Ao fazer simula¸c˜oes das equa¸c˜oes de GLL fenomenol´ogicas numa rede espacial, diferentes m´etodos de discretiza¸c˜ao j´a foram testados em [124, 125], como o m´etodo de diferen¸cas finitas e o m´etodo de coloca¸c˜ao de Fourier. Para um potencial da forma
U (φ) =−1 2φ
2+1
4φ
4 (7.27)
ambos m´etodos de discretiza¸c˜ao foram testados para o caso com ru´ıdo adidivo e na ausˆencia do mesmo e, forneceram resultados muito semelhantes, maiores detalhes podem ser encontrados em [121]. Discretizamos o Laplaciano com a usual f´ormula de diferen¸cas finitas e, no caso de equa¸c˜oes com ru´ıdo aditivo, ainda empregamos transformada de Fourier r´apida. Para a vari´avel temporal utilizamos o algoritmo leap frog.
Para simular ru´ıdo branco na rede para as equa¸c˜oes de GLL com coeficiente dissipativo η1 e a uma temperatura T fazemos uso da f´ormula
ξ =p2η1T 1 √ △t 1 h3/2ζ (7.28)
onde ζ ´e um ru´ıdo Gaussiano
hζi = 0 (7.29)
ζ2 = 1 (7.30) Na nossa an´alise sobre dependˆencia (independˆencia) dos resultados com o espa¸camento
7.3. Solu¸c˜oes num´ericas das equa¸c˜oes de GLL 115 de rede, usaremos um potencial com a forma
U [φ] =−1 2m
2φ2 +λ
4φ
4 (7.31)
e usamos os seguintes parˆametros: λ = T = m = 1, η1,2 = 0, 1 dependendo do tipo
de ru´ıdo considerado (aditivo ou multiplicativo), ∆ t = 0.001, e os outros parˆametros como tamanho e n´umero de pontos da rede estar˜ao nas figuras que ser˜ao mostradas a seguir. Como mencionado anteriormente, adicionamos contratermos (M.35) ao potencial. Na Fig. 7.1 mostramos nossos resultados com e sem contratermos. Notamos que na presen¸ca de contratermos nossos resultados convergem para um mesmo valor independente do espa¸camento de rede utilizado. Por´em, um detalhe muito importante a ser mencionado
0 5 10 15 20 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ( x , t ) t N=16 N=32 N=64 0 5 10 15 20 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ( x , t ) t N=16 N=32 N=64
Figura 7.1: Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de GLL com ru´ıdo aditivo para diferentes espa¸camentos de rede: painel esquerdo sem contratermos e no direito com contratermos.
´e que as solu¸c˜oes obtidas em nossas simula¸c˜oes s˜ao independentes do espa¸camento da rede h somente no equil´ıbrio (tempos longos). Para tempos curtos, os resultados apresentam uma pequena dependˆencia com h, como mostrado na Fig 7.2. Esta dependˆencia com o espa¸camento da rede a tempos curtos acontece devido ao fato de que os contratermos usados foram calculados com uma fun¸c˜ao de parti¸c˜ao de equil´ıbrio.
Agora, vamos apresentar os resultados de nossas simula¸c˜oes para as equa¸c˜oes de GLL derivadas no contexto perturbativo para as fases sim´etrica e quebrada. Come¸camos
0 2 4 6 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 ( x , t ) t N=16 N=32 N=64
Figura 7.2: Solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de GLL com ru´ıdo aditivo para tempos curtos na presen¸ca de contratermos.
mostrando nossos resultados para a fase sim´etrica, nesta fase a equa¸c˜ao de GLL obtida tem a forma ∂2φ (x, t) ∂t2 − ∇ 2φ (x, t) + η 1φ2(x, t) ∂φ (x, t) ∂t + U ′[φ, T ] = φ (x, t) ξ 1(x, t) (7.32) onde U′[φ, T ] = m2T +λT 3!φ 3(x, t) (7.33)
e as express˜oes para mT, λT e η1s˜ao dadas no Cap.4. Como estas equa¸c˜oes foram derivadas
em teoria de perturba¸c˜ao at´eO(λ2), ficamos com uma equa¸c˜ao com ru´ıdo multiplicativo,
j´a que o ru´ıdo aditivo incluiria corre¸c˜oes de ordem λ4 como mostrado na Ref. [13].
