I = cd + I, isto ´e, ab − cd ∈ I. Temos ab − cd = a(b − d) + d(a − c) ∈ I pois I ´e um ideal (em particular, grupo com +) e b − d, a − c ∈ I e a, d ∈ A. Observe que aqui usamos as duas propriedades que definem um ideal.
• O produto ´e associativo:
= (ab + I)(c + I) = ((a + I)(b + I))(c + I). • Propriedade distributiva:
(a + I)((b + I) + (c + I)) = (a + I)((b + c) + I) = a(b + c) + I = ab + ac + I = = (ab + I) + (ac + I) = (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I).
Um homomorfismo de aneis A, B ´e um homomorfismo de grupos aditivos f : A → B com as duas propriedades seguintes: f (xy) = f (x)f (y) para todo x, y ∈ A e f (1) = 1. Observe que a primeira dessas duas propriedades em geral n˜ao implica a segunda pois f (1) = f (1 · 1) = f (1)f (1) n˜ao implica f (1) = 1 se f (1) n˜ao tem inverso em A (lembre que a opera¸c˜ao de produto em um anel n˜ao ´e uma opera¸c˜ao de grupo). Um isomorfismo de aneis ´e um homomorfismo bijetivo. Se existe um isomorfismo A → B escrevemos A ∼= B.
O n´ucleo de f ´e ker(f ) := {a ∈ A : f (a) = 0} e a imagem de f ´e Im(f ) := {f (a) : a ∈ A}. J´a sabemos que f ´e injetivo se e somente se ´e injetivo como homomorfismo de grupos aditivos, e isso vale se e somente se ker(f ) = {0}.
• ker(f ) ´e um ideal de A. De fato j´a sabemos que ker(f ) ´e um subgrupo aditivo de A, e se a ∈ A e x ∈ ker(f ) logo f (ax) = f (a)f (x) = f (a)0 = 0 ent˜ao ax ∈ ker(f ).
• Im(f ) ´e um subanel de B. De fato 1 = f (1) ∈ Im(f ) e se b1, b2 ∈ Im(f )
existem a1, a2 ∈ A com f (a1) = b1 e f (a2) = b2 e b1b2 = f (a1)f (a2) =
f (a1a2) ∈ Im(f ).
Por exemplo a fun¸c˜ao π : A → A/I (proje¸c˜ao canonica) definida por π(a) := a+I ´e um homomorfismo sobrejetivo de aneis e ker(π) = I. J´a vimos no primeiro modulo que π ´e um homomorfismo de grupos aditivos e que ker(π) = I, falta mostrar que π respeita o produto e que leva 1 para 1: π(ab) = ab + I = (a + I)(b + I) = π(a)π(b) e π(1) = 1 + I.
Teorema 5 (Teorema de isomorfismo). Seja f : A → B um homomorfismo de aneis. Ent˜ao A/ ker(f ) ∼= Im(f ) (isomorfismo de aneis!).
Demonstra¸c˜ao. Seja I := ker(f ). J´a sabemos que ϕ : A/I → Im(f ) definida por ϕ(a + I) := f (a) ´e um isomorfismo de grupos aditivos (pelo teorema de isomorfismo visto no primeiro modulo). Falta mostrar que ´e um homomorfismo de aneis: temos
ϕ((a + I)(b + I)) = ϕ(ab + I) = f (ab) = f (a)f (b) = ϕ(a + I)ϕ(b + I) e ϕ(1 + I) = f (1) = 1.