Soma de Whitney

Sejam η e µ fibrados vetoriais sobre um mesmo espa¸co base X, com dimens˜oes n e m

respectivamente. Sejam E e W os respectivos espa¸cos totais com proje¸c˜oes p : E → X

para η e q : W → X para µ. Vamos construir um novo fibrado sobre X com dimens˜ao

n+m chamado ”soma de Whitney”deη e µ, denotado por η⊕µ. Considere o subespa¸co

P deE×W definido por:

P = ^[

x∈X

(p⁻¹(x)×q⁻¹(x)) ={(e, w)∈E×W|p(e) =q(w)}

ent˜ao t :P →X, f(e, w) =p(x)(ou = q(w)) define um novo fibrado, cuja fibra sobre o pontox∈X ´e p⁻1(x)×q⁻1(x), a qual ´e isomorfa a _Rn×_Rm '_Rn+m.

Para se obter os abertos localmente triviais paraη⊕µ, sejam{Uj}j∈J e{Vi}i∈I cober-turas localmente triviais deX paraηeµrespectivamente. Ent˜ao tome a fam´ılia {U_i∩V_i}

de abertos tais queU_j∩V_i 6=∅, e comoU_j∩V_i´e subconjunto deU_j eV_i simultaneamente, segue que tal fam´ılia tamb´em ´e cobertura localmente trivial de X para η e µ, denotemos tal cobertura por {B_k}_s∈T. Ent˜ao existem homeomorfismos trivializantes

φ_s:p⁻1(B_s)→B_s×_Rn (paraη) e ψ_s:q⁻1(B_s)→B_s×_Rm (para µ)

tais que os diagramas

p⁻¹(B_s) p & & φs //_Bs×Rn p1 B_s e q⁻¹(B_s) q & & ψs //_Bs×Rm p1 B_s

s˜ao comutativos. Ent˜ao podemos definir

φs×ψs|_P∩(p−1(Bs)×q−1(Bs)):P ∩(p⁻¹(Bs)×q⁻¹(Bs)) //_∆×Rn×_Rm p1×Id//_Bs×Rn×_Rm

em que ∆ ⊂ B_s ×B_s ´e a diagonal ∆ = {(b, b)|b ∈ B_s}, que ´e homeomorfo a B_s

via qualquer proje¸c˜ao. Tais φ_s ×ψ_s s˜ao os homeomorfismos trivializantes para η ⊕µ, observando que

t⁻¹(B_s) = P ∩(p⁻¹(B_s)×q⁻¹(B_s))

Com tais ingredientes, podemos redefinir o fibrado η⊕µvia o teorema de existˆencia. De fato, notemos inicialmente que dados dois espa¸cos topol´ogicos quaisquer Y eZ, existe aplica¸c˜ao:

1.8. Soma de Whitney 15

dado por θY,Z(f, g) =f ×g. ´E f´acil ver que tal aplica¸c˜ao ´e monomorfismo de grupos. Em particular, temos θ_Rn,_Rm : H(_Rn)× H(_Rm) → H(_Rn+m) e este ´ultimo restrito a

GL(n)×GL(m) coincide com o monomorfismo:

Γ :GL(n)×GL(m)→GL(n+m) definido por: Γ(A, B) = " A 0 0 B #

Ent˜ao considere os fibrados anteriores η e µ, j´a vimos que podemos tomar uma co-bertura {U_j}_j∈J de X localmente trivial em ambos fibrados, com fun¸c˜oes de transi¸c˜ao

g_ij :U_i∩U_j →_Rn e h_ij :U_i∩U_j →_Rm. Ent˜ao basta considerar

θ_ij :U_i∩U_j //_GL(n)×GL(m) Γ //_GL(n+m)

definida por θ_ij = Γ(g_ij ×h_ij). Vejamos que tais fun¸c˜oes θ_ij satisfazem a condi¸c˜ao de compatibilidade: θ_ij(x)θ_jk(x) = Γ(g_ij, h_ij)Γ(g_jk, h_jk) = = " g_ij(x) 0 0 h_ij(x) # " g_jk(x) 0 0 h_jk(x) # = " g_ij(x)g_jk(x) 0 0 h_ij(x)h_jk(x) # = Γ(gik, h_ik) = θ_ik(x)

