Na literatura especializada s˜ao apresentados diversos m´etodos aproximados que determinam planos de expans˜ao de redes de transmiss˜ao `a longo prazo. S˜ao os chamados algoritmos heur´ısticos construtivos, descritos a seguir.
2.3.1 Algoritmos Heur´ısticos Construtivos
Os algoritmos heur´ısticos construtivos ([Garver - 1970], [Monticelli, et al. - 1982],
[Villasana, et al. - 1985], [Pereira, Pinto - 1985], entre outros) se caracterizam como um pro-
cedimento passo-a-passo que, a partir da configura¸c˜ao base, adiciona em cada passo um ou mais
circuitos at´e se conseguir uma adequada opera¸c˜ao do sistema el´etrico. A diferen¸ca b´asica entre um algoritmo e outro est´a no ´ındice de sensibilidade utilizado, ou seja, em cada passo o circuito escolhido para ser adicionado ´e identificado por um ´ındice de sensibilidade preestabelecido.
Estes m´etodos geralmente s˜ao de f´acil implementa¸c˜ao e requerem pouco esfor¸co computacio- nal. Com rela¸c˜ao a qualidade da resposta, os valores obtidos ficam geralmente afastados da resposta ´
otima quando s˜ao resolvidos sistemas de m´edio e grande porte. Estas metodologias ainda hoje s˜ao
empregadas no planejamento da expans˜ao dos sistemas de transmiss˜ao pelas empresas de energia
2.3 T´ecnicas para a Resolu¸c˜ao do Problema 9
2.3.1.1 Algoritmo heur´ıstico de Garver
O modelo formulado em [Garver - 1970], tamb´em conhecido como modelo de transportes, foi
uma das primeiras propostas de modelagem matem´atica para planejamento de redes de transmiss˜ao que usou programa¸c˜ao linear. A outra proposta foi a de [Kaltenbach, et al. - 1970], que utilizou
o modelo de fluxo de potˆencia DC. A modelagem proposta por Garver ´e uma vers˜ao relaxada do
modelo DC. Para resolver o modelo de transportes, Garver apresentou um algoritmo heur´ıstico construtivo cujo indicador de sensibilidade ´e obtido resolvendo um PPL.
Na metodologia de Garver, todo fluxo que n˜ao puder ser transportado pelas liga¸c˜oes normais, fluir˜ao pelas liga¸c˜oes de sobrecarga, pois estas tˆem capacidades ilimitadas, e s´o passar˜ao atrav´es das liga¸c˜oes de sobrecarga quando for imposs´ıvel transport´a-los pelas liga¸c˜oes normais, j´a que estas tˆem custos muito inferiores. Em cada est´agio do processo de planejamento, deve-se resolver um PPL e assim adicionar um circuito na trajet´oria de maior sobrecarga. O processo ´e repetido at´e eliminar todas as sobrecargas.
O algoritmo de Garver apresenta a seguinte estrutrura b´asica:
1. Tomar a configura¸c˜ao base como configura¸c˜ao corrente.
2. Resolver um PPL de fluxo de rede com custo m´ınimo para a configura¸c˜ao corrente. Se n˜ao
existirem mais novos caminhos a serem inseridos, ent˜ao pare. Caso contr´ario, ir para o passo 3.
3. Calcular os fluxos atrav´es de todos os novos circuitos adicionados pelo PPL. Atualizar a
configura¸c˜ao corrente adicionando um circuito para o novo caminho que apresentar o maior
valor de fluxo. Volte ao passo 2.
A vantagem da metodologia de Garver ´e a simplicidade na implementa¸c˜ao do algoritmo pois ela exige somente solu¸c˜oes sucessivas de programa¸c˜ao linear. A principal limita¸c˜ao da metodologia ´
e que ela n˜ao garante a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao ´otima do sistema planejado.
A metodologia proposta por [Villasana, et al. - 1985] ´e uma extens˜ao da metodologia de Gar- ver, na qual se adiciona a segunda lei de Kirchhoff para a rede existente. Com isto, gera-se a formula¸c˜ao apresentada como modelo h´ıbrido que ´e resolvida usando uma metodologia muito pare- cida com a metodologia de Garver. Aqui tamb´em n˜ao se garante a otimalidade da solu¸c˜ao obtida. Nesta metodologia, mantˆem-se os conceitos de linhas de sobrecarga e, usa-se programa¸c˜ao linear para determinar o circuito mais sobrecarregado e, portanto, candidato a adi¸c˜ao de um novo circuito.