Primeiramente reescalamos nossas quantidades por m, trabalhando em unidades de m e usamos os seguintes parˆametros: λ = 0.25, T = 10, m = 1, µ = 1, ∆t = 0, 01 e a condi¸c˜ao inicial para o valor do campo ´e igual ao ponto de inflex˜ao do potencial a T = 0. Na Fig. 7.3 mostramos o comportamento do valor esperado do campo (parˆametro de ordem) na presen¸ca dos contratermos para diferentes espa¸camentos de rede. Notamos que a dissipa¸c˜ao no limite de altas temperaturas ´e muito forte, n˜ao existindo oscila¸c˜oes do parˆametro de ordem antes da termaliza¸c˜ao, fazendo com que o campo atinja seu valor de equil´ıbrio rapidamente. No caso de dissipa¸c˜ao fraca, o termo de derivada segunda no
7.3. Solu¸c˜oes num´ericas das equa¸c˜oes de GLL 117 tempo dominaria e o parˆametro apresentaria oscila¸c˜oes pr´oximo ao equil´ıbrio.
0 100 200 300 400 500 -1 0 1 2 3 4 ( x , t ) / m mt N=16, L=16 N=32, L=16
Figura 7.3: Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de GLL para a fase sim´etrica, m ´e o parˆametro de massa da densidade Lagrangeana original.
Para a fase com quebra de simetria a equa¸c˜ao de movimento efetiva de GLL tem a forma (por simplicidade consideramos Φ = φ)
∂2φ (x, t) ∂t2 − ∇ 2φ (x, t) + η 1φ2(x, t) ∂φ (x, t) ∂t + U ′[φ, T ] = φ (x, t) ξ 1(x, t) (7.34) onde U′[φ, T ] = −λ 24 T 2 c − T2 φ + λ 6φ 3 Tc = r 24 m2 λ (7.35)
Notamos que para T < Tc os pontos de m´ınimo do potencial bare U [φ, T ] s˜ao dados por
φ20 = 1 4T 2 c 1−T 2 T2 c (7.36) j´a para T > Tc o potencial tem apenas um m´ınimo, φ0 = 0.
Novamente reescalamos nossas quantidades por m, trabalhando em unidades de m e usamos os seguintes parˆametros: λ = 0, 25, T
condi¸c˜ao inicial para o valor do campo ´e igual ao ponto de inflex˜ao do potencial a T = 0. Os contratermos s˜ao os mesmos utilizados na fase sim´etrica, pois as divergˆencias s˜ao as mesmas.
Na Fig.7.4 mostramos o resultado de nossas simula¸c˜oes para o valor esperado do campo para diferentes espa¸camentos de rede. Novamente, como a dissipa¸c˜ao no limite de altas temperaturas ´e muito forte, n˜ao ocorrem oscila¸c˜oes do parˆametro de ordem antes da termaliza¸c˜ao. Para tempos curtos ocorre uma diminui¸c˜ao do valor parˆametro de ordem. Esta dimunui¸c˜ao, conforme argumentado no in´ıcio deste cap´ıtulo, ´e devido ao ru´ıdo. No entanto, ´e importante observar que estes resultados s˜ao obtidos com uma ´unica realiza¸c˜ao de ru´ıdo. Quando uma m´edia sobre v´arias realiza¸c˜oes de ru´ıdo for feita, espera-se que este decr´escimo no parˆametro de ordem desapare¸ca completamente ou, seja muito mais fraco. Notamos, tamb´em, que o parˆametro de ordem termaliza em um valor pr´oximo do valor do m´ınimo do potencial bare para os respectivos parˆametros.
0 100 200 300 400 500 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 ( x , t ) / m mt N=16, L=16 N=32, L=16 N=64, L=16
Figura 7.4: Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de GLL para a fase quebrada.
A seguir mostramos nossos resultados obtidos com teoria de perturba¸c˜ao otimizada para a energia livre, para a massa t´ermica, e para o coeficiente dissipativo η1, nas fases