Ent˜ao, pelo teorema de existˆencia, existe um ´unico fibrado, a menos de equivalˆencia, com baseX, fibra_R^n+m, grupoGL(n+m), cobertura localmente trivial{U_j}_j∈J e fun¸c˜oes de transi¸c˜ao θ_ij. Tal fibrado, por defini¸c˜ao, ´e o η⊕µ e ´e equivalente ao previamente constru´ıdo (viat:P →X)

´

E usual denotar η⊕ · · · ⊕η (k vezes) porL

k

17

Cap´ıtulo 2

Variedades Diferenci´aveis

Defini¸c˜ao 2.1. Um espa¸co topol´ogico X hausdorff e de base enumer´avel ´e dito ser uma variedade de classe c^∞ de dimens˜ao n se:

1. Para todo x∈X deve existir um aberto U ⊂M, com x∈U, e um homeomorfismo

ϕ:U →V ⊂_Rn, em que V ´e um aberto de_Rⁿ (V pode ser suposto como uma bola aberta). O par (U, ϕ) ´e chamado uma carta local.

2. Dadas duas cartas locais (U, ϕ),(V, ψ) tais que U∩V 6=∅, as composi¸c˜oes ψ◦ϕ⁻1 :

ϕ(U ∩V)→ψ(U ∩V) e ϕ◦ψ⁻1 :ψ(U ∩V)→ϕ(U∩V) devem ser de classe c^∞.

Estamos interessados em variedades C^∞ que adicionalmente s˜ao compactas. Neste

caso as variedades s˜ao ditas ”fechadas”(smooth closed manifold).

Defini¸c˜ao 2.2. Se X e Y s˜ao variedades fechadas de dimens˜oes m e n respectivamente, ent˜ao uma fun¸c˜ao f :X →Y ´e dita ser diferenci´avel em x se, dadas cartas locais (U, ϕ)

e (V, ψ), x∈U e f(U)⊂V, a aplica¸c˜ao

ψ◦f ◦ϕ⁻¹ :ϕ(U)⊂_Rm ⊂ψ(V)_Rⁿ

´e diferenci´avel em ϕ(x).

Pode-se mostrar que a defini¸c˜ao acima independe das cartas escolhidas.

Defini¸c˜ao 2.3. Se f :X →Y ´e homeomorfismo C^∞ com inversa f⁻1 :Y →X tamb´em

C^∞, ent˜ao f ´e dita ser um difeomorfismo.

Note que sef :X →Y ´e homeomorfismo, obrigatoriamente as dimens˜oes deXeY s˜ao iguais. No ˆambito da teoria de variedades, duas variedades difeomorfas s˜ao consideradas ”iguais”(equivalentes).

As seguintes constru¸c˜oes nos permitem, a partir de variedades conhecidas, construir novas variedades:

(i) Soma Conexa: Sejam X e Y variedades n−dimensionais fechadas. Da defini¸c˜ao

temos que, dados x ∈ X e y ∈ Y existem abertos x ∈ U e y ∈ V de modo que

suas fronteiras ∂U e ∂V sejam homeomorfas a esfera Sn−1. Escolhe-se ent˜ao um

homeomorfismo f :∂U →∂V e considera-se o espa¸co quociente

(X−U)t(Y −V) ∼

em que a rela¸c˜ao identificap∈∂U com f(p)∈∂V. Pode-se provar que tal espa¸co

quociente admite estrutura de variedade fechada C^∞, chamada ”soma conexa”deX

com Y, denotado porX#Y. Por exemplo, veja a soma conexa de dois toros:

f

=

∂U ∂V

Figura 2.1: figura 6

(ii) Seja Mⁿ variedade fechada C^∞. Seja T : Mⁿ → Mⁿ difeomorfismo C^∞ de grau 2,

isto ´e, T ◦T = IdMn (ou seja, uma involu¸c˜ao suave) e sem pontos fixos, ou seja,

T(x)6=x ∀ x∈Mn (por exemplo, T =A:Sn→Sn, A(x) =−x).

