2.2 As Figuras Impossíveis
3.2.3 Subindo e Descendo
Assim como na obra Queda de Água, Subindo e Descendo (fig. 48), litografia de 1960, é inspirada em outra figura impossível: a escada de Penrose. Como visto no capítulo anterior, a escada de Penrose consiste numa escadaria onde não podemos discernir qual o ponto mais alto ou mais baixo desta. Segundo Ernst (1991, p.90), em Subindo e Descendo “[...] somos confrontados com uma escada que tanto se pode subir como descer, sem que no entanto se consiga chegar nem acima, nem abaixo”.
Figura 48. Subindo e Descendo, Litografia, 1960.
O efeito de ilusão da escadaria infinita está no fato de que toda a escadaria encontra-se num plano horizontal. Cada segmento desta não está em um plano horizontal, mas em espiral ascendente ou descendente.
Vamos, agora, analisar como podemos construir, segundo Ernst (1991), um modelo de representação para esta escadaria infinita num plano horizontal. Primeiramente, montamos o quadrilátero ABCD. No meio de cada lado, desenhamos uma pequena linha vertical. Para construirmos degraus ascendentes
este mesmo procedimento para criarmos degraus ascendentes de B para C (fig. 49a). Analogamente, poderemos criar os mesmos degraus de C para A, passando por D (fig. 49b).
Figura 49. Construção de uma escada infinita.
Esta figura já é a estrutura básica para a construção da escadaria infinita. Porém, uma figura construída segundo este diagrama teria ainda uma deficiência: as linhas tracejadas que dão a direção das paredes laterais, em cima, à direita intersectam-se no ponto de fuga V1, porém as demais linhas tracejadas
encontram-se em V2, abaixo, à direita, destruindo a idéia de uma figura desenhada
corretamente em perspectiva (fig. 50a). Para conservarmos V2 em cima, à esquerda, basta aumentarmos os lados BA e DA, dando a cada um dos lados um degrau a mais, além de dar à construção uma perspectiva correta (fig. 50b).
Um outro ponto que promove a ilusão em Subindo e Descendo é a construção dos demais pormenores da figura. Enquanto a escada encontra-se em um plano horizontal, estes pormenores, como os vãos das janelas, os detalhes das colunas, etc., que deveriam estar em planos horizontais, na verdade encontram-se em uma espiral ascendente (fig. 51). Ainda, consoante Ernst (1991, p.90), “se traçarmos linhas verticais ao longo de cada degrau, notamos que estas limitam um corpo prismático, cujas superfícies laterais têm larguras que estão na relação 6:6:3:4. As partes da figura que ficam à mesma altura formam uma espiral”.
CONCLUSÃO
O intuito deste trabalho é o resgate da Matemática como componente de representação pictural. A análise do uso da Matemática em obras de arte permite- nos ver a ligação entre Arte e as Ciências Exatas, visando o caráter interdisciplinar. Escher, o artista escolhido para análise neste trabalho, percebeu esta ligação e com maestria soube por em suas obras toda sutileza, encanto e fascínio que a Matemática pode oferecer àqueles que souberem apreciá-la.
Este enfoque em um artista específico visou um estudo mais aprofundado da relação Matemática e Arte, podendo perceber a sutileza de cada detalhe, de cada pormenor presente em algumas de suas obras. Neste trabalho, não procurei abarcar toda a obra de Escher, mas, sim, ater-me a um tema específico: a questão da perspectiva. Isto com a finalidade de instigar o interesse por parte de pesquisadores, professores e alunos, a penetrar no mundo de Escher e conhecer também os outros temas do artista, tão ricos e fascinantes como este em questão.
No âmbito da Matemática o objetivo foi o estudo de técnicas de perspectiva, assim como o de figuras impossíveis, para o auxílio no estudo de figuras geométricas, sua maior compreensão, além de prover uma fonte de material para pesquisa ou até mesmo apreciação.
Por fim, venho destacar também a relevância da relação Arte/Matemática no universo acadêmico da Matemática, seja como auxílio em práticas docentes, sua aplicação em pesquisas ou o desfrute destas obras como fonte de inspiração, tanto por sua beleza, como por seu caráter singular, enigmático e fantástico.
BIBLIOGRAFIA
AZEVEDO, Átila Anderson Dias, Escher: um artista gráfico com alma de matemático. Theorema. Belo Horizonte, n.1, p. 16-21, 1° semestre, 2004. disponível em <http://www.colegiosantamarcelina.com.br/Theorema/Revista.pdf> acesso em 4 fev. 2007.
