Sum´ario

Neste cap´ıtulo apresentamos brevemente as generalidades da teoria quˆantica de circui- tos para sistemas h´ıbridos normal-ferromagn´etico. Explicamos os inconvenientes t´ecnicos que aparecem quando se deseja preservar a estrutura de Keldysh no formalismo, como ´e feito na vers˜ao inicial da teoria para sistemas h´ıbridos NS. Mostramos como aplicar a teoria num sistema FNF, e analisamos observ´aveis como a condutˆancia e o torque de spin quando as magnetiza¸c˜oes das camadas magn´eticas s˜ao colineares e n˜ao colineares. Tamb´em exploramos algumas propriedades de um sistema de multicamadas, escolhendo a configura¸c˜ao das magnetiza¸c˜oes das camadas ferromagn´eticas de forma helicoidal. Ana- lisamos a condutˆancia e o torque para cadeias com diferentes comprimentos, fixando a configura¸c˜ao das magnetiza¸c˜oes. Por ´ultimo, estudamos o comportamento da cadeia como um conector efetivo.

2.5 SUM ´ARIO 28 0 60 120 180 240 300 360 76 80 84 88 92 96 100 N c =2 N c =5 N c =10 N c =20 N c =30 N c =100 G T / ( e 2 / h ) δθ (graus) 0 60 120 180 240 300 360 0 5 10 15 20 25 30 35 τ / ( V e 2 / h ) δθ (graus)

Figura 2.6 Varia¸c˜ao da condutˆancia (painel esquerdo) e o torque aplicado `a primeira camada (painel direito) com rela¸c˜ao ao ˆangulo relativo entre as magnetiza¸c˜oes de duas camadas ferro- magn´eticas adjacentes, para a cadeia com v´arios conectores sim´etricos. A condutˆancia G dos conectores tˆem sido escolhida para todas as cadeias ter a mesma condutˆancia na configura¸c˜ao paralela. Para Nc= 2 escolhemos G = 200 G0.

0 60 120 180 240 300 360 93 96 99 N v =1 G T / ( e 2 / h ) δθ1 (graus) 0 60 120 180 240 300 360 75,4 75,6 75,8 76,0 76,2 76,4 N v =6 G T / ( e 2 / h ) δθ1 (graus) 0 60 120 180 240 300 360 0 10 20 30 40 50 τ / ( V e 2 / h ) δθ1 (graus) 0 60 120 180 240 300 360 0 5 10 15 20 τ / ( V e 2 / h ) δθ1 (graus)

Figura 2.7 Comportamento da condutˆancia e o torque aplicado `a primeira camada em fun¸c˜ao da varia¸c˜ao do ˆangulo entre a primeira e segunda camada, numa cadeia com 15 camadas magn´eticas. Mantemos as 14 ´ultimas camadas com uma configura¸c˜ao helicoidal fixa definida pelo n´umero de voltas Nv.

CAP´ITULO 3

GENERALIZAC¸ ˜AO DA PARAMETRIZAC¸ ˜AO DE

ESTUBE

A teoria de matrizes aleat´orias (TMA) descreve as propriedades estat´ısticas de dife- rentes classes de conjuntos de matrizes. Estes conjuntos s˜ao denominados ensembles e distinguem-se mutuamente por suas propriedades de simetria, e pela forma como s˜ao constru´ıdos. A principal raz˜ao pela qual se modela um sistema f´ısico atrav´es da TMA, ´e que existem sistemas muito complexos para os quais construir um hamiltoniano a partir de primeiros princ´ıpios ´e praticamente imposs´ıvel (e indesej´avel) pela grande quantidade de detalhes microsc´opicos que este possui. Ao inv´es disso, o sistema ´e caracterizado por suas simetrias fundamentais, que por sua vez s˜ao usadas para identificar um ensemble de matrizes aleat´orias. A partir da distribui¸c˜ao de probabilidade das matrizes dentro do ensemble, podem ser calculadas fun¸c˜oes de correla¸c˜ao dos seus autovalores, autovetores ou dos pr´oprios elementos de matriz [44, 45]. Estas quantidades, por sua vez, permitem a obten¸c˜ao de v´arios observ´aveis f´ısicos [7].

Uma cavidade ca´otica quˆantica ´e um exemplo t´ıpico da classe de sistemas mencionados acima. Sua dinˆamica ´e t˜ao complexa que seu hamiltoniano pode ser substitu´ıdo por um membro de um ensemble de matrizes aleat´orias, conhecido como ensemble gaussiano [46]. Existem trˆes classes de ensembles gaussianos, caracterizadas por diferentes simetrias. Quando o sistema possui simetria de revers˜ao temporal e de rota¸c˜ao de spin o ensemble ´e denominado ortogonal e o ´ındice de Dyson, que ´e usado para identificar os ensembles, ´e β = 1 3_{. Se o sistema possui simetria de revers˜ao temporal, mas a simetria de rota¸c˜ao de}

spin ´e quebrada, o ensemble ´e o simpl´etico e β = 4. No caso em que n˜ao existe simetria de revers˜ao temporal temos β = 2 e o ensemble ´e denominado unit´ario.

