4.3.1
C´alculo dos potenciais el´etricos pelo MEC
Como dito anteriormente, a solu¸c˜ao num´erica da Equa¸c˜ao de Laplace por meio do M´etodo dos Elementos de Contorno ´e feita em cada avalia¸c˜ao da fun¸c˜ao objetivo e tamb´em para a gera¸c˜ao das medidas sint´eticas de potencial. Em ambos os casos, a Equa¸c˜ao de Laplace ´e resolvida tantas vezes quantos forem os casos de solicita¸c˜ao do protocolo de inje¸c˜ao escolhido, uma vez que as condi¸c˜oes de contorno em cada um dos casos se altera. Por meio do MEC, os valores inc´ognitos de potencial ou fluxo nos n´os funcionais do contorno externo e os valores de potencial e fluxo nos n´os funcionais da interface entre a inclus˜ao e o meio s˜ao calculados.
A Figura (4.2) apresenta a solu¸c˜ao num´erica da distribui¸c˜ao do potencial el´etrico e da densidade de corrente para 4 casos de solicita¸c˜ao referentes ao padr˜ao diametral de inje¸c˜ao de corrente el´etrica e a Figura (4.3) apresenta o mesmo para o padr˜ao adjacente. Deve-se notar que o n´umero do caso de solicita¸c˜ao se refere `as Tabelas (4.1) e (4.2), que
indicam as condi¸c˜oes de contorno para cada caso. No problema apresentado, a inclus˜ao est´a posicionada no centro do dom´ınio e possui condutividade 10 vezes maior que a con- dutividade do meio. O dom´ınio ´e circular e possui 30 unidades de comprimento (u.c.) de diˆametro. Seu contorno externo ´e discretizado com 144 elementos lineares de aproxi- madamente 0,66u.c. e a interface entre a inclus˜ao e o meio principal ´e discretizada com 55 elementos de 0,5u.c.. O c´alculo dos valores inc´ognitos em 2423 pontos do interior do dom´ınio foi feito a partir dos valores de potencial e fluxo el´etrico j´a calculados para o contorno externo e interface. Estas imagens de p´os-processamento foram geradas atrav´es do software GMSH �http://www.geuz.org/gmsh).
Figura 4.2: Distribui¸c˜ao do potencial (U) e da densidade de corrente (J) para os casos 1, 3, 6 e 8 de solicita¸c˜ao do protocolo diametral em um dom´ınio com uma inclus˜ao posicionada no centro.
Figura 4.3: Distribui¸c˜ao do potencial (U) e da densidade de corrente (J) para os casos 1, 5, 9 e 13 de solicita¸c˜ao do protocolo adjacente em um dom´ınio com uma inclus˜ao posicionada no centro.
Discuss˜ao
Embora as Figuras (4.2) e (4.3) apresentem a distribui¸c˜ao do potencial el´etrico e da densi- dade de corrente em pontos internos do dom´ınio, isto n˜ao ´e feito durante o procedimento de solu¸c˜ao do problema inverso. No MEC, os valores no dom´ınio s˜ao obtidos em uma etapa de p´os-processamento, e foram aqui inclu´ıdos com a finalidade apenas de gera¸c˜ao de tais imagens que ilustram comportamento de solu¸c˜oes t´ıpicas.
A compara¸c˜ao entre as Figuras (4.2) e (4.3) deixa claro que a densidade de corrente el´etrica gerada pelas solicita¸c˜oes do padr˜ao diametral ´e muito mais uniforme no interior do dom´ınio do que no caso do padr˜ao adjacente. Na Figura (4.3) pode-se notar que ´e m´ınima a densidade de corrente que alcan¸ca a inclus˜ao. Desta forma, os valores dos potenciais no contorno externo do dom´ınio ´e pouco afetado em rela¸c˜ao aos valores de potencial no
contorno deste dom´ınio sem tal inclus˜ao. Por este motivo, considera-se que um dos fatores que afeta a sensibilidade do protocolo ´e a distribui¸c˜ao de corrente no interior do dom´ınio.
