BVP — “boundary value problems”.
Neste caso, ao contrário da equação (6.1), nem todas as condições são especi- ficadas num único ponto (extremo) do domínio. Isto acontece por exemplo no sistema:
u00(x) + u(x) = 0, x ∈[a,b], u ∈ R u(a) = 0
u(b) = β
Nestes casos são necessários métodos de solução distintos dos anteriores.
Exemplo 6.2: Conservação de massa, numa partícula de catalisa- dor:
Em coordenadas esféricas, num partícula de catalisador isotérmico, em estado estacionário, considerando um modelo unidimensional:
1 x d dx x 2dc dx ! = 3ϕ2r(c) (6.4) dc dx x=0 = 0; dc dx x=1 = Bim(1 − c(1)) (6.5)
NOTA:Este modelo já está adimensionalizado. Solução típica (qualitativa):
Como integrar este sistema?
Existem diferentes classes de métodos de solução, correspondentes a diferentes estratégias de solução. Como principais abordagens temos:
1. “Shooting” — integração por tentativas: conversão em problema de valor inicial(PVI) + iteração (solução de equações não-lineares).
Nota:Possível integração nos sentidos → ou ←.
Um problema frequente na aplicação dos métodos de integração por ten- tativas é o aparecimento de modos instáveis, associados a pólos instáveis (sistemas lineares). Neste caso, reverter o sentido da integração ⇔ reverter a estabilidade do sistema:
Consequentemente, os métodos de “shooting” são desapropriados quando o modelo do sistema inclui simultaneamente modos estáveis e instáveis (bastante comum).
2. Discretização ou aproximação: Nestas classes de métodos é obtida uma aproximação local, que é formulada conjuntamente para um grupo de pontos ou regiões individuais. Assim o perfil de solução completo é obtido conjuntamente, requerendo em geral a solução de um problema de maior dimensão numérica.
(a) Diferenças finitas (discretização): Aproximação de 1a
siva):
dy dx =
y(x + h) − y(x)
h + O(h) (6.6)
Podem ser usadas muitas outras aproximações, com erros de aproxima- ção distintos. A Tabela6.2lista diferentes possibilidades de escolha, e os erros de aproximação correspondentes, obtidas a partir de diversas expansões em série de Taylor.
Neste caso o domínio contínuo x ∈ [0,1] é aproximado por um conjunto finito de pontos xi = 0 + i∆x, com i = 1,2,. . . ,N . A solução exacta y(x) é substituída pelo valor da solução numérica yi(xi), obtida em cada um dos pontos anteriores.
Quais os erros deste tipo de aproximação? Em particular, se h → 0 (N → ∞), a solução numérica convergirá para a solução exacta?
• Com N %, o erro na aproximação de cada diferença finita (em cada ponto do domínio) não é necessariamente inferior!
• Existe um h (ou ∆x) óptimo para a aproximação numérica dada pela equação (6.6): ver (Oliveira,2006, p. 37).
• Consequentemente, existe um limite mínimo para o erro de solução (ou de optimização), quando este tipo de métodos é usado. Este limite depende da ordem de aproximação das diferenças finitas usadas.
Em particular ϵ = O(h2) ou ϵ = O(h4) são comuns → ver (Oliveira,
2003, p. 69).
(b) Volumes finitos (discretização): Neste método procede-se à partição do domínio em elementos de volume (zonas), considerados suficiente- mente pequenos para serem descritos como homogéneos.
Tabela 6.2 Tabela de diferenças finitas, para aproximação de várias derivadas (Hoffman,2001).
podem ser deduzidas através de 2 abordagens distintas: i. Integração espacial dos balanços diferenciais iniciais:
$ V · · ·,∂y ∂t, ∂y ∂x, · · · ! dV = 0 ⇒ dyi dt = · · · , para cada Vi
ii. Reformulação da conceptualização física: Exemplo:Permutador “double-pipe”:
• Necessário caracterizar fluxos (para métodos conservativos). • O domínio pode ser aproximado de diferentes modos, usando
grelhas adaptativas, etc. → Date (2005), p. 8.
O resultado é Ti(t), para i = 1,2, . . . ,N (coordenadas espaciais eliminadas).