Quando a cavidade ca´otica est´a aberta e ´e conectada a dois reservat´orios normais, as suas propriedades de transporte podem ser descritas pela matriz de espalhamento do sistema. Se os contatos forem ideais, a matriz de espalhamento pertence a um ensemble circular [7]. Os ensembles circulares, diferentemente dos gaussianos, n˜ao s˜ao constru´ıdos a partir da distribui¸c˜ao estat´ıstica dos elementos de matriz, mas atrav´es da defini¸c˜ao de uma medida invariante sob transforma¸c˜oes do grupo unit´ario, denominada medida de Haar [44]. Uma caracter´ıstica dos ensembles circulares ´e que suas matrizes est˜ao distribu´ıdas de maneira uniforme no ensemble. Se os contatos s˜ao n˜ao ideais, as matrizes de espalhamento pertencem a ensembles denominados circulares generalizados, onde a distribui¸c˜ao das matrizes ´e dada pelo n´ucleo de Poisson [45].

3_{O ´ındice de Dyson coincide com o n´umero de parˆametros livres dos elementos matriciais, e ´e comu-}

mente representado atrav´es da letra grega β.

Ainda mais complexos s˜ao os sistemas representados por um circuito quˆantico, cuja defini¸c˜ao introduzimos no cap´ıtulo anterior no contexto da teoria de circuitos. Para um circuito com reservat´orios normais, existem na literatura duas teorias capazes de caracteri- zar v´arios de seus observ´aveis. A primeira foi apresentada por Campagnano et al. atrav´es do formalismo de fun¸c˜oes de Green de Keldysh [48]. A mesma permite em princ´ıpio aces- sar as corre¸c˜oes quˆanticas de qualquer cumulante de carga transmitida, assim como as variˆancias dos mesmos. Ela tamb´em n˜ao se limita a reservat´orios normais, nem a ensem- bles puros como os mencionados acima. Podem ser levados em conta fenˆomenos como intera¸c˜ao spin-´orbita e campos magn´eticos, que permitem o estudo do crossover entre ensembles puros [49]. A segunda teoria foi elaborada por Kupferschmidt et al. para um circuito quˆantico acoplado a dois reservat´orios normais, e usa o formalismo de matrizes aleat´orias [8]. Esta teoria tem como foco a corre¸c˜ao de localiza¸c˜ao fraca da condutˆancia, no entanto considera a intera¸c˜ao el´etron-el´etron e a dependˆencia da localiza¸c˜ao com a temperatura.

As propriedades de transporte de um circuito quˆantico constitu´ıdo por n´os e conectores s˜ao caracterizadas por sua matriz de espalhamento, que pode ser constru´ıda a partir das matrizes de espalhamento de cada elemento do sistema. As matrizes de espalhamento dos conectores s˜ao em princ´ıpio conhecidas e s˜ao respons´aveis pela condutˆancia do sistema. Em contraposi¸c˜ao a isto, nos n´os ocorre a mistura dos modos de transmiss˜ao, e a fun¸c˜ao de onda dos el´etrons adquire fases que s˜ao incontrol´aveis experimentalmente. Esta mistura estat´ıstica pode ser modelada na TMA assinando a cada n´o uma matriz que pertence a um ensemble circular. Por tal motivo, a constru¸c˜ao da matriz de espalhamento do sistema carrega muita informa¸c˜ao que ´e irrelevante, e que em outras teorias como a TQC ´e retirada a priori. De fato, este inconveniente t´ecnico tˆem causado certa rejei¸c˜ao da TMA [1].

No presente cap´ıtulo consideraremos um circuito quˆantico com topologia arbitr´aria, sem levar em conta a dependˆencia dos observ´aveis com rela¸c˜ao `a temperatura, intera¸c˜ao el´etron-el´etron, campo magn´etico e intera¸c˜ao spin-´orbita. Mostraremos, no entanto, que a informa¸c˜ao das matrizes de espalhamento dos constituintes do sistema pode ser reorga- nizada numa parametriza¸c˜ao de estube de forma tal que a composi¸c˜ao das mesmas deixa de ser um problema t´ecnico essencial. Al´em do mais, tal reorganiza¸c˜ao permite importar os resultados obtidos atrav´es da t´ecnica diagram´atica do caso de um ´unico ponto quˆantico para a an´alise de um circuito de topologia arbitr´aria. Embora nos limitemos a um regime bastante particular, como indicado anteriormente, devemos salientar a possibilidade de inclus˜ao no formalismo de fenˆomenos de intera¸c˜ao dos el´etrons com um campo magn´etico, intera¸c˜ao spin-´orbita e fenˆomenos de descoerˆencia. Estes efeitos tˆem sido modelados para um ponto quˆantico atrav´es de um estube adjunto `a cavidade [50, 51].

O cap´ıtulo ´e organizado da seguinte maneira. Na se¸c˜ao 3.2 apresentamos de forma re- sumida o m´etodo diagram´atico para fazer m´edias sobre ensembles circulares. Dedicamos a se¸c˜ao 3.3 a explicar em detalhes a parametriza¸c˜ao de estube. A generaliza¸c˜ao de tal pa- rametriza¸c˜ao ´e feita na se¸c˜ao 3.4, onde explicamos cuidadosamente o caso de dois pontos, e logo apresentamos as regras para construir as matrizes da parametriza¸c˜ao generalizada. A simbologia usada no m´etodo diagram´atico ´e redefinida na se¸c˜ao 3.5. Finalizamos com algumas aplica¸c˜oes do m´etodo na se¸c˜ao 3.6.