Solu¸cão da Equa¸cão da Temperatura - O Processo de Solu¸cão do Modelo Bidimensional

6.4 O Processo de Solu¸c˜ao do Modelo Bidimensional

7.1.2 Solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao da Temperatura

Tendo sido estabelecidas as estratégias para a solu¸cão da equa¸cão da energia nas dire¸cões espaciais x, y e z, é necessário estabelecer as estratégias para a solu¸cão transiente. Os métodos comumente utilizados são os métodos de diferen¸cas finitas expl´ıcito, impl´ıcito e o de Crank-Nicolson. Tendo sido utilizada a estratégia semi-Lagrangeana para a solu¸cão da equa¸cão tridimensional da temperatura, a discretiza¸cão do termo convectivo resultou em um esquema expl´ıcito para o avan¸co no tempo.

Desta forma, para avaliar o valor da temperatura no tempo n + 1, procede-se da seguinte maneira: os termos convectivo e dissipativo s˜ao avaliados no tempo n, e o termo

de condu¸cão definirá o esquema de diferen¸cas finitos empregado, podendo ser avaliado no tempo n, resultando em um esquema expl´ıcito, o tempo n + 1, resultando em um esquema impl´ıcito, ou em ambos os tempos, fazendo-se uma média entre eles, resultando em um esquema de Crank-Nicolson.

7.1.2.1 M´etodo de Diferen¸cas Finitas Expl´ıcito

Neste caso ´e usada uma aproxima¸c˜ao de diferen¸cas centradas, de segunda ordem, para o termo espacial: ∂2_T ∂z2 ≈ Tn k+1− 2Tkn+ Tk−1n (dz)2 (7.29)

Usando essa rela¸c˜ao, a equa¸c˜ao (7.8) pode ser escrita como: Ti,kn+1 = T n i,k − dt [~v · ∇T ] n i,k+ dt ρcp η ˙γ2n_i,k+ kT n

i,k+1− 2Ti,kn + Ti,k−1n

dz2

(7.30)

Para garantir a estabilidade da solu¸cão da equa¸cão (7.30), usando um esquema de diferen¸cas finitas expl´ıcito, é necessário:

M = kdt

ρcp(dz)2

≤ 1 2

(7.31)

7.1.2.2 M´etodo de Diferen¸cas Finitas Impl´ıcito

Uma técnica impl´ıcita de solu¸cão tem a vantagem de ser incondicionalmente estável para qualquer tamanho de passo no tempo [Kennedy, 1995]. Entretanto é mais caro computa- cionalmente do que o esquema expl´ıcito utilizado acima.

Como no caso expl´ıcito, se a equa¸cão é resolvida no tempo tn+1_{, então os termos de}

conveçcão e dissipa¸cão viscosa do tempo anterior podem ser adicionados como termos fonte à equa¸cão da condu¸cão.

Usando uma equa¸cão de diferen¸cas progressivas de dois pontos para a derivada tempo- ral e uma equa¸cão de diferen¸cas centradas de três pontos para a derivada espacial, tem-se:

∂2_T

∂z2 ≈

Tn+1

k+1 − 2Tkn+1+ Tk−1n+1

(dz)2 (7.32)

Substituindo essas express˜oes em (7.8) obt´em-se: T_i,kn+1= Ti,kn − dt [~v · ∇T ] n i,k+ dt ρcp η ˙γ2n_i,k+ kT n+1

i,k+1− 2Ti,kn+1+ Ti,k−1n+1

dz2

7.1 O M´etodo Semi-Lagrangeano

e rearranjando os termos, obt´em-se:

−M T_i,k+1n+1 + (1 + 2M )T_i,kn+1− M T_i,k−1n+1 − dt [~v · ∇T ]n_i,k + dt ρcp h η ˙γ2in i,k (7.34) onde M = kdt ρcp(dz)2 (7.35) Os valores desconhecidos de T em qualquer novo tempo tn+1 _{s˜ao encontrados es-}

crevendo a equa¸cão (7.34) para cada nó preenchido no modelo. Essas equa¸cões podem ser arranjadas numa matriz na forma a seguir:

ΛTn+1 = b (7.36)

onde Λ ´e uma matriz quadrada, Tn+1_{´e uma matriz coluna dos valores desconhecidos de T}

no novo tempo e b é uma matriz coluna dos antigos valores de T e termos fonte associados com os termos de conveçcão e dissipa¸cão viscosa. A equa¸cão matricial é resolvida para Tn+1 _{usando o Algoritmo de Thomas [}_{Fortuna, 2000}_].

