MOBILIDADE INTERGERACIONAL EDUCACIONAL E INTRAGERACIONAL DE RENDA NO BRASIL
3.3.1. Splines Cúbicas Naturais
Uma spline é, matematicamente, uma curva definida por dois ou mais pontos de controle. A rigor é um método de suavização que fornece funções de direcionamento úteis na modelagem de dados reais que em muitos casos não seguem um padrão de fácil de modelagem.
Em linhas gerais, o ajuste feito por uma curva típica tem como ponto de partida a formação de uma equação que representa todos os n pontos desta. A spline tem a propriedade de permitir que cada segmento tenha uma única equação sendo que o formato da curva resultante está diretamente condicionado as características dos dados.
Considerando um conjunto de dados com pontos (xk, yk) tal que 1 ≤k ≤N e x
valores crescentes. Uma spline cúbica para este conjunto é uma função S(x) que tem as seguintes propriedades:
a) Para xk ≤x≤ xk+1 a spline S(x) é uma polinomial cúbica (k = 1, N-1),
b) S(xk) = yk para k = 1,..., N e,
c) S(x) tem primeira e segunda derivadas em cada ponto de x no intervalo x1 < x
< xN.
Uma spline cúbica S(x) para o conjunto de pontos é dito natural se
S''(x1) = S''(xN) = 0. Em outras palavras, uma spline cúbica pode ser pensada como uma
coleção de polinômios cúbicos que assumem a seguinte representação:
pk(x) = akx3 + bkx2 + ckx + dk,, sendo que1≤k≤N – 1 [3.1]
5 Sobre formalização das splines ver McKinley e Levine (2008) e Whaba (1990). Um exemplo de
Onde: pk(x) é definido para xk ≤x ≤xk + 1. Todas as condições expressas até aqui podem
ser traduzidas, tendo como base a representação da equação 3.1, nas seguintes condições:
1) pk(xk) = yk, pk(xk + 1) = yk + 1 para k = 1, N - 1.
2) pk'(xk + 1) = pk + 1'(xk + 1) para k = 1, N - 2.
3) pk''(xk + 1) = pk + 1''(xk + 1) para k = 1, N - 2.
A condição de naturalidade decorre de p1''(x1) = pN - 1''(xN) = 0. Logo a spline
cúbica natural para os dados em questão é obtida da equação 3.2:
( )
1(
)
3(
)
3(
)
(
)
k k + k 1 k k k k 1 6 6 k k k k m m p x x x x x A x x B x x h h + + + = − − + − + − [3.2] Onde: hk = xk + 1-xk, k 1 ( 1 1 +1 2) 6 k k k k A y m h h + = − e k 1 ( 1 2) 6 k k k k B y m h h = − . A outra condiçãoé a de que m deve satisfazer o conjunto de equações lineares mostrados em 3.3. Dado m1
= mN = 0, tem-se: hkmk + 2(hk + hk + 1)mk + 1 + hk + 1mk + 2 = 6(µk+1 - µk ), tal que k = 1, N – 2. [3.3] Onde: 1 1 k k k k k y y µ x x + + − = − . 3.3.2. Resultados
As informações mostradas nos gráficos 2.3, 2.4 e A2.1 e A2.2 referem-se aos dados da pesquisa de 1986 a 1989. No gráfico 2.3 é mostrada uma relação, em sua grande parte, negativa e não-linear entre o Gini de capital humano e a média de anos de estudo.
Gráfico 2.3: Desigualdade de Capital Humano e Média de Anos de Estudo 1986-1989 G in i H
Natural Cubic SplineHmedio
Gini H Linear prediction
3.0535 7.1162
.2016 .2965
Fonte: Dados da pesquisa.
Em linhas gerais, tal resultado sugere que quanto menor a média de anos de escolaridade maior será a desigualdade de capital humano. O gráfico 2.3 reforça os resultados mostrados nos tópicos anteriores dado que a melhoria do índice de Gini de capital humano no Brasil ocorrido neste período veio acompanhada por um aumento da média de anos de estudo. Ademais, nos estados onde a população apresenta uma maior média de anos escolaridade menor é a desigualdade educacional.