BARISON, Maria Bernadete. Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta
definições, classificações e exemplos de Perspectiva em Geometria Descritiva. Geométrica Vol. 12, 2005. Disponível em
<http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_perspectivas.pdf> Acesso em 09 jan. 2007.
BERBAUM, K., THARP, D., & MROCZEK, K. Depth perception of surfaces in
pictures: Looking for conventions of depiction in Pandora's box. Perception,
12, 5-20. (1983). apud FINK, Kevin. Impossible Figures in Perceptual
Psychology, 1991. Disponível em <http://www.fink.com/papers/impossible.html> .
Acesso em 20 jan. 2007.
BIEDERMAN, I. Scene Perception, Scientific American, 1987. apud FINK, Kevin.
Impossible Figures in Perceptual Psychology, 1991. Disponível em
<http://www.fink.com/papers/impossible.html> . Acesso em 20 jan. 2007.
BORGES, Jorge Luiz, El Hacedor. 1960. Disponível em <http://asruinascirculares.weblog.com.pt/arquivo/2004/11/borges.html>. Acesso em 10 fev. 2007.
CANOTILHO, Luís Manoel Leitão. Perspectiva Pictórica, Bragança, Intituto
CARRION, Wellington. Entendendo a perspectiva, 2005. Disponível em <http://www.imasters.com.br/artigo/3045/teoria/entendendo_a_perspectiva/> , acesso em 13 jan. 2007.
CATÁLOGO EXPOSIÇÃO: OBRAS DE ESCHER – EXPOSIÇÃO NO BRASIL 1993-1994
CERF, C. A Family of Impossible Figures Studied by Knot Theory. Disponível em <http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/cerf/#r3> . Acesso em 18 jan. 2007.
CHILVES, Ian. The Oxford Dictionary of Art Português. Dicionario Oxford de Artes. Tradução: Marcelo Brandão. São Paulo: M. Fontes, 2001. Apud SANTOS, Andréa Oriques. Educação Matemática e Arte: Um Estudo da Representação
em Perspectiva nas Pinturas do Renascimento. 2006, 89 fls. Monografia
(Licenciamento em Matemática). Licenciatura em Matemática. Universidade Federal de Santa Catarina.
CRATO, Nuno. Apud PEREIRA, A. 2004. Disponível em <http://vizir2.blogspot.com/2004_10_01_vizir2_archive.html> . Acesso em 27 jan. 2007.
DRAPER, S. W. The Penrose triangle and a family of related figures.
Perception 7, 283-296. (1978). apud CERF, C. A Family of Impossible Figures
Studied by Knot Theory. Disponível em <http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/cerf/#r3> . Acesso em 18 jan. 2007.
ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
ESCHER, Maurits Cornelis. Gravuras e Desenhos. Tradução. Maria Odete Gonçalves Koller. Hamburgo. Ed Taschen. 1994. Citação disponível em <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/relatividade.html>
FINK, Kevin. Impossible Figures in Perceptual Psychology, 1991. Disponível em <http://www.fink.com/papers/impossible.html> . Acesso em 20 jan. 2007.
FLORES, Cláudia Regina. Olhar, saber, representar: ensaios sobre a
representação em perspectiva. 186p. Doutorado em Educação. Florianópolis:
UFSC/SC, 2003.
GERSHON, Elber. Escher for Real, 2002-6. Disponível em http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/ . Acesso em 20 jan. 2007
HOFFMAN, Donald, D. Inteligência visual: como criamos o que vemos. Tradução de Denise Cabral Carlos de Oliveira. Editora Campus, 2000. Apud SOUZA, Lucilene Inês Gargione de. O Redesign da Informação no
Processamento da Imagem, 2004, 461 fls. Tese (Doutoramento em Engenharia
de Produção). Faculdade de Engenharia de Produção. Universidade Federal de Santa Catarina.
http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_stairs Acesso em 24 jan. 2007.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective Acesso em 16 jan. 2007
http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_curviligne Acesso em 16 jan. 2007
http://pt.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_%28gr%C3%A1fica%29 Acesso em 18 jan. 2007.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Penrose . Acesso em 20 jan. 2007.
MARTINHO, Maria Helena. M. C. Escher – Arte e Matemática. APM – Associação de Professores de Matemática, Lisboa, 1998.
MOREIRA, Allan. Perspectiva Cavaleira, 2006. Disponível em <http://blog.orienta.com.br/2006/08/30/perspectiva-cavaleira/> , acesso em 14 jan. 2007.
OLIVEIRA, Andréia Machado, As Cidades de Escher. 2005. Disponível em <http://seer.psicologia.ufrj.br/seer/lab19/ojs/viewarticle.php?id=4&layout=html> acesso em 27 jan. 2007.
