Solução do Problema Inverso

Uma análise inversa do processo de difusão térmica foi utilizada para estimar as propriedades térmicas difusividade, condutividade e calor específico de sólidos a partir de medições de transientes de temperatura.

Os problemas diretos clássicos consistem em determinar a distribuição de temperatura no interior de um corpo quando as condições iniciais e de contorno, a taxa de geração de energia e as propriedades termofísicas do meio são especificadas. Os problemas inversos de condução de calor (IHCPs) realizam exatamente o caminho contrário, determinando as condições iniciais, condições de contorno, taxas de geração de energia ou propriedades termofísicas a partir de medições de históricos de temperatura em um ou mais pontos do sólido. Diversos métodos são utilizados para obtenção das soluções inversas25_.

25 _{Como citado por Beck (1970), soluções inversas lineares podem ser obtidas usando método exato}

(Burggraf, 1964), método integral (Stolz, 1960; Sparrow, Haji-Sheikh e Lundgren, 1964; Beck, 1965; Beck, 1968) ou o método de diferenças finitas / volumes finitos (Frank, 1963; Beck e Wolf, 1965; Davies, 1966; Patankar, 1980, Patankar, 1991). A determinação da solução inversa ótima pode ser obtida através de uma série de algoritmos de programação lineares e não lineares, como apresentado por Luenberger (1984). sup sup Q T k ∇ = −

Neste trabalho a solução do problema inverso consistiu em minimizar a seguinte função objetivo: ) x ( f Min (5.6) onde (5.7)

é o vetor que contém as variáveis de busca do problema, caracterizadas no Capítulo 4 e sumarizadas na Tabela A.5. Tais variáveis de busca ou grandezas envolvidas na medição foram tratadas como parâmetros de modelagem neste Capítulo.

Para viabilização desta avaliação, a função objetivo f(x) foi tratada como uma função discreta no tempo, definida como:

(5.8)

onde t é que se comporta como uma variável discreta (sendo o incremento temporal definido pela freqüência de amostragem do sistema de medição), TE representa os

valores de temperatura observados experimentalmente e armazenados pelo sistema de medição e TSN representa os valores de temperatura obtidos pelas soluções numéricas

considerando todo o processo térmico (fornecimento de energia, difusão térmica e medição dinâmica de transientes de temperatura).

A minimização de f(x) está sujeita a restrições que são impostas para conferir consistência física aos resultados. Sendo assim, uma estimativa inicial da faixa mais provável para os valores das grandezas (variáveis do problema) possibilita uma convergência mais rápida e garante que os resultados sejam significativos do ponto de vista físico. O número de faixas e o tamanho de cada uma dependerão da quantidade de informações que se tem a respeito da grandeza e do tipo de grandeza/parâmetro (de entrada ou de saída do modelo). De acordo com o método da Seção Áurea, a faixa de

[

]

∞ = = − = t t 0 t 2 SN E(t) T (t) T ) x ( f T p abs meios p,L, , , ,P, , , ,U,FRE,k*, *,c *,L*, *] c , , k [ x = ρ τ φ Ω ε τ α ρ ε

busca é dividida em 4 pontos para os quais são realizadas as soluções numéricas diretas da equação de difusão térmica: limites máximos e mínimos de faixa de busca e dois pontos intermediários correspondentes a 38,2 % e 61,8%).

Desta forma, faz-se necessária a distinção entre os dois tipos de parâmetros envolvidos nesta modelagem. Todas as grandezas caracterizadas e avaliadas no Capítulo 4 são consideradas como parâmetros de entrada (preferencialmente), sendo que seus limites de probabilidade de existência (restrições) são avaliados em função de suas FDPs. São consideradas como parâmetros de saída do modelo (preferencialmente), as propriedades termofísicas do material: condutividade térmica (k) calor específico (cp)

massa específica (ρ) e conseqüentemente a difusividade térmica do material, α. Apesar da definição prévia de parâmetros preferenciais de entrada e de saída, o modelo determinístico está estruturado para obtenção de 1 ou mais parâmetros quaisquer da Equação (5.7) em função de todos os outros demais26.

A implementação computacional do modelo determinístico do processo de difusão térmica (baseado no método Flash Laser) foi realizada em linguagem Fortran acoplando, sob a forma de uma sub-rotina, o programa CONDUCT (Patankar, 1991) a um programa principal de Otimização que visa a minimização da função objetivo dada pela Equação (5.8).

A Figura 5.2 apresenta um fluxograma do programa desenvolvido.

Este programa foi adaptado ao Método Flash Laser por meio do ajuste de suas varáveis de busca ao comportamento das grandezas avaliadas no Capítulo 4. Tal modelo vem sendo utilizado no LMPT - CDTN, para a correção dos efeitos de tempo de pulso finito, forma de pulso, trocas térmicas, influência do sistema de medição de temperatura, além de ser a base para a propagação das incertezas associadas aos parâmetros de saída do modelo estocástico apresentado no item 5.3 deste Capítulo.

26 _{Estruturação necessária para validação e ajuste do modelo desenvolvido ao aparato experimental do}

Leitura dos Transientes Térmicos na Amostra (Dados Experimentais) Início

Leitura das Faixas de valores de cada variável de busca, aplicáveis às características do Sistema de Medição de Propriedades Termofísicas

Solução Numérica da Equação de Difusão Térmica

Satisfez o Critério de Convergência?

Comparação entre a Solução Numérica e os Transientes Térmicos Reais

Determinação das Soluções Ótimas Não

Sim Redefinição das Faixas de

cada Variável de Busca

Impressão dos valores de Propriedades Térmofísicas da Amostra

Figura 5.2 - Fluxograma de obtenção de soluções inversas ótimas do modelo determinístico proposto para o processo de difusão térmica.

O tempo necessário para a obtenção da solução numérica direta da equação de difusão térmica para cada um dos 4 pontos de busca é em média 10 s e depende do tamanho da janela de dados (instantes de tempo amostrados). Cada solução inversa exige algumas dezenas de grupos de 4 soluções diretas para cada uma das variáveis de busca até que seja alcançada a convergência da solução do problema inverso.

No documento Metodologia para avaliação de incerteza na medição de propriedades termofísicas pelo método flash laser: método de monte carlo aplicado a modelos dinâmicos de saída multivariável (páginas 115-119)