3. Método dos resíduos pesados (aproximação): Ver a descrição em (Oliveira,2003, p. 70).
ϕi(t) ≡ funções de base, escolhidas pelo utilizador (e.g., polinómios). Neces- sitam serem independentes, no domínio usado.
As equações de erro integral permitem uma “escolha óptima” (segundo critérios específicos) dos coeficientes ai (Oliveira,2003, p. 70).
Resultados com adaptação da dimensão dos elementos finitos (perfil de combustão numa unidade de FCC):
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 x nCO Final Original
6.2
Exemplos de aplicação
Oliveira(2003) considera estas aplicações da optimização de modelos descritos por equações diferenciais:
1. Controlo predictivo ou MPC — “model predictive control”. Esta metodologia permite a supervisão de uma unidade, processo ou conjunto de processos, podendo ser aplicada com diversos modelos, correspondentes a níveis de
detalhe bastante distintos. A sua aplicação permite a gestão óptima de um complexo químico.
2. Optimização de catalisadores heterogéneos: aqui a distribuição não homo- génea dos centros activos em partículas de diversas geometrias permite aumentar o factor de eficiência correspondente, utilizando a mesma quan- tidade total de metal.
A estimativa de parâmetros cinéticos em sistemas descritos por equações di- ferenciais (e.g., em estado transiente, ou com variações espaciais) conduz, em geral, a problemas deste tipo.
Chambel et al.(2011) descrevem a modelação e optimização de uma unidade FCC, do tipo UOP, com um regenerador de elevada eficiência. O modelo utiliza a técnica de colocação ortogonal em elementos finitos para a descrição dos perfis espaciais deste tipo de unidades, em estado estacionário. O modelo foi implementado no sistemaGAMS, permitindo a sua utilização com um leque de funções objectivo bastante diversificado.
U.M. Ascher, R.M.M. Mattheij, R.D. Russel, Numerical Soltution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, SIAM, Philadelphia, PA (1995). L.T. Biegler, I.E. Grossmann, A.W. Westerberg, Systematic Methods of Chemical
Process Design, Prentice-Hall PTR, Upper Saddle River, NJ (1997). L.T. Biegler, Nonlinear Programming, SIAM, Philadelphia, PA (2010).
N. Blachman, “Introduction to Mathematica”, The Mathematica Conference, Bos- ton, MA (1992).
J. Bisschop, AIMMS, Optimization Modeling, Paragon Decision Technology, <http: //www.aimms.com/>, Haarlem, Holanda (2012).
A. Brooke, D. Kendrick, A. Meeraus, R. Raman, GAMS: A User’s Guide, GAMS Development Corporation, Washington, DC, E.U.A. (2005).
Center for Advanced Process Decision-making, Short Course on Optimization Modeling, Conceptual Design and Integrated Process Operations, <http://capd. cheme.cmu.edu/shortcourse/index.html>, Carnegie Mellon University, Pitts- burgh, PA, E.U.A. (2014).
Computer Aided Chemical Engineering, ISBN: 978-0-444-59505-8, Elsevier (2014). A.J.S. Chambel, J.F.P. Rocha, C.I.C. Pinheiro, N.M.C. Oliveira, “Equation Orien- ted Modelling of UOP FCC Units With High-Efficiency Regenerators”, Proc. ChemPor 2011, Caparica, Lisboa (2011).
D.S. Chen, R.G. Batson, Y. Dang, Applied Integer Programming, Modeling and Solution, J. Wiley & Sons, NY (2010).
Computers & Chemical Engineering, An International Journal of Computer Ap- plications in Chemical Engineering, <http://www.journals.elsevier.com/ computers-and-chemical-engineering/>, ISSN: 0098-1354 (2014).
I. Danaila, P. Joly, S.M. Kaber, M. Postel, An Introduction to Scientific Computing: Twelve Computational Projects Solved with MATLAB, SIAM, Philadelphia, PA (2007).
Data Science, <http://en.wikipedia.org/wiki/Data_science> (2014). DataTau, <http://www.datatau.com/> (2014)
J.E. Dennis, Jr., R.B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1983).