Neste caso, temos a rela¸c˜ao de equivalˆencia em Mn que identifica x com T(x) ∀

x ∈ Mn, e por T ter grau 2 segue que a classe de equivalˆencia de x ´e {x, T(x)}.

Considere o espa¸co quociente ^Mn

∼ . Dado x = {x, t(x)} ∈ ^M

n

∼

, sendo Mn hausdorff

verifica-se que existe um abertoU deMncontendox, homeomorfo a uma bola aberta de _Rn, tal que U ∩T(U) 6=∅ (por T ser homeomorfismo ´e claro que T(U) tamb´em

´e homeomorfa a uma bola aberta de Rn) e ainda de modo que U e T(U) sejam

dom´ınios de cartas locais em torno de x e T(x) respectivamente. Prova-se ent˜ao que ^U tT(U) ∼ ´ e um aberto de ^M n ∼

contendo x, homeomorfo a uma bola aberta de

Rⁿ, o qual serve como carta local para x. Em suma, conclui-se que ^M n

∼ ´e variedade fechada C^∞ n−dimensional.

Por exemplo, considerando A : Sn → Sn, A(x) = −x, a variedade fechada

n−dimensional C^{∞ S}

n

∼

, determinada por A da maneira acima, ´e chamado ”espa¸co

projetivo n−dimensional”, denotado por _RPn.

(iii) SeMneNms˜ao variedades fechadasC^∞, ent˜aoMn×Nmtem uma estrutura natural de variedade fechadaC^∞(n+m)-dimensional, dado (x, y)∈Mn×Nm, existem duas cartas (U, ϕ) e (V, ψ) com x ∈ U e y ∈ V e ent˜ao (U ×V, ϕ×ψ) ´e carta local de

2. Variedades Diferenci´aveis 19

Observa¸c˜ao 2.1. Suponho que X seja uma variedade fechada, n-dimensional e supondo tamb´em ser conexa, sabe-se que, a menos de difeomorfismo:

(i) Se n= 0 ent˜ao X ={pt}

(ii) Se n= 1 ent˜ao X =S¹

(iii) Se n= 2 ocorre um dos seguintes casos:

(a) X =S2

(b) X =S¹×S¹, tamb´em denotado por T², chamado toro bidimensional (c) X =_RP2

(d) X ´e uma soma conexa de n c´opias de T2, n ≥ 2, e neste caso, para cada n

tem-se uma variedade distinta das demais (n˜ao difeomorfa).

(e) X ´e uma soma conexa den c´opias de _RP², e novamente quantidades de c´opias distintas resultam em variedades n˜ao difeomorfas.

(iv) Alguns exemplos de variedades fechadasC^∞tridimensionais s˜ao: S³,_RP³ ,M²×S¹, em que M² ´e qualquer variedade fechada C^∞ bidimensional. O grupo fundamental mostra que tais variedades n˜ao s˜ao difeomorfas (na verdade n˜ao tem nem o mesmo tipo de homotopia, lembre que o grupo fundamental de um produto cartesiano ´e o produto cartesiano dos grupos fundamentais). Uma classifica¸c˜ao completa das variedades fechadas C^∞ tridimensionais ainda n˜ao ´e conhecida.

(v) Se n >3 ´e par, ent˜ao produtos distintos de variedades fechadas C^∞ bidimensionais geram exemplos n˜ao difeomorfos de variedades fechadas C^∞ n−dimensionais, e se

n >4 ´e ´ımpar os mesmos produtos multiplicados por S1 geram exemplos distintos.

