Stat Phys 79 (1995) 347.

Neste trabalho, feito em a colabora¸c˜ao de M. J. de Oliveira e W. F. Wreszin- ski, estudamos a cadeia quˆantica com intera¸c˜oes competitivas descrita pela hamiltoniana HN(p, ∆) = − N X i=1 {SixSi+1x + ∆(S y iS y i+1+ SizSi+1z )} + p N X i=1 {Sx iSi+2x + ∆(S y iSi+2y + SizSi+2z )} (8.9)

com 0_{≤ ∆ ≤ 1 e p > 0. H}N(p, 0) descreve o modelo ANNNI cl´assico unidi-

mensional, enquanto que HN(p, 1) representa o modelo quˆantico isotr´opico.

Nossa motiva¸c˜ao principal foi investigar como as flutua¸c˜oes quˆanticas alteram os estados fundamentais cl´assicos. ´E importante enfatizar que devido `a in- tera¸c˜ao entre segundos vizinhos o m´etodo do Ansatz de Bethe n˜ao pode ser aplicado. Abordamos o problema utilizando v´arias t´ecnicas: o m´etodo de Baader e Schilling, ondas de spin e uma fun¸c˜ao de onda variacional do tipo proposto por Huse e Elser. Vamos nos concentrar nesta ´ultima.

Conforme mencionamos, o ingrediente fundamental da fun¸c˜ao de onda variacional ´e a fase cl´assica introduzida atrav´es da parte imagin´aria de ˜H (veja a eq. (7.49)). Para o antiferromagneto de Heisenberg com spin-1/2, Marshall determinou esta fase. Por´em, para a cadeia quˆantica n˜ao existe nenhuma demonstra¸c˜ao an´aloga. Neste trabalho conjecturamos que a parte imagin´aria de ˜H deve ser escolhida de tal forma que forne¸ca o estado funda- mental cl´assico.

Na cadeia cl´assica, devido `a competi¸c˜ao, aparece um ordenamento heli- coidal. Os spins cl´assicos rodam `a medida em que caminhamos ao longo da cadeia. Podemos fazer o i´esimo spin apontar para a dire¸c˜ao dada pelo ˆangulo φi usando uma base de auto-estados de Sz e escolhendo

Im H˜ 2 ! = N −1 X i=0 φiSiz . (8.10)

✲ ✻ ✠ ✻ ❅ ❅ ❅ ■ ✠ x y z φp

Figura 8.1: Representa¸c˜ao da fase de Marshall-Peierls para uma cadeia de spins com intera¸c˜oes competitivas. Note que os spins rodam de um ˆangulo φp `a medida

que caminhamos sobre o eixo z.

Para a parte real de ˜H adotamos a escolha de Huse e Elser. Portanto, ˜ H 2 = N −1 X k=0 φkSkz+ 1 2 X i,j Ki,jSizSjz (8.11)

Os ˆangulos φk s˜ao obtidos do estado fundamental do sistema de Heisen-

berg cl´assico descrito pela hamiltoniana (8.9) mas onde os Sα

i s˜ao compo-

nentes de um vetor unit´ario cl´assico. No caso isotr´opico (∆ = 1) obtemos φk= kφp , φp = cos−1

1 4p

!

, (8.12)

ou seja, o ˆangulo de rota¸c˜ao ´e constante e temos uma ordenamento helicoidal, como esquematizamos na fig. 8.1.

Cap´ıtulo 9

Conclus˜oes e perspectivas

Apresentamos nesta resenha uma vis˜ao geral das transi¸c˜oes de fase e discu- timos em detalhe trˆes abordagens complementares: campo m´edio, teoria de campos e simula¸c˜oes num´ericas . ´E importante enfatizar que, apesar dos es- tudos experimentais e te´oricos nesta ´area terem come¸cado no s´eculo passado, ainda h´a muito por fazer.

No que se refere a fenˆomenos cr´ıticos, mesmo usando as t´ecnicas de grupo de renormaliza¸c˜ao, h´a toda uma s´erie de problemas n˜ao resolvidos ligados a sistemas com um ponto de Lifshitz. Em meu trabalho com C. Mergulh˜ao mostramos como abordar o ponto de Lisfshitz (PL) utilizando teoria de cam- pos. Calculamos express˜oes gerais para os expoentes cr´ıticos que valem para PLs com qualquer valor de m (dimens˜ao do subespa¸co α), por´em s´o con- seguimos calcular at´e ordem 2-loops os diagramas de Feynman para os casos m = 2 e m = 6. Como j´a discutimos, as dificuldades t´ecnicas, devido `a falta de invariˆancia rotacional e da presen¸ca de um termo qu´artico no propagador, s˜ao enormes. Para a classe mais interessante, com m = 1, `a qual o MnP pertence, ainda n˜ao conseguimos calcular diagramas com 2-loops. Becerra e Bindilatti efetuaram medidas das raz˜oes de amplitudes cr´ıticas para o MnP e seus resultados est˜ao em desacordo com os c´alculos te´oricos. Para calcular estas raz˜oes at´e ordem ǫn_{´e necess´aria a determina¸c˜ao dos expoente at´e ordem}