FICO Xpress Optimization Suite, MIP Formulations and Linearizations, <http:// www.fico.com/>, Fair Isaac Corporation, Leamington Spa, Reino Unido (2009). C.A. Floudas, Nonlinear and Mixed-Integer Optimization, Theory and Applications,
Oxford University Press, New York (1995).
C.A. Floudas, P.M. Pardalos, C.S. Adjiman, W.R. Esposito, Z.H. Gümüs, S.T. Har- ding, J.L. Klepeis, C.A. Meyer, C.A. Schweiger, Handbook of Test Problems in Local and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Ho- landa (1999).
R. Fourer, D.M. Gay, B.W. Kernighan, AMPL: A Modeling Language for Mathemati- cal Programming, 2a¯edição, Thomson Brooks/Cole, Pacific Grove, CA (2003). S.I. Gass, An Illustrated Guide to Linear Programming, McGraw-Hill, New York
(1970).
I.E. Grossmann, A.W. Westerberg, “Research Challenges in Process Systems Engineering”, AIChE J., 46(9), 1700–1703 (2000).
J.D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2a
¯edição, Marcel
Dekker, New York (2001).
R. Jackson, “Optimal Use of Mixed Catalysts for Two Successive Chemical Reacti- ons”, J. Optim. Theory Appl., 2(1), 27–39 (1968).
Karush-Kuhn-Tucker conditions, <http://en.wikipedia.org/wiki/ Karush-Kuhn-Tucker_conditions> (2014).
J. Nocedal, S.J. Wright, Numerical Optimization, 2a
¯edição, Springer Verlag, Berlin
(2006).
N.M.C. Oliveira, Optimization and Control of Chemical Processes, Proc. Workshop on Modeling and Simulation in Chemical Engineering, <http://www.eq.uc. pt/~nuno/cim2003/>, Coimbra (2003).
N.M.C. Oliveira, Prática de Computação, Imprensa da Universidade de Coimbra, Coimbra (2006).
N.M.C Oliveira, Optimização — Uma ferramenta em Engenharia e no Laboratório, Universidade de Aveiro (2013).
Chemical Engineering PanAmerican Collaboration, PASI 2011 — Process Modeling and Optimization for Energy and Sustainability, <http://cepac.cheme.cmu. edu/pasi2011/index.html> (2011)
Synthesis. II- Heat Recovery Networks”, Computers & Chemical Engineering, 7(6), 707–721, (1983).
G. Pataki, “Teaching Integer Programming Formulations Using the Traveling Salesman Problem", SIAM Review, 45(1), 116–123 (2003).
Process engineering, <http://en.wikipedia.org/wiki/Process_engineering> (2014).
S.I. Sandler, Chemical, Biochemical and Engineering Thermodynamics, 4a
¯Edição, J.
Wiley & Sons, NY (2006).
H. Selhofer, M. Olivier, T.L. Scofield, Introduction to GNU Octave, <http://math.jacobs-university.de/oliver/teaching/iub/resources/
octave/octave-intro/octave-intro.html> (2008).
N. Slack, A. Brandon-Jones, R. Johnston, Operations Management, 7a
¯ Edição,
Pearson Education, Harlow, UK (2013).
K. Sigmon, MATLAB Primer, <http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/21d-s99/ matlab-primer.html> (1992).
H.A. Taha, Operations Research, An Introduction, Pearson Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ (2007).
TOP500 Supercomputer Sites, <http://www.top500.org/lists/> (2014). M. Trick, “Formulations and Reformulations in Integer Programming”, Proc.
CPAIOR 2005, 366–379, Springer Verlag, Berlim (2005).
D.B. Wagner, Power Programming with Mathematica, The Kernel, McGraw-Hill, New York, NY (1996).
P.R. Wellin, Programming with Mathematica: An Introduction, Cambridge Univer- sity Press, Cambridge, UK (2013).
H.P. Williams, Model Building in Mathematical Programming, 4a
¯Edição, J. Wiley
& Sons, NY (1999).
W.L. Winston, Operations Research, Applications and Algorithms, 4a
¯Edição, Dux-
bury Press, Boston, MA (2003). S. Wolfram, The Mathematica Book, 5a