PEREIRA, A. 2004. Disponível em <http://vizir2.blogspot.com/2004_10_01_vizir2_archive.html> . Acesso em 27 jan.
2007.
SANTOS, Andréa Oriques. Educação Matemática e Arte: Um Estudo da
Representação em Perspectiva nas Pinturas do Renascimento. 2006, 89 fls.
Monografia (Graduação em Matemática). Licenciatura em Matemática. Universidade Federal de Santa Catarina.
SECKEL, Al, Impossible Staircase. 1997. Disponível em <http://psylux.psych.tu- dresden.de/i1/kaw/diverses%20Material/www.illusionworks.com/html/impossible_st aircase.html> . Acesso em 24 jan. 2007.
SHUCKER, Brian. Rotating the Penrose Staircase, 2000. Disponível em <http://iguanaworks.net/~shucker/papers/stair.pdf> . Acesso em 24 jan. 2007.
SOUZA, Lucilene Inês Gargione de. O Redesign da Informação no
Processamento da Imagem, 2004, 461 fls. Tese (Doutoramento em Engenharia
de Produção). Faculdade de Engenharia de Produção. Universidade Federal de Santa Catarina.
WADE, Nicholas. Visual Alussions: Pictures of Perception. Hove, UK. Lawrence Erlbaum Associates Ltd., 1980. Apud FINK, Kevin. Impossible Figures in
Perceptual Psychology, 1991. Disponível em <http://www.fink.com/papers/impossible.html> . Acesso em 20 jan. 2007.
WEISSTEIN, Eric W. Penrose Triangle. Disponível em <http://mathworld.wolfram.com/PenroseTriangle.html> . Acesso em 18 jan. 2007.
APÊNDICE
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Castrovalva, Litografia, 1930...12 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez 2006.
Figura 2. Mão com esfera refletora, Litografia, 1935. ...12 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 3. Estrelas, Xilogravura, 1948. ...13 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 4. Esboço de Escher de um mosaico de Alhambra, 1922. ...13 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 5. Dia e noite, Xilogravura, 1938. ...15 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 6. Répteis, Litografia, 1943. ...15 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 7. Limite Circular III, Xilogravura, 1959. ...16 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 8. Mãos desenhando-se, Litografia, 1948. ...17 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 9. Outro mundo, Xilogravura, 1947. ...17 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 10. Belvedere, Litografia, 1958. ...18 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 16 dez. 2006.
Figura 11. Observador, objeto e plano do quadro. ...20 Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Perspectiva_%28gr%C3%A1fica%29>. Acesso em 18 dez. 2006.
Figura 12. Projeções cônica e cilíndrica. ...20 Fonte: CANOTILHO, Luís Manoel Leitão, Perspectiva Pictórica, Bragança, Instituto Politécnico de Bragança, 2005, p. 50. Disponível em
<http://www.ipb.pt/~luiscano/Perspectivalinear/PerspectivaLinear.htm>. Acesso em 04 jan. 2007.
Figura 13. Perspectivas isométrica, dimétrica e trimétrica. ...22 Fonte: <http://www.cce.ufsc.br/~scheidt/perspectiva.html>. Acesso em 18 dez. 2006.
Figura 14. Perspectiva cavaleira vista em ângulos de 60° e 30°
respectivamente...23 Fonte: <http://www.cce.ufsc.br/~scheidt/perspectiva.html>. Acesso em 18 dez. 2006.
Figura 15. Perspectiva militar...24 Fonte:<http://www.utadeo.edu.co/comunidades/estudiantes/ciencias_basicas/geo metria/perspectiva_militar_12.pdf> . Acesso em 4 fev. 2007.
Figura 16. Perspectivas rigorosas normais paralela e oblíqua. ...26 Fonte: CANOTILHO, Luís Manoel Leitão, Perspectiva Pictórica, Bragança, Instituto Politécnico de Bragança, 2005, p. 50. Disponível em
Figura 17. Perspectiva rigorosa vista de cima. ...27 Fonte: CANOTILHO, Luís Manoel Leitão, Perspectiva Pictórica, Bragança, Instituto Politécnico de Bragança, 2005, p. 50. Disponível em
<http://www.ipb.pt/~luiscano/Perspectivalinear/PerspectivaLinear.htm>. Acesso em 04 jan. 2007.
Figura 18. Comparação entre a perspectiva clássica e a perspectiva curva. ...28 Fonte:<http://www.centraldequadrinhos.com/forum/viewtopic.php?t=6663&sid=5ea f7d41b0a5a65e6209a6b38614e826>. Acesso em 16 jan. 2007.