7.1.2.3 M´etodo de Crank Nicolson Generalizado

O método de Crank Nicolson é constru´ıdo fazendo uma média entre os esquemas expl´ıcito e impl´ıcito. Se essa média for ponderada de um critério α, então o método pode ser considerado um método de Crank-Nicolson Generalizado.

Neste caso, a equa¸cão da temperatura discretizada é dada por: T_i,kn+1 = Tn i,k− dt [~v · ∇T ] n i,k+ dt ρcp [η ˙γ2_]n i,k + dt ρcp α k T n+1 i,k+1− 2Ti,kn+1+ T n+1 i,k−1 dz2 + (1 − α) k Tn i,k+1− 2Ti,kn + T n i,k−1 dz2 ! (7.37) Para α = 0 teremos o método expl´ıcito, para α = 1 teremos o método impl´ıcito, para α = 0.5 teremos o método de Crank-Nicolson. Para outros valores de α teremos o método de Crank-Nicolson Generalizado.

7.2 Considera¸c˜oes Finais

Neste cap´ıtulo foi apresentada a estratégia de solu¸cão da equa¸cão da temperatura tridimensional. O termo convectivo foi discretizado utilizando um método semi-Lagrangeano e a estratégia para a sua aproxima¸cão, em cada triângulo, também foi apresentada. A estratégia para a aproxima¸cão do termo de dissipa¸cão viscosa, cuja viscosidade para cada célula e cada camada de fluido é determinada utilizando o método de Newton, também foi

apresentada neste cap´ıtulo. O termo de condu¸cão apresenta segunda derivada com rela¸cão a z e sua discretiza¸cão determina se o método de solu¸cão da equa¸cão da temperatura é expl´ıcito, impl´ıcito ou semi-impl´ıcito (Crank-Nicolson).

O campo de distribui¸cão de temperatura é determinado para todos os volumes de con- trole que já estão cheios de fluido (dire¸cões x e y) e também nas Nz camadas determinadas

(dire¸c˜ao z).

O próximo cap´ıtulo trata da valida¸cão do método numérico implementado neste trabalho de mestrado, tanto com rela¸cão ao campo hidrodinâmico, que se relaciona com a pressão e a velocidade, à posi¸cão da superf´ıcie livre e também com rela¸cão à discretiza¸cão do termo convectivo da equa¸cão da temperatura.

Cap´ıtulo

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Valida¸c˜ao do Modelo

Neste cap´ıtulo serão validados os cálculos da equa¸cão da pressão, da velocidade e da posi¸cão da superf´ıcie livre e dos termos convectivos presentes nos modelos para a equa¸cão da temperatura em duas e três dimensões. Para validar, simultaneamente, as estratégias de solu¸cão para pressão, velocidade e posi¸cão da superf´ıcie livre desenvolvidas neste trabalho foram simulados dois problemas f´ısicos com solu¸cões anal´ıticas conhecidas, de modo a comparar os resultados. Uma terceira valida¸cão do código foi feita comparando os resultados obtidos com os resultados apresentados por Chang e Yang [Chang e Yang, 2001]. Para validar a aproxima¸cão do termo convectivos dos modelos para a equa¸cão da temperatura e a estratégia de solu¸cão, o resultado obtido neste trabalho é comparado com uma solu¸cão anal´ıtica.

8.1 Valida¸cões para os Cálculos dos Campos de Pressão,

Velocidade e Posi¸c˜ao da Superf´ıcie Livre

Analisando a equa¸cão de Hele-Shaw, tem-se que o campo de pressão é dependente da fluidez do pol´ımero, que, por sua vez, depende da viscosidade. A viscosidade é fun¸cão da temperatura e da taxa de cisalhamento, que depende da velocidade. Por outro lado, a velocidade depende do gradiente de pressão e a posi¸cão da superf´ıcie livre depende da velocidade. Portanto, nessa se¸cão serão apresentadas as valida¸cões destes três aspectos simultaneamente: o campo de pressão, o capo de velocidade e a posi¸cão da superf´ıcie livre.

No documento Simulação do processo de moldagem por injeção 2D usando malhas não estruturadas (páginas 101-106)