A estrutura b´asica do algoritmo de Villasana-Garver ´e dada por: Fase I:
1. Tomar a configura¸c˜ao base como configura¸c˜ao corrente.
2. Resolver um PPL para a configura¸c˜ao corrente. Se n˜ao existirem mais novos caminhos a serem inseridos, ent˜ao pare. Caso contr´ario, ir para o passo 3.
3. Calcular os fluxos atrav´es de todos os novos circuitos adicionados pelo PPL. Atualizar a
configura¸c˜ao corrente adicionando um circuito para o novo caminho que apresentar o maior
valor de fluxo. Volte ao passo 2. Fase II:
1. Ordenar os circuitos adicionados em ordem decrescente de seus custos e eliminar aqueles cuja sa´ıda n˜ao produzem cortes de carga no sistema. FIM.
2.3.1.2 M´etodo de M´ınimo Esfor¸co
O m´etodo de M´ınimo Esfor¸co [Monticelli, et al. - 1982] baseia-se no fato de que a distribui¸c˜ao
dos fluxos em um rede segue uma lei de m´ınimo esfor¸co que minimiza o produto das reatˆancias
(p.u.) de cada ramo pelo quadrado do respectivo fluxo. Esta fun¸c˜ao de m´ınimo esfor¸co, ´e utilizada como um ´ındice de sensibilidade para ordenar as adi¸c˜oes de novos circuitos ao sistema.
ISme= ∆Zij =−1
2(θi− θj) 2∆γ
ij (2.2)
em que θi− θj´e a diferen¸ca angular do ramo ij antes da adi¸ca˜o, e ∆γij ´e a varia¸c˜ao da susceptˆancia de um circuito no ramo ij.
Em cada passo do processo de planejamento ´e adicionado ao sistema aquele circuito que
produz o maior impacto na distribui¸c˜ao de fluxos na rede, isto ´e, aquele que apresenta o maior valor de |∆Zij|.
A estrutura b´asica do algoritmo de M´ınino Esfor¸co ´e dada por: Fase I:
1. Tomar a configura¸c˜ao base como configura¸c˜ao corrente.
2. Resolver uma an´alise DC para a configura¸c˜ao corrente. Se n˜ao existirem sobrecargas, ent˜ao ir para a Fase II. Caso contr´ario, calcular os ISme e ordenar os circuitos candidatos iniciando pelo circuito que apresentar maior valor absoluto do ´ındice. Ir para o passo 3.
3. Adicionar `a configura¸c˜ao corrente o primeiro circuito da lista anterior. Volte ao passo 2. Fase II:
1. Ordenar os circuitos adicionados em ordem decrescente de seus custos e eliminar aqueles cuja sa´ıda n˜ao produzem cortes de carga no sistema. FIM.
2.3 T´ecnicas para a Resolu¸c˜ao do Problema 11
2.3.1.3 M´etodo de M´ınimo Corte de Carga
O algoritmo de M´ınimo Corte de Carga [Pereira, Pinto - 1985], usado no planejamento de sistemas de transmiss˜ao, ´e um algoritmo heur´ıstico de tipo construtivo que em cada passo do algo- ritmo produz a adi¸c˜ao de um circuito na configura¸c˜ao base at´e que o sistema opere adequadamente, isto ´e, sem corte de carga.
Em cada itera¸c˜ao do algoritmo de m´ınimo corte de carga ´e realizada a adi¸c˜ao de um circuito e esse circuito ´e selecionado de acordo com um ´ındice de desempenho ou ´ındice de sensibilidade. O ´ındice de sensibilidade ´e um indicador do impacto que produziria a adi¸c˜ao de um circuito no corte de carga de um sistema se o circuito fosse adicionado ao sistema el´etrico. Assim, aquele circuito que possui o maior valor do ´ındice de sensibilidade deve ser adicionado `a configura¸c˜ao base pois ´e o melhor candidato para produzir uma maior diminui¸c˜ao no corte de carga do sistema.
A estrutura b´asica do algoritmo de M´ınino Corte de Carga ´e dada por: Fase I:
1. Tomar a configura¸c˜ao base como configura¸c˜ao corrente.
2. Resolver um PPL para corte m´ınimo de carga para a configura¸c˜ao corrente. Se n˜ao existirem sobrecargas, ent˜ao ir para a Fase II. Caso contr´ario, calcular os ISmcc e ordenar os circuitos candidatos iniciando pelo circuito que apresentar maior valor absoluto do ´ındice. Ir para o passo 3.
