Para identificar facilmente um ponto extremo de um poliedro pertencente a um es- paço de dimensão n, precisamos de uma maneira rápida de identificar a independência linear das restrições ativas em um determinado ponto, a fim de verificar a ativação de n restrições linearmente independentes tal qual apresentado na definição de ponto extremo, cf. Definição 2.3.1.
A abordagem por translações básicas faz isso aproveitando-se das restrições de não- negatividade da forma canônica, sempre ativas na origem, e tendo esse como ponto extremo identificado. Isso proporciona um meio de caminhar por pontos extremos apenas trocando a ativação de uma restrição, basta não termos as demais restrições nulas ou já ativas para que isso seja possível. Temos uma base para o espaço em que reside o poliedro, e então, com uma translação e uma mudança de base, podemos ter novamente uma situação semelhante à original para identificarmos outros pontos extremos.
No caso de soluções básicas, vamos forçar a ativação de um conjunto de restrições, ou seja, transitar por soluções de um sistema de igualdades. Tal procedimento utiliza a identificação de bases do espaço imagem da matriz deste sistema, daí o nome solução básica, embora a solução associada possa não ser um ponto viável em relação às demais restrições. Partiremos de um formato específico de poliedro para que isto resulte, de fato, em pontos extremos.
Considere um poliedro representado no formato canônico de maximização
Ax ≤ b
x ≥ 0. (5.1.1)
Podemos ampliar o espaço de variáveis da seguinte forma
Ax+ I xf = b
Este formato de restrições é o mesmo da chamada forma padrão de um problema de Programação Linear. Esses e outros formatos constam em Bazaraa et al. [1].
Vemos que as restrições de não-negatividade ativas definem um ponto, e o número de restrições possui a dimensão do espaço estendido, o ponto x = 0 e xf = 0. Este ponto
pode ou não ser viável, dependendo das restrições. Se b = 0, isso é verdade. De fato, este ponto é um ponto extremo, inviável ou viável, pois é definido pela ativação das restrições de não negatividade, que têm posto completo.
Outro ponto extremo, inviável ou não, imediatamente identificado é o ponto x = 0,
xf = b, que é viável se b ≥ 0. Este ponto torna ativa todas as restrições de igualdade e x ≥ 0, ou
seja o número de ativações é igual à dimensão do espaço estendido pelas folgas, e com todas as restrições sendo linearmente independentes.
Veremos que outros pontos extremos podem ser encontrados, tomando um subcon- junto de colunas da matriz [A|I] diferente das referentes às folgas que seja uma base para o espaço imagem. A matriz formada por estas restrições se chama matriz básica, representada por
B. Note que pode-se substituir uma coluna I• j por qualquer coluna k tal que Ajk 6= 0 para se obter uma base. Ou seja se A não é nula, sempre existe outra base para problemas no formato abordado. Chamaremos a matriz complementar de matriz não-básica e a representaremos por N . Reorganizando o problema, e tomando o devido cuidado com a reorganização das variáveis relativas às variáveis básicas xB e não-básicas xN, temos
N xN+ BxB = b
xN, xB ≥ 0. (5.1.3)
Agora, aplicando a inversa de B às restrições de igualdade temos
B−1N xN+ I xB = B−1b
xN, xB ≥ 0. (5.1.4)
Por fim, chegamos a um novo problema linear equivalente ao anterior. Podemos tomar ¯A= B−1N, ¯b= B−1bde modo que
¯
AxN+ I xB = ¯b
xN, xB ≥ 0, (5.1.5)
onde um ponto extremo é facilmente identificado. Analogamente ao apresentado com as folgas, o ponto xN = 0 e xB= ¯b é um ponto extremo. A viabilidade dele está sujeita à não-negatividade de ¯b. Por esta solução do sistema estar atrelada a uma base, a chamamos de solução básica, que pode ser ou não ser viável. É preciso mapear qual variável j está recebendo o valor de ¯bi relativo à i-ésima restrição para obtermos o valor do ponto extremo.
Note que, no sistema original, temos guardada a transformação aplicada na identi- dade inicial,
B−1Ax+ B−1xf = B−1b
x, xf ≥ 0. (5.1.6)
Isso será importante futuramente para implementações revisadas dos métodos apre- sentados.
Ao contrário da abordagem por translações básicas, na qual se muda o sistema de coordenadas e, por consequência, os custos da função objetivo passam a ser representados por
essa transformação, o tratamento dos custos na abordagem por soluções básicas não é tão direto, visto que não houve transformação no espaço e os custos se mantêm para cada variável. Porém, os métodos que usam soluções básicas utilizam de uma abordagem chamada de custos reduzidos, para que seja de fácil identificação a variação do valor objetivo ao mudarmos o valor de uma variável mantendo as restrições de igualdade ativas.
Conforme o apresentado em (5.1.4),
xB= B−1b− B−1N xN, (5.1.7)
e reorganizando a função objetivo conforme a indexação por variáveis básicas e não-básicas, obtemos
cTx = cB TxB+ cN TxN. (5.1.8) substituindo os valores de xB definidos pela igualdade apresentada, temos
cTx = cB T(B−1b− B−1N xN) + cN TxN. (5.1.9) Denotamos v0 = cB TB−1bcomo sendo o valor objetivo do ponto identificado, e reor-
denando a equação (5.1.9), obtemos
cTx = (cN T− cB TB−1N)xN+ v
0. (5.1.10)
Tomando os custos relativos às restrições não-básicas como c0N = cN T − cB TB−1N e
os custos relativos às restrições básicas como nulos, temos um novo vetor de custos no qual é facilmente identificável a variação da função objetivo ao trocarmos de base. Este procedimento é bem direto do ponto de vista algébrico e decorre da relação de igualdade estabelecida. Porém, algebricamente, a relação dos custos reduzidos com o custo de se caminhar por uma aresta do poliedro ou cone não é muito evidente. No caso das translações básicas, isso é decorrência direta da mudança de base, sendo o custo do caminhar por um raio qualquer refletido na função objetivo pela transformação de base aplicada ao problema.
Assim, para a conveniência de se transitar por pontos extremos através de soluções básicas, podemos considerar que, para cada solução básica, existe um problema equivalente ao problema abordado, no seguinte formato
max cN TxN + v
0
s.a N xN + I xB = b xN, xB ≥ 0,
(5.1.11) onde v0 é o valor associado ao ponto xN = 0 e xB= b.