SOLUÇÃO NUMÉRICA

Serão descritos a seguir, quais foram os meios e a estrutura computacional utilizada para obtenção das soluções numéricas da equação governante.

Para obtenção da solução numérica, foram utilizados programas computacionais desenvolvidos em Fortran 2003 por meio do aplicativo Intel Visual Fortran 9.1, utilizando precisão quádrupla (REAL*16). O tipo de projeto para criação do programa foi o Fortran Console Application, versão release.

As simulações foram feitas em computadores do Laboratório de Experimentação Numérica (LENA-1) da Universidade Federal do Paraná. Foram utilizados dois computadores, o CFD-13 que possui processador Intel Core2Quad, com velocidade de barramento de 2.4 GHz, memória de 8GB de RAM e Windows XP 64 bits, e o CFD-8 com processador Intel Pentium IV, 3.0 GHz, 2.0 GB RAM.

Para facilitar o entendimento, a partir deste ponto as ações foram divididas em três etapas, que foram as seguintes.

3.5.1 Obtenção das soluções numéricas das variáveis de interesse

Conforme já dito em seção anterior, para cada conjunto de FI utilizada, e aí entenda-se conjunto a FI para o termo advectivo e outra para o termo difusivo, foi gerado um sistema de equações algébricas, que foram resolvidas através do método TDMA.

O programa computacional utilizado para obtenção destes valores foi Peclet_1Dp_2p2, tendo sido o programa gerado em 09-set-2008. Cujo algoritmo de solução tem, de uma forma geral, a seguinte rotina :

1) leitura dos dados de entrada (variáveis, condições de contorno, número de volumes, valor de Pe, função de interpolação utilizada, nome do arquivo de saída);

2) obtenção do tamanho dos volumes da malha;

3) cálculo dos coeficientes e termos fonte de cada volume da malha;

4) resolução do sistema de equações algébricas, obtendo a solução numérica, com o uso do método TDMA; e

5) visualização dos resultados das variáveis e erros de discretização, obtidos através da comparação da solução numérica com a solução analítica.

E finalmente, para obtenção da solução numérica final, foram assumidos ainda:

 Precisão quádrupla (REAL*16);

 O número de Peclet considerado para todos os processos de simulação foi 5;

 Para a simulação com aproximação ALFA, considerou-se o coeficiente alfa como 0,05;

 O refinamento da malha foi de ordem 3, iniciando a primeira simulação com 5 nós e a última simulação com 23.914.845 nós. Ou seja, para cada FI obteve-se a solução numérica em 15 malhas distintas;

 O processo acima foi feito para cada FI (10 no total) considerada, totalizando 150 simulações. Nesta fase foram obtidos os valores numéricos das variáveis de interesse para cada simulação feita. Isto significa que cada variável de interesse teve 15 resultados (das 15 malhas) para cada função de interpolação;

 Por meio do gerenciador de tarefas do Windows pôde-se obter o desempenho computacional durante a simulação, verificando a ocupação de memória máxima para cada simulação; e

 Através do programa Peclet_1Dp_2p2 foi possível obter o tempo de processamento de cada simulação, através da função CPU_TIME disponível na biblioteca do aplicativo Fortran/2003.

3.5.2 Obtenção das ordens e magnitudes dos erros de discretização

Após obter os valores numéricos provenientes de cada simulação, estes dados foram utilizados para obtenção das ordens aparente e efetiva do erro de discretização. Isto foi feito utilizando o estimador de Richardson, e a extrapolação de Richardson generalizada. Calculou-se ainda a magnitude do erro de discretização com a múltipla extrapolação de Richardson.

De modo prático, os valores obtidos na solução numérica foram submetidos a um programa baseado no estimador de Richardson. Com isto obtiveram-se tanto as ordens efetivas e aparentes dos erros para cada função de interpolação, assim como os valores absolutos dos erros. Este programa foi o Richardson_3p1 gerado em 12-Dez-2007.

3.5.3 Verificação do impacto do número de Peclet no erro de discretização

Para verificar o impacto do número de Peclet sobre o erro de discretização foram escolhidas três funções de interpolação (UDS, CDS-2 e QUICK4) utilizadas anteriormente, sendo uma de cada ordem do erro de truncamento.

Com isto, obtiveram-se as soluções numéricas para a variável de interesse Tc através do programa Peclet_1Dp_2p2, e as ordens e magnitudes dos erros de

discretização através do programa Richardson_3p1.

Para verificação do impacto do número de Peclet no resultado do erro de discretização, foi considerada a variação do Pe assumindo os seguintes valores: 0,01 ; 0,1 ; 1 ; 10 ; 100.

As tabelas de 3.2 a 3.7 mostram os valores analíticos de cada Pe. Reforçando que estes valores foram obtidos com o software Maple, já descrito no subitem 3.1.5, e com a estrutura computacional descrita no início deste item.

4 RESULTADOS DA EQUAÇÃO DE ADVECÇÃO-DIFUSÃO

Neste capítulo são analisados os resultados obtidos no trabalho, tendo por base os objetivos definidos anteriormente.

Apresenta-se inicialmente uma variável marginal ao trabalho, que não é foco do estudo, mas que foi acompanhada devido a sua relevância na escolha de FI`s para resolução de problemas similares ao estudado. Esta característica é o tempo computacional necessário para realização das simulações e obtenção das soluções numéricas.

Seguindo as atividades, são confrontadas as ordens obtidas na análise a priori, com as ordens obtidas após as realizações das simulações, ou seja, com as ordens obtidas a posteriori.

Na seqüência, são verificadas as magnitudes, em termos quantitativos, dos erros de discretização obtidos com a utilização das FI`s definidas. Estas ordens de magnitude são obtidas através da extrapolação de Richardson.

O próximo passo é então o de comparar as magnitudes dos erros obtidos utilizando as múltiplas extrapolações de Richardson (MER), com os erros obtidos com a extrapolação de Richardson simples.

E finalmente, verifica-se que impactos podem causar as variações do número de Peclet no erro de discretização final.