Gráfico 2.4: Desigualdade de Capital Humano e de Renda - 1986-1989
G
in
i
H
Natural Cubic SplineGINIY
Gini H Linear prediction
.491398 .66701
.2016 .2965
Fonte: Dados da pesquisa.
Média de Anos de Estudo Gini de Capital Humano Previsor Linear Previsor Linear Gini de Renda Gini de Capital Humano
No gráfico A2.1 é mostrada a relação entre o Gini de capital humano e a relação entre estratos educacionais. A trajetória do previsor linear é inversa reforçando o caráter de desigualdade, ou seja, nos estados onde existe a menor relação entre os estratos é maior a desigualdade de capital humano.
Gráfico 2.5: Desigualdade de Capital Humano e Média de Anos de Estudo
1997-1999
G
in
iH
Natural Cubic SplineHmedio
GiniH Linear prediction
4.1082 7.6932
.1888 .2977
Fonte: Dados da Pesquisa.
Este resultado reforça, sobretudo, a idéia de que os estados com maior percentual de indivíduos no primeiro estrato educacional tendem a apresentar menos pessoas no último e, são, portanto, as áreas que apresentam maior desigualdade educacional.
Gini de Capital Humano
Previsor Linear
Gráfico 2.6: Desigualdade de Capital Humano e de Renda – 1997-1999
G
in
iH
Natural Cubic SplineGINIY
GiniH Linear prediction
.502338 .639354
.1888 .2977
Fonte: Dados da Pesquisa.
O gráfico 2.4 mostra a relação entre desigualdade de capital humano e renda. Tanto intuitivamente quanto teoricamente espera-se uma relação inversa entre estas variáveis, o que não é confirmado. O previsor linear tem um formato de “u” reforçando o caráter não-linear desta relação neste período. Contudo, o gráfico A2.2, que mostra a relação entre desigualdade de capital humano e renda per capita, sugere um ajuste mais próximo do esperado, além de apresentar uma dispersão de dados bem inferior a da relação anterior.
Gráfico 2.7: Desigualdade de Capital Humano e Média de Anos de Estudo
2001-2004
G
in
iH
Natural Cubic SplineHmedio
GiniH Linear prediction
4.4327 8.3904 .1754 .2847 Previsor Linear Gini de Renda Gini de Capital Humano
Média de Anos de Estudo Gini de
Capital Humano
Fonte: Dados da Pesquisa.
O gráfico 2.5 mostra a relação entre o Gini de capital humano e a média de anos de estudo no período 1997-1999. O previsor linear gerado indica uma relação inversa mais próxima a uma reta que a do período anterior analisado.
Em 2.6 a relação entre desigualdade de capital humano e de renda é bem mais próximo do esperado teoricamente que a do período anterior, ou seja, bem mais próxima de uma relação direta. O gráfico A2.4 mostra a relação entre o Gini de capital humano e o de renda per capita para o período em questão.
Gráfico 2.8: Desigualdade de Capital Humano e de Renda – 2001 - 2004
G
in
iH
Natural Cubic SplineGINIY
GiniH Linear prediction
.40863 .63651
.1754 .2847
Fonte: Dados da pesquisa.
No período 2001 a 2004 a relação inversa entre desigualdade de capital humano e a média de anos de estudo é confirmada como mostrado no gráfico 2.7. Vale ressaltar que o previsor linear é o que mais e aproxima de uma reta se comparado com os períodos anteriores. O gráfico A2.6 mostra a relação com a renda per capita
A relação entre capital humano e desigualdade de renda, mostrada no gráfico 2.8, referente ao período 2001 a 2004 é em sua maior parte direta e assim como nos outros períodos analisados apresenta uma grande dispersão das informações dos estados brasileiros.
De um modo geral os resultados sugerem que a relação entre a desigualdade de capital humano e as variáveis de renda é em sua grande parte não-linear. Contudo, em quase todos os períodos analisados, elas seguem o que a teoria e a intuição sugerem. Vale ressaltar que a variável renda per capita parece ter um poder de ajuste melhor que a variável Gini de renda em todos os períodos analisados. A relação entre o Gini educacional e a média de anos de estudo é negativa e claramente não-linear em todos os períodos analisados assim como a relação de freqüência entre estratos educacionais.
Gini de Renda Gini de
Capital Humano