Em adi¸c˜ao, ∀n≥3 Sn e _RPn s˜ao exemplos distintos dos exemplos pr´evios.

No caso de n = 4 foi provado que n˜ao ´e possivel uma classifica¸c˜ao completa das variedades fechadas C^∞, e com isso ∀n≥4 o mesmo ocorre.

Teorema 2.1. [Whitney] Se Mⁿ ´e variedade fechada C^∞ ent˜ao existe um espa¸co Vⁿ ⊂

R²ⁿ(com a topologia euclidiana) que ´e difeomorfo a Mn. Em outras palavras, podemos pensar que toda variedade fechada C^∞ ´e um subespa¸co euclidiano.

Observa¸c˜ao 2.2. O resultado acima nos permite, dada variedade Mⁿ fechada e C^∞, supor que Mⁿ ⊂ _R2n. Seja p ∈ Mⁿ e seja (U, ϕ) uma carta local em torno de p, ou seja, ϕ : U ⊂ Mn ⊂ _R2n → ϕ(U) ⊂ _Rn. Ent˜ao o teorema da forma local das imers˜oes garante que ϕ⁻1 :ϕ(U)→ U ⊂ _R2n ´e uma aplica¸c˜ao C^∞ e sua derivada em cada ponto ´e injetora. Isto nos permite redefinir uma variedade fechada, n−dimensional, C^∞ da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao 2.4. Um subespa¸co euclidiano compacto X ⊂ _Rp ´e dito ser uma variedade fechada n−dimensional C^∞ (n < p) se ∀ z ∈ X existe aberto U ⊂ _Rn e aplica¸c˜ao

ϕ : U → X ⊂ _Rp tal que z ∈ ϕ(U), ϕ ´e homeomorfismo C^∞ sobre a imagem e ϕ⁰(y) : Rⁿ→_R2n ´e injetora ∀ y∈U. Tal ϕ ´e dita ser uma parametriza¸c˜ao C^∞ em torno de z.

Informalmente, X pode ser coberto por abertos de X que s˜ao imagens de

parame-triza¸c˜oesC^∞. Note que, neste contexto, pedir queX seja compacto equivale a pedir que seja limitado e fechado. A partir de agora, Mⁿ denotar´a, a menos de men¸c˜ao contr´aria,

uma variedade fechada, C^∞ e n−dimensional, e sempre que escrevermos Mⁿ ⊂ _Rp fica

subentendido que n < p.

Defini¸c˜ao 2.5. Considere Mn ⊂ _Rp e x ∈ Mn. Tome parametriza¸c˜ao C^∞ ϕ : U ⊂

Rⁿ→_Rp, com ϕ(z) = x. Com isso, como ϕ⁰(y)´e injetora ∀y∈U segue que ϕ⁰(_Rn)´e um subespa¸co vetorial de _R^p de dimens˜ao n. Tal espa¸co ´e chamado ”espa¸co tangente a Mⁿ

em x e ´e denotado por T(Mⁿ)_x.

Prova-se que tal espa¸co independe da escolha de ϕ.

Defini¸c˜ao 2.6 (Fibrado Tangente a Mn). Seja Mn ⊂ _Rp. Considere E ⊂ Mn ×_Rp

definido por

E ={(x, v)|x∈Mn e v ∈T(Mn)_x}

e defina p : E → Mn por p(x, v) = x. Ent˜ao prova-se que isso define um fibrado vetorial n−dimensional com base Mn chamado ”fibrado tangente a Mn”.