4.3.2
C´alculo da matriz jacobiana
Al´em da solu¸c˜ao do problema direto, o M´etodo de Levenberg-Marquardt necessita tamb´em do c´alculo da matriz jacobiana. Esta pode ser aproximada por Diferen¸cas Finitas (DF) ou pelo M´etodo Semi-Anal´ıtico proposto. Um estudo comparativo entre estes dois m´etodos est´a descrito em [72].
A aproxima¸c˜ao por Diferen¸cas Finitas depende diretamente da escolha do parˆametro h, valor da perturba¸c˜ao finita nas vari´aveis de otimiza¸c˜ao. Desta forma, deve ser feito um estudo da influˆencia deste parˆametro nas derivadas das fun¸c˜oes ri em rela¸c˜ao `as n
vari´aveis de minimiza¸c˜ao x.
Para diferentes valores de h, as derivadas ∂ri/∂xj (i = 1� ...� m; j = 1� ...� n) foram
computadas e em seguida, a norma Euclidiana da diferen¸ca entre os vetores ∂R/∂xj
calculados via Diferen¸cas Finitas e m´etodo Semi-Anal´ıtico. A raz˜ao entre a norma desta diferen¸ca e a norma do respectivo vetor ∂R/∂xj obtido com o m´etodo Semi-Anal´ıtico
fornece uma medida relativa de erro, aqui representada por Ej. A seguir apresenta-se
esta compara¸c˜ao entre ambos os m´etodos para aproxima¸c˜ao da matriz jacobiana com rela¸c˜ao a um problema gen´erico.
Inicialmente, para um dom´ınio quadrado com 30 u.c. de lado com uma inclus˜ao central quadrada de 64 unidades de ´area (u.a.) dez vezes mais condutiva, foram geradas as medi- das de potencial sint´eticas segundo o protocolo diametral-referˆencia. O contorno externo foi discretizado com 200 elementos de 0� 6u.c. e o contorno da inclus˜ao com elementos de 0� 5u.c.. Para a aproxima¸c˜ao inicial representada por linha tracejada na Figura (4.4), os erro relativos Ej foram estimados. Neste caso, as vari´aveis de minimiza¸c˜ao s˜ao as 8
coordenadas dos 4 pontos de controle da spline. A Figura (4.5) apresenta os valores destes erros relativos para os diferentes valores de h testados.
Aprox. Inicial Alvo
Figura 4.4: Inclus˜ao para a qual foram geradas medidas de potencial no contorno e aproxima¸c˜ao inicial para a qual foram calculados os erros relativos Ej.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.001 0.01 0.1 Erro Relativo h ^ h E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
Figura 4.5: Influˆencia do parˆametro h no erro relativo entre as derivadas obtidas por diferen¸cas finitas e m´etodo semi-anal´ıtico.
Discuss˜ao
Pode-se observar na Figura (4.5) que, para valores de h menores que 0� 02, os erros relativos s˜ao suficientemente pequenos. Desta forma, como dado de entrada para o algoritmo de minimiza¸c˜ao, pode-se fornecer a precis˜ao do c´alculo da fun¸c˜ao objetivo com o valor de 10−5, que leva ao seguinte valor do parˆametro das diferen¸cas finitas: ˆh = √10−5 ≈
0� 00316, que est´a na regi˜ao onde os erros relativos j´a est˜ao estabilizados em rela¸c˜ao a este parˆametro.
A matriz jacobiana aproximada por diferen¸cas finitas com h = ˆh foi comparada com a matriz calculada pelo M´etodo Semi-Anal´ıtico, sendo a diferen¸ca entre as aproxima¸c˜oes
considerada satisfat´oria. Al´em disso, ambas aproxima¸c˜oes foram comparadas tamb´em em outros problemas. Desta forma, em todos os experimentos realizados com Diferen¸cas Finitas foi adotado este valor para h.