Capítulo 4 – Incerteza e funções de transferência
4.4 Suporte das medidas x suporte dos modelos de incerteza
Freqüentemente, em muitas aplicações, o espaço de incerteza precisa ser estimado em suportes muito maiores em relação ao suporte de medida, seja para estimar a incerteza em relação ao teor de um bloco de minério ou para verificar a probabilidade condicional de uma área exceder uma dada concentração de um certo contaminante. Nesses casos, o objetivo é estimar a probabilidade condicional de que o valor médio de um bloco de tamanho V, centrado na localização u, seja inferior a dado valor limite z. Portanto, é preciso estimar a dcp (distribuição condicional de probabilidade) em relação ao bloco V:
)}
n (
| z ) u ( Z { ob Pr )) n (
| z
; u (
FV = V < (4.9)
Para a realização dessa tarefa, três técnicas podem ser utilizadas:
i. por meio da determinação das dcp via krigagem de bloco;
ii. por meio do método de correção de variância (Isaaks e Srivastava, 1989, p. 468) e posterior aplicação dos métodos baseados em krigagem (pontual) de determinação de dcp;
iii. por meio dos métodos estocásticos.
A técnica (i) é realizada de maneira análoga àquela aplicada para a determinação das dclp no mesmo suporte das medidas. Contudo, agora, a KS é substituída por krigagem simples de bloco. Se os modelos de incerteza forem baseados no modelo multi-Gaussiano, os mesmos passam a ser caracterizados pela krigagem simples de bloco (média) e pela variância dessa krigagem (variância) (Chilès e Delfiner, 1999). Entretanto, essa técnica é limitada aos casos em que os atributos em estudo variam linearmente no espaço, o que pode não ser muito freqüente.
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A técnica (ii) não apresenta a limitação mostrada pela técnica (i). Nesse caso, a variância da dclp F(u;z|(n)) é corrigida com relação à suposta variância da dcp de bloco FV(u;z|(n)). Essa correção envolve a redução da variância, enquanto que a forma de distribuição pode se manter inalterada ou não, dependendo do algoritmo empregado para a correção da variância.
A razão entre as variâncias medidas, no suporte original (Var[Z(u)|(n)]) e no suporte de bloco (Var[ZV(u)|(n)]), é chamado de fator de redução de variância f.
[ ]
variância intrablocos e a variância entre blocos:)
σ2(./v) Variância das medidas em relação aos blocos;
σ2(v/V) Variância dos blocos em relação ao todo;
σ2(./V) Variância das medidas (suporte original) em relação ao todo.
Dessa forma, f pode ser calculado da seguinte maneira:
) alcance do semi-variograma, γ(A,A) pode ser aproximado ao patamar do semi-variograma dos dados originais z(uα) (α = 1,...,n). Portanto, o fator f pode ser estimado com o auxílio do modelo de continuidade espacial das informações originais.
Dependendo da magnitude do fator de redução de variância f, a dcp de bloco pode ser inferida, a partir da dclp, por meio de diferentes algoritmos que diferem no grau de simetria assumida pela dcp de bloco. Geralmente, dois algoritmos são empregados:
ii.i. correção afim;
ii.ii. correção lognormal indireta.
Ambos algoritmos [(ii.i.) e (ii.ii.)] compartilham a característica de preservar a média da distribuição experimental (Isaaks e Srivastava, 1989, p. 468). O efeito de simetrização (Myers, 1996, p. 314) está associado ao processo de redução de variância, de acordo com o algoritmo utilizado. Esse
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efeito se refere à redução da assimetria da distribuição após a mudança de suporte, aproximando-se de uma distribuição normal. O algoritmo de correção afim apresenta a característica de preservar a forma da distribuição. Por outro lado, o algoritmo de correção lognormal indireta assume que existe uma relação entre a redução da variância e o aumento da simetria da distribuição.
A simetria também é relacionada à homogeneidade da distribuição (dados espacialmente desaninhados). O aumento da simetria em relação à diminuição da variância ocorre mais rapidamente em populações homogêneas. A simetria é alcançada mais lentamente em distribuições cujos valores extremos estão aninhados em uma região particular da área em questão, em relação a outros onde esses dados estão mais homogeneamente distribuídos no espaço. Ainda, a homogeneidade da distribuição influi na taxa de redução da variância, ocorrendo mais lentamente em distribuições contínuas do que em distribuições erráticas. Assim, para distribuições menos contínuas o efeito da mudança de suporte sobre o espalhamento da distribuição é maior. Portanto, o grau de continuidade espacial, evidenciado pelo semi-variograma, pode ser usado como indicativo sobre o impacto do suporte original com respeito à redução da variância e simetria da distribuição.