Defini¸c˜ao 2.7 (Fibrado Normal a Mⁿ). Seja Mⁿ ⊂ _Rp. Considere W ⊂ Mⁿ ×_Rp

definido por

W ={(x, v)|x∈Mⁿ e v ∈T(Mⁿ)^⊥_x}

em que T(Mn)^⊥_x ⊂ _Rp ´e o complemento ortogonal de T(Mn)_x em _Rp detectado pelo produto interno usual (euclideano). Defina q :W →Mn por q(x, v) =x. Ent˜ao prova-se que isso define um fibrado vetorial (p−n)−dimensional com base Mn chamado ”fibrado normal de Mn em _Rp”.

Observa¸c˜ao 2.3. Seja novamente Mⁿ ⊂ _Rp. Temos ent˜ao dois fibrados vetoriais sobre

Mn atr´as mencionados, o fibrado tangente, o qual denotaremos por T(Mn) ^p //_Mn e o fibrado normal que ser´a denotado por T(Mⁿ)^{⊥ q} //_Mn. Podemos ent˜ao considerar a soma de Whitney T(Mⁿ)⊕T(Mⁿ)^⊥ que j´a vimos que ´e um fibrado vetorial sobre Mⁿ. Para cada x ∈ Mⁿ a fibra em x do fibrado soma de Whitney pode ser materializada como T(Mn)_x ⊕T(Mn)^⊥_x, uma vez que a interse¸c˜ao dos dois subespa¸cos, n e (p−n)

dimensionais, ´e {^−→0} (vetor nulo de _Rp). Mas o espa¸co vetorial acima ´e, para todo x, igual a _Rp. Ora mas ent˜ao o fibrado soma de Whitney destes dois fibrados ´e equivalente ao fibrado produto Mn×_Rp p //_Mn

2.1. Os problemas da imers˜ao e do mergulho 21

2.1 Os problemas da imers˜ao e do mergulho

Novamente, Mn designar´a uma variedade fechada, n−dimensional de classe C^∞. Uma

imers˜ao f : Mn → _Rp ´e uma aplica¸c˜ao C^∞ tal que, para todo y ∈ Mn, existe

pa-rametriza¸c˜ao ϕ : U ⊂ _Rn → _Rp de tal sorte que ϕ⁰(y) : _Rn → _Rp ´e injetora.

Prova-se que tal condi¸c˜ao independe de ϕ. Prova-se ainda, que o subespa¸co vetorial

T_f(Mⁿ)_x = (f ◦ϕ)⁰(x)(_Rⁿ) de _R^p independe de ϕ.

Considere o subespa¸co P ⊂Mⁿ×_Rp definido por:

P ={(x, v)|x∈Mⁿ ev ∈T_f(Mⁿ)_x}

e p : P → Mⁿ dada por p(x, v) = x. Ent˜ao prova-se que isso define um fibrado

vetorial (p−n)−dimensional, chamado ”fibrado tangente da imers˜aof”. Analogamente, podemos definir o ”fibrado normal da imersao f”, o qual ´e fibrado vetorial cujo espa¸co total Q⊂Mn×_Rp ´e definido por

Q={(x, v)|x∈Mⁿ e v ∈Tf(Mⁿ)^⊥_x}

e sua proje¸c˜ao ´e q :Q →Mⁿ ´e definida porq(x, v) =x. Note que, todo mergulho ´e, em particular, uma imers˜ao, ent˜ao pelo teorema de Whitney (2.1) podemos supor p≤2n

e neste caso pode-se provar que,∀x∈Mn:

T_f(Mⁿ)_x⊕T_f(Mⁿ)^⊥_x =_R^p

Isso significa que, denotando o fibrado normal da imers˜aof porT_f(Mn)^⊥, e o fibrado tangente da imers˜ao f por T_f(Mn), a soma de Whitney T(Mn)_f ⊕T_f(Mn)^⊥ equivale ao fibrado produto p−dimensional com base Mn, ou seja, ´e trivial.

Observa¸c˜ao 2.4. Toda imers˜ao ´e um difeomorfismo local, tal fato decorre da forma local das imers˜oes.