ǫn+1_{. Como para o caso m = 1 os expoentes s˜ao conhecidos apenas em ordem}

ǫ, as amplitudes s´o podem ser determinadas at´e ordem ǫ0_{. Especula-se que a}

determina¸c˜ao da pr´oxima ordem perturbativa leve os resultados te´oricos mais perto dos resultados experimentais. Outro problema que apenas come¸camos a abordar ´e o c´alculo do expoente βk, que controla como o vetor de onda

a linha de segunda ordem. O problema ´e bastante complexo e envolve a renormaliza¸c˜ao de fun¸c˜oes de Green com a inser¸c˜ao do operador φ∂2

αφ que

´e renormalizado matricialmente. Pretendemos atacar este problema no se- gundo semestre de 1999. Ainda dentro da ´area de teoria de campos, estamos, em colabora¸c˜ao de Cristiane M. L. de Arag˜ao, adaptando para a teoria φ4

uma t´ecnica variacional proposta por Feynman e Kleinert para a mecˆanica quˆantica.

A ´area de simula¸c˜oes num´ericas ´e aquela com mais problemas em aberto. Entre eles, gostaria de citar o tema que abordarei no segundo semestre de 1999: o desenvolvimento de algoritmos de clusters eficientes pr´oximos de pon- tos tricr´ıticos. At´e hoje, n˜ao existe um ´unico algoritmo que funcione bem nas vizinhan¸cas de um ponto tricr´ıtico. Este fato me foi confirmado por Alan Sokal, um f´ısico matem´atico com uma enorme experiˆencia na ´area de sim- ula¸c˜oes num´ericas. As causas deste problema n˜ao s˜ao conhecidas. Faremos este estudo no contexto de um dos modelos mais simples que apresentam pontos tricr´ıticos: o modelo de Blume-Capel. Outro problema que vale a pena mencionar ´e o desenvolvimento de algoritmos de clusters para estudar fases complexas, como por exemplo a fase quadrupolar no modelo BEG ou as fases moduladas do modelo ANNNI. A pergunta que se coloca ´e a seguinte:

´

E poss´ıvel construir clusters para simular fases com estruturas complexas ou estes algoritmos servem apenas para estudar transi¸c˜oes entre fases simples, tais como a (anti)ferromagn´etica e a paramagn´etica? Outra quest˜ao interes- sante ´e o desenvolvimento de uma teoria geral para os algoritmos de clusters. Atualmente a constru¸c˜ao destes algoritmos ´e feita caso a caso de forma arte- sanal, e uma vez pronto ´e imposs´ıvel prever sem um teste no computador se o algoritmo ser´a eficiente ou n˜ao. Os problemas que citei s˜ao bastante ricos e fornecer˜ao material de pesquisa suficiente para os pr´oximos anos.

Gostaria de terminar esta resenha escolhendo dentro de cada uma das trˆes abordagens apresentadas a contribui¸c˜ao que considero mais importante. • Campo M´edio - ´E surpreendente que se possa fazer algo original em campo m´edio, que v´a al´em da aplica¸c˜ao de uma das v´arias t´ecnicas ex- istentes. Nosso trabalho sobre a equivalˆencia entre diferentes expans˜oes de Landau aborda a t´ecnica em si, mostrando a equivalˆencia entre duas abordagens superficialmente bem diferentes. Este era um problema que esperava por uma solu¸c˜ao j´a h´a algum tempo.

• Teoria de Campos - Sem d´uvida alguma a minha grande contribui¸c˜ao para esta ´area foram os dois trabalhos sobre o tratamento do ponto de

Lifshitz utilizando teoria de campos. Para calcular os expoentes cr´ıticos associados a este ponto multi-cr´ıtico tivemos de analisar a estrutura de renormaliza¸c˜ao do hamiltoniano proposto por Hornreich e colabo- radores. Devido a falta de invariˆancia rotacional e de um termo qu´artico no propagador, nenhuma das t´ecnicas usuais de teoria de campos pode ser empregada diretamente. Tudo teve de ser adaptado. Nossa an´alise vale em todas as ordens de perturba¸c˜ao e pˆos fim a um problema que perdurava h´a mais de vinte anos: a existˆencia de resultados conflitantes para as corre¸c˜oes de ordem ǫ2 _{dos expoentes cr´ıticos. Para resolver qual}

aproxima¸c˜ao era correta resolvemos o problema exatamente.

• Simula¸c˜oes Num´ericas - Provavelmente o trabalho mais original que j´a fiz at´e hoje foi o desenvolvimento do algoritmo de cluster para o modelo BEG. Descobrimos uma dinˆamica capaz de eliminar a desacel- era¸c˜ao cr´ıtica em transi¸c˜oes de segunda ordem e a metaestabilidade em transi¸c˜oes de primeira ordem. Este ´ultimo efeito permite eliminar efeitos de histerese e consequentemente determinar a posi¸c˜ao de lin- has de primeira ordem com grande precis˜ao. A possibilidade de criar dinˆamicas artificiais que n˜ao sofram efeitos de metaestabilidade ´e um assunto fascinante ao qual me dedicarei nos pr´oximos anos.

Finalmente, para terminar, ´e preciso dizer que a escolha acima n˜ao significa que os outros trabalhos n˜ao sejam importantes ou originais. Simplesmente destaquei os que considero mais interessantes.