Uma das maiores vantagens do algoritmo de correção afim é a sua simplicidade matemática, apresentada abaixo:
m ) m x (
x'= f − + (4.13)
onde:
f é o fator de redução da variância;
x e x’ são os decis ou percentis, originais e após a transformação, respectivamente;
m é a média da distribuição original.
O algoritmo de correção afim reduz a variância da distribuição por meio da compressão da distribuição em torno da média, preservando a forma da distribuição original. Esse algoritmo apresenta a característica de atribuir valores muito maiores para os menores valores da distribuição experimental e vice-versa, podendo provocar classificações equivocadas em situações onde o teor de corte (TC) for muito distante da média. Essa característica pode ser muito indesejada em alguns casos, como por exemplo, quando se trata de dados de concentração de contaminantes. Além disso, a característica de manter inalterada a forma da distribuição só é realística para blocos de pequena dimensão, onde a diminuição da variância é baixa. De maneira geral, esse algoritmo se mostra apropriado quando o TC for próximo à média e a redução da variância for inferior a 30 %, isto é, f >
0,70.
O algoritmo de correção lognormal indireta, apresentado a seguir, tenta minimizar as características indesejáveis apresentadas pelo algoritmo de correção afim, sendo de utilização mais adequada em situações onde o valor limite z estiver inserido no quartil inferior da distribuição experimental. A correção lognormal indireta mantém o valor mínimo; entretanto, altera a forma da distribuição, tornando-a mais simétrica. Esse algoritmo ajusta a distribuição, conforme a variância de blocos, em um processo de duas etapas, pois o método não garante que a média da distribuição
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ajustada seja a mesma da original. Essa condição só é garantida se a distribuição a ser ajustada for exatamente lognormal. A correção lognormal indireta é dada pelas as seguintes equações:
x’= axb (4.14)
onde:
+
+
= m
CV2 1 CV 1
f a m
2
2
) CV 1 ln(
) CV 1 f b ln(
2 2
+
= +
sendo que:
f é o fator de redução da variância, e CV é coeficiente de variação.
Como descrito anteriormente, para situações em que distribuição original não seguir uma distribuição lognormal, faz-se necessário o reescalonamento dos valores oriundos da transformação dada pela equação acima. Esse reescalonamento é realizado por meio da seguinte equação:
' 'x m
" m
x = (4.15)
sendo,
m a média da distribuição original;
m’ a média da distribuição após a transformação pela Equação 4.14;
x” e x’ os decis ou percentis reescalonados e após a transformação pela Equação 4.14, respectivamente.
A magnitude desse reescalonamento é inversamente proporcional à similaridade da distribuição original a uma distribuição lognormal, com a razão m/m’ mais próxima de um à medida que a distribuição original se aproxima de uma distribuição lognormal. Com esse procedimento, a distribuição é ajustada de acordo com o suporte experimental, tendo como média o mesmo valor da distribuição original.
A técnica (iii), que utiliza o método estocástico, é uma técnica mais versátil em relação às outras duas apresentadas acima, embora requeira mais esforço computacional. Nesse método, as dcp teóricas de bloco são aproximadas numericamente por meio do conjunto de L valores médios zV(l)(u) (l
= 1,...,L) obtidos pela média dos valores simulados (no suporte original das medidas) no interior dos blocos. Isto é, os blocos de dimensão V são discretizados em M localizações uβ, de modo que o valor assumido pelos blocos seja o resultado da média aritmética dos valores simulados intrablocos; ou seja:
= ∑
=
β β
M
V 1z(u)
M ) 1 u
z ( (4.16)
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A dcp estocástica de bloco, em cada localização u, é estimada pela repetição de L vezes o processo descrito acima; isto é:
≈ ∑ estocástico mais vantajosa são:
i. o método permite considerar funções de ponderação não-linear, como média harmônica ou geométrica;
ii. ausência de hipóteses com relação ao impacto da mudança de suporte sobre a forma e a variância da distribuição;
iii. a maneira de construção dos modelos de incerteza de blocos permite com que a metodologia seja facilmente aplicada para blocos de diferentes formas e dimensões.
Portanto, pelas características citadas acima, o método estocástico se apresenta como uma boa alternativa para os casos em que o espaço de incerteza necessita ser medido em um suporte muito maior do que suporte de medida. Além disso, dentre as três técnicas relacionadas, o método estocástico é o de mais simplicidade teórica, não assumindo hipóteses e sem restrições (teóricas) de aplicação. Contudo, dependendo do número de nós discretizando os blocos e da característica dimensional do problema em mãos (2-D ou 3-D), o emprego do método pode ocasionar dificuldades operacionais (por exemplo: elevado tempo de processo e alto consumo de espaço em disco). Nesses casos, a aplicação das duas primeiras técnicas relacionadas deve ser reavaliada.