Um resultado important´ıssimo, no ˆambito da teoria de imers˜oes, ´e o seguinte

Teorema 2.2. [Teorema de Imers˜ao de Whitney]Toda Mn imerge em _R2n−1

O teorema acima foi provado na d´ecada de 40. Na d´ecada de 80, um matem´atico

chamado Ralph Cohen provou uma conjectura c´elebre, melhorando o teorema acima:

Teorema 2.3. [Ralph Cohen]Toda Mn imerge em _R2n−α(n), em que α(n)´e o n´umero de

2’s (com potˆencias distintas) que participal da representa¸c˜ao bin´aria de n.

Exemplo 2.1. (i) Se n ´e uma potˆencia de 2, ent˜ao os teoremas de Ralph e Whitney coincidem.

(ii) Sen = 2m−1ent˜ao n= 1 + 2 + 22+· · ·+ 2m−1, o que implica, nesse caso que toda

Mn imerge em_R2n−m. Por exemplo, toda M15 imerge em _R26, toda M63 imerge em

No entanto, a correspondente conjectura para mergulhos (Toda Mⁿ mergulha em R^2n−α(n)+1) ainda n˜ao foi provada.

O resultado d´a origem ao chamado ”problema da imers˜ao”da seguinte maneira:

• pode-se provar que Mⁿ n˜ao imerge em _Rⁿ.

• O Teorema 2.3 garante que Mⁿ imerge em _R^2n−α(n).

• Existem exemplos deMnque n˜ao imergem em_R2n−α(n)−1 mostrando que o resultado n˜ao pode ser melhorado de maneira geral.

• Por outro lado existem Mn que mergulham, e portanto imergem, em_Rn+1 (Sn por

exemplo)

• Ent˜ao, dada Mⁿ espec´ıfica, existe m ∈ {n + 1,· · · ,2n −α(n)} de modo que Mⁿ

imerge em _R^m e n˜ao imerge em _R^m−1

Ent˜ao, dada Mn espec´ıfica, encontrar tal m ´e resolver o problema da imers˜ao para a tal Mn. O problema do mergulho ´e an´alogo, comm ∈ {n+ 1,· · · ,2n}.

Neste trabalho, na dire¸c˜ao do que J. Milnor fez para _RP^2r com r ∈ _N, ilustraremos esse problema, usando algumas variedades especais, a saber, as variedades de Dold e as variedades de Wall, com o uso de classes caracter´ısticas.

23

Cap´ıtulo 3

Cohomologia

Sejam R um anel comutativo com unidade 1 e ∆_n⊂_Rn+1, n≥0, o n−simplexo padr˜ao. Sejam C_n(X) = {f : ∆_n→X|f ´e cont´ınua }, e S_n(X, R) o R−m´odulo livre gerado pelos elementos de C_n(X), ou seja, todo elemento de S_n(X, R) ´e da forma r₁φ₁ +· · ·+r_pφ_p

(soma formal), em que 0 6= r_i ∈ R e φ_i ∈ C_n(X), 0 ≤ i ≤ p. Tal soma rigorosamente significa uma fun¸c˜ao C_n(X) → R tal que φ_i 7→ r_i 6= 0 para 0 ≤ i ≤ p e φ 7→ 0 para qualquer φ6={φ₁,· · · , φ_p}.

Existe um R−homomorfismo ∂ : S_n(X, R) → S_n−1(X, R), denominado ”operador

bordo”, que satisfaz∂ ◦∂ = 0, gerando ent˜ao um complexo de cadeias:

· · · ^∂//_{Sn+1(X, R)} ∂ //_{Sn(X, R)} ∂ //_{Sn−1(X, R)}∂ //_{· · ·}

A homologia desse complexo de cadeias ´e denominada ”homologia de X com

coefici-entes emR. Especificamente, no n´ıvel n tal homologia ´e Hn(X, R) definido por:

