Como resposta às dúvidas de George Biddell Airy sobre a existência e a forma das ondas solitárias propostas por Russel e Boussinesq, Korteweg e de Vries (KdV) apresentaram em 1895 a primeira equação para a elevação da superfície da onda que admite como solução exacta a onda solitária unidireccional descrita por (1.1) (ver Korteweg e de Vries (2011)). Os trabalhos
realizados por Fermi, Pasta e Ulam em 1955 (ver, e.g., Dauxois e Ruffo (2008)) acerca da simulação numérica de vibrações de átomos em redes cristalinas não lineares, marcaram o início de um novo campo da ciência: a Física não linear. Este problema teve uma importância crucial no desenvolvimento da teoria dos solitões. Motivados por estes trabalhos, Zabusky e Kruskal (1965) introduziram o conceito de solitão. Em particular, estes autores mostraram numericamente que as ondas solitárias da forma descrita por (1.1) eram de facto solitões para a equação KdV. Assim, um solitão é uma onda solitária com uma propriedade adicional: a menos de uma mudança de fase, a sua forma é preservada após a colisão com outro solitão. A título de exemplo, mostramos na figura 1.1 a propagação e a interacção entre dois solitões da forma do quadrado de uma secante hiperbólica. Mais especificamente, a modelação da propagação destes dois solitões é realizada por nós usando uma equação alternativa à de KdV, a qual foi apresentada por Benjamin, Bona e Mahony (BBM) em 1972 (ver Benjamin et al. (1972)). O método de elementos finitos convencional é aqui implementado para a respectiva
equação através do código DOLFWAVE (ver http://launchpad.net/dolfwave). Para mais pormenores sobre a implementação numérica deste método e sobre os valores dos parâmetros físicos utilizados na simulação dos solitões, sugerimos ao leitor para ver a demonstração dolfwave/demo/1HD1S/solitonsBBM incluída no código DOLFWAVE. Referimos ainda que a equação BBM tem melhores propriedades dispersivas e de estabilidade do que a equação KdV, como foi demonstrado por Benjamin et al. (1972).
x∗ t∗
Figura 1.1: Propagação e interacção entre dois solitões da forma do quadrado de uma secante hiperbólica modeladas pela equação adimensional BBM. As soluções numéricas são obtidas usando o código DOLFWAVE. No eixo horizontal ox∗ representamos a variável espacial, enquanto que o eixo vertical ot∗ diz respeito à evolução da solução ao longo do tempo.
De facto, a teoria desenvolvida deste então tem sido generalizada muito para além das ondas marítimas de superfície. Podemos encontrar aplicações da teoria das ondas solitárias e dos solitões, por exemplo, nas seguintes áreas da Física: dinâmica de fluidos, óptica não linear, biofísica, transferência de calor e estado sólido (ver, e.g., Zabusky e Porter (2010)).
No que segue, apresentamos alguns dos métodos matemáticos utilizados para deduzir solu- ções analíticas do tipo onda de translação de equações de evolução não lineares com derivadas parciais (EENLDP). Todos os métodos referidos a seguir são baseados na transformação de uma EENLDP numa equação diferencial ordinária (EDO) usando uma substituição adequada
(ver, e.g., Griffiths e Schiesser (2009, 2011)).
Uma EENLDP genérica pode ser escrita na forma canónica
∂ s ∂t = F s, ∂ s ∂x, ∂2s ∂t∂x, ∂3s ∂t∂x2, . . . ! . (1.9)
Considerando uma transformação de variáveis da forma s(x, t) = s(ξ), onde ξ = ξ(x, t), a equação anterior pode rescrever-se como uma EDO. No contexto das ondas de translação, utiliza-se geralmente uma transformação de Galileu dada por ξ(x, t) = x − ct, onde c é a velocidade de propagação da onda. Assim, a EDO resultante desta transformação de variáveis aplicada em (1.9) escreve-se na forma seguinte:
− cds dξ = F s, ds dξ, −c d2s dξ2, −c d3s dξ3, . . . ! . (1.10)
Neste contexto, referimos os métodos matemáticos seguintes:
• Método de integração directa: consiste na aplicação das técnicas convencionais do cálculo diferencial e integral para transformar a EDO descrita por (1.10) numa equação completamente integrável, por exemplo, numa EDO com variáveis separadas;
• Método de factorização: recorre à factorização da EDO mencionada anteriormente em vários problemas de resolução mais simples. Este método aplica-se em geral a equações com termos não lineares da forma polinomial;
• Métodos de expansão: são baseados na hipótese de que a EDO dada por (1.10) admite soluções s(ξ) que podem ser escritas como uma combinação algébrica de uma determinada classe de funções base. Mais concretamente, referimos os métodos de expansão Exp, Tanh e G0/G.
a) No método de expansão Exp, consideram-se soluções s(ξ) de (1.10) da forma seguinte: s(ξ) = l2 X n=−l1 b1ne(nξ) l4 X m=−l3 b2me(mξ) , (1.11)
onde li(i ∈ {1, 2, 3, 4}) são inteiros positivos e b1n(n ∈ {−l1, . . . , l2}) assim como
b2m(m ∈ {−l3, . . . , l4}) são coeficientes reais a determinar;
b) Por sua vez, no método de expansão Tanh as soluções s(ξ) de (1.10) são escritas do modo seguinte: s(ξ) = N X k=−N b3ktanhk(mξ), (1.12)
onde N é um inteiro positivo e m bem como b3k(k ∈ {−N, . . . , N }) são os coefici- entes reais a calcular;
c) Por último, salientamos que no método de expansão G0/G são admitidas soluções s(ξ) de (1.10) dadas por s(ξ) = N X k=−N b4k G0(ξ) G(ξ) k , (1.13)
onde G(ξ) é a solução geral de uma determinada EDO linear ou não linear. No método de expansão G0/G convencional, G(ξ) é a solução geral da EDO linear de
segunda ordem e de coeficientes constantes G00(ξ) + γG0(ξ) + %G(ξ) = 0. Em (1.13),
N é um inteiro positivo e b4k(k ∈ {−N, . . . , N }) assim como γ e % são os coeficientes reais a calcular.
Em geral, estes métodos de expansão conduzem à resolução analítica de sistemas algébricos de equações não lineares para o cálculo dos coeficientes nas expressões (1.11)-(1.13). A resolução destes sistemas de equações não lineares só é praticável recorrendo a programas computacionais de cálculo simbólico, tais como o Maple. Os inteiros positivos li(i ∈ {1, 2, 3, 4}) e N introduzidos nas equações (1.11)-(1.13) são normalmente determinados através de balanços homogéneos quer entre os termos lineares e não lineares de maior ordem da EDO em causa, quer entre os termos lineares e não lineares de menor ordem. No capítulo 5, o método de expansão G0/G é aplicado na integração de uma EDO não linear. Em particular, a técnica do
balanço homogéneo bem como a noção de ordem dos termos de uma dada EDO são descritas no capítulo referido anteriormente.
Note-se que em Kudryashov (2010) os métodos de expansão mencionados nas alíneas b) e c) foram comparados. De facto, o autor mostrou que as soluções de uma EDO não linear obtidas através do método de expansão G0/G são as mesmas do que aquelas provenientes da
aplicação do método de expansão Tanh.