Figura 19. Linhas horizontais e de profundidade em uma perspectiva curva. ...29 Fonte:<http://www.centraldequadrinhos.com/forum/viewtopic.php?t=6663&sid=5ea f7d41b0a5a65e6209a6b38614e826>. Acesso em 16 jan. 2007.
Figura 20. Entrée de l empereur Charles IV à Saint-Denis (Jean Fouquet, 1455- 1460). ...29 Fonte: <http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_curviligne>. Acesso em 16 jan. 2007.
Figura 21. Um cubo. ...30 Fonte: <http://www.fink.com/papers/impossible.html>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 22. Tridente bi-prolongado...31 Fonte: <http://www.fink.com/papers/impossible.html>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 23. Triângulo impossível de Penrose. ...34 Fonte: <http://mathworld.wolfram.com/PenroseTriangle.html>. Acesso em 18 jan. 2007.
Figura 24. Triângulo de Penrose sob dois pontos de vista diferentes...34 Fonte : <http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 25. Alternativa para a construção do Triangulo de Penrose, sob dois pontos de vista (virtual e real). ...35 Fonte : <http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 26. Triângulo Impossível criado por Mathieu Hamaekers. ...35 Fonte : <http://im-possible.info/english/articles/real/>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 27. Foto de um triângulo impossível por Bruno Ernst...36 Fonte : <http://im-possible.info/english/articles/real/>. Acesso em 20 jan. 2007.
Figura 28. A escada de Penrose. ...37 Fonte: <http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Impossible_staircase.svg>. Acesso em 24 jan. 2007.
Figura 29. Escada de Penrose sob dois pontos de vista diferentes. ...38 Fonte: <http://www-vrl.umich.edu/intro/penrose.html>. Acesso em 24 jan. 2007.
Figura 30. Escada de Penrose e seus níveis. ...38 Fonte: <http://iguanaworks.net/~shucker/papers/stair.pdf>. Acesso em 24 jan. 2007.
Figura 31.a) Torre de Babel, Xilogravura, 1928. b)Ex-líbris, Xilogravura, 1947...40 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 27 jan. 2007.
Figura 32.a)Um outro mundo I, Gravura, 1946. b) Um outro mundo II, Xilogravura, 1947...41 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 27 jan. 2007.
Figura 33. Relatividade, Litografia, 1953...42 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 27 jan. 2007.
Figura 34. Estudo para Relatividade com três pontos de fuga, lápis, 1953. ...43 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 35. Efeito das linhas telegráficas. ...44 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 36. Deslocamento visual quadro-a-quadro. ...45 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 37. Projeção cônica das linhas telegráficas. ...46 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 38. Em cima e embaixo, Litografia, 1947. ...47 Fonte:<http://www.artchive.com/artchive/E/escher/escher_up_and_down.jpg.html>. Acesso em 30 jan. 2007.
Figura 39. Linhas verticais e horizontais no corpo de um cilindro. ...48 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 40a) Escadaria, Litografia, 1995.b) Linhas verticais e horizontais utilizadas em Escadaria...49 Fonte: a) <www.mcescher.com>. Acesso em 04 fev. 2007.
b) ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 41. Belvedere, Litografia, 1958...51 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 04 fev. 2007.
Figura 42. Maquete de Belvedere, sob dois pontos de vista distintos...52 Fonte: <http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/ >. Acesso em 4 fev. 2007.
Figura 43. Pormenor de Belvedere...53 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 44. A “grade louca”, fotografada pelo Dr. Cochran, Chicago...53 Fonte: < http://www.carla146.it/07documenti/pagine/pageart1903.htm>. Acesso em 4 fev. 2007.
Figura 45. Maquete do cubo impossível sob dois pontos de vista distintos...54 Fonte: <http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/ >. Acesso em 4 fev. 2007.
Figura 46. Queda de Água, Litografia, 1961. ...55 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 04 fev. 2007.
Figura 47. Maquete de Queda de Água sob dois pontos de vista e indicação do triângulo impossível...56 Fonte: <http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/ >. Acesso em 4 fev. 2007.
Figura 48. Subindo e Descendo, Litografia, 1960...57 Fonte: <www.mcescher.com>. Acesso em 04 fev. 2007.
Figura 49. Construção de uma escada infinita...58 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 50. Mudança de um dos pontos de fuga. ...58 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.
Figura 51. Planos horizontais da escada e a espiral ascendente. ...59 Fonte: ERNST, Bruno. O espelho mágico de M. C. Escher. Tradução: Maria Odete Gonçalvez Koller. Berlin: Taschen. 1991.