Hn(X, R) = ^Ker{∂ :S_n(X, R)→S_n−1(X, R)}

Img(∂ :S_n+1(X, R)→S_n(X, R)) ^=:

Z_n(X, R)

B_n(X, R)

Considere a dualiza¸c˜ao do complexo de cadeias pr´evio, ou seja, Sn(X, R) :=

hom(S_n(X, R), R) e δ:Sn(X, R)→Sn+1(X, R) definido por δ=∂#, isto ´e,δ(σ) = σ◦∂,

σ ∈ Sn(X, R). Isso define um complexo de cocadeias cuja cohomologia ´e denominada

”cohomologia deX com coeficientes em R”.

3.1 Homomorfismo induzido em homologia

Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos, f :X →Y cont´ınua, R anel comutativo com unidade e

n ≥0 natural. Ent˜ao existe R-homomorfismo f∗ :Hn(X, R) → Hn(Y, R) descrito como: inicialmente temos f_# : S_n(X, R) → S_n(Y, R) definido por f_#(σ) = f ◦σ ∀ σ ∈ C_n(X) e estendido por linearidade para S_n(X, R). Prova-se que f_#(Z_n(X, R)) ⊂ Z_n(Y, R) e

f_#(B_n(X, R)) ⊂ B_n(Y, R) (´e aplica¸c˜ao de cadeias) e portanto define, por restri¸c˜ao a

f_∗ :H_n(X, R) = ^{Zn(X, R)}

B_n(X, R) →H_n(Y, R) = ^{Zn(Y, R)}

B_n(Y, R)

Dualizando o processo acima, obtemos um R-homomorfismo f^∗ : Hn(Y, R) →

Hn(X, R). Especificamente, temos o homomorfismo transposto:

f_#^t : hom(S_n(Y, R)R) =Sⁿ(Y, R)→hom(S_n(X, R), R) = Sⁿ(X, R) isto ´e, ft

#(g) = g ◦f_#. Prova-se tamb´em que tal R−homomorfismo ´e aplica¸c˜ao de

cocadeias e portanto induz, novamente por restri¸c˜ao e quociente, o R-homomorfismo:

f^∗ :Hⁿ(Y, R)→Hⁿ(X, R).

Observa¸c˜ao 3.1. Se R ´e anel comutativo com unidade e n ≥ 0 ´e um natural fixado, ent˜ao as associa¸c˜oes:

( X 7−→ H_n(X, R); f :X →Y 7−→ f :Hn(X, R)→Hn(Y, R) e ( X 7−→ Hn(X, R); f :X →Y 7−→ f :Hn(Y, R)→Hn(X, R)

s˜ao functores, covariante e contravariante respectivamente, da categoria dos espa¸cos topol´ogicos e fun¸c˜oes cont´ınuas, na categoria dos R−m´odulos com R−homomorfismos. Observa¸c˜ao 3.2. SeM, N s˜ao R-m´odulos, existe umR−m´odulo associado, denotado por

Ext(M, N), da´ı o seguinte resultado ´e conhecido:

Hⁿ(X, R)'Hn(X, R)⊕Ext(Hn−1(X), R)

e se R ´e corpo, prova-se que Ext(Hn−1(X), R) ´e nulo e portanto Hⁿ(X, R) '

H_n(X, R). Mesmo quando R n˜ao ´e corpo, existem propriedades de Ext que torna re-lativamente simples sua computa¸c˜ao, com isso, a partir da homologia, o cˆomputo da cohomologia em cada n´ıvel n ´e uma tarefa alg´ebrica relativamente simples.

Exemplo 3.1. Se R=_Z2 (corpo), temos:

(i) Hj(_RPn)'_Z2 se 0≤j ≤n e Hj(_RPn)' {0} se j > n.

(ii) Hj(Sn)'_Z2 se j = 0 ou j =n e Hj(Sn)' {0} caso contr´ario.

No documento Imersões de variedades de Dold e de Wall em espaços euclidianos (páginas 28-38)