3. Adicionar `a configura¸c˜ao corrente o primeiro circuito da lista anterior. Volte ao passo 2. Fase II:
1. Ordenar os circuitos adicionados em ordem decrescente de seus custos e eliminar aqueles, cuja sa´ıda, n˜ao produzem cortes de carga no sistema. FIM.
O ´ındice de sensibilidade que permite encontrar o circuito mais atrativo para adi¸c˜ao ´e deter- minado pela seguinte rela¸c˜ao:
ISmcc= (πi− πj)(θj− θi) (2.3)
em que πj ´e o multiplicador de Lagrange da j-´esima restri¸c˜ao do sistema Bθ + g + r = d e os θj s˜ao os ˆangulos de tens˜ao de barra obtidos ao resolver o modelo DC para a configura¸c˜ao corrente usando um algoritmo de PL.
2.3.2 Algoritmos de Otimiza¸c˜ao Cl´assica
Em meados da d´ecada de 80, iniciou-se uma nova fase na tentativa de resolver o problema do planejamento da expans˜ao da transmiss˜ao de maneira ´otima e a principal ferramenta matem´atica
encontrada foram as t´ecnicas de decomposi¸c˜ao matem´atica. Nesta perspectiva, a metodologia mais usada foi a t´ecnica de decomposi¸c˜ao de Benders [Benders - 1962], a qual explora a decomposi¸c˜ao natural do problema de planejamento da expans˜ao de sistemas de transmiss˜ao em duas partes, ou seja:
• Um subproblema de investimento em que se escolhe um plano de expans˜ao candidato e, calculam-se os custos de investimento associados ao mesmo.
• Um subproblema de opera¸c˜ao onde ´e testado o plano de expans˜ao candidato em termos do adequado atendimento da carga.
A busca por um ´otimo global ´e feita atrav´es de uma resolu¸c˜ao iterativa das resolu¸c˜oes sepa- radas dos subproblemas de opera¸c˜ao e investimento.
Em [Pereira, et al. - 1985], o uso desta t´ecnica ´e utilizado com a rede de transmiss˜ao re-
presentada pelo fluxo de potˆencia linearizado e pelo modelo de transportes combinados com pro-
grama¸c˜ao linear. Em [Santos, et al. - 1989] ´e proposta uma formula¸c˜ao atrav´es de um modelo de otimiza¸c˜ao n˜ao linear inteiro misto que ´e resolvido atrav´es de t´ecnicas de relaxa¸c˜ao/proje¸c˜ao. Em [Romero, Monticelli - 1994a] o planejamento est´atico da expans˜ao da transmiss˜ao ´e formulado co- mo um problema de otimiza¸c˜ao e s˜ao utilizados os modelos: de transportes, modelo DC e modelo h´ıbrido. Em [Romero, Monticelli - 1994b] s˜ao propostas formula¸c˜oes atrav´es de modelos de otimi- za¸c˜ao de grande porte resolvidos atrav´es de t´ecnicas de decomposi¸c˜ao. Estes modelos representam o problema de decis˜ao sobre circuitos que devem ser incorporados `a rede de transmiss˜ao.
[Gallego - 1997] relata que com as metodologias de decomposi¸c˜ao foram obtidas as solu¸c˜oes globais em sistemas de pequeno e m´edio porte, como ´e o caso do sistema Garver de 6 n´os e 15 linhas e o sistema Sul brasileiro de 46 n´os e 79 linhas. J´a para o sistema Norte-Nordeste de 87 n´os e 179 linhas, sistema de grande porte, a metodologia de decomposi¸c˜ao n˜ao obteve convergˆencia devido ao n´umero incalcul´avel de alternativas que se apresentam na ´ultima fase do processo onde se tem que resolver um problema de programa¸c˜ao inteira.
Ainda em [Gallego - 1997] foram iniciadas novas pesquisas relacionadas com os m´etodos de
otimiza¸c˜ao combinat´orias, cujas caracter´ısticas fundamentais s˜ao as de resolver sistemas de grande porte, chegar a solu¸c˜oes pr´oximas ao ´otimo global e obter solu¸c˜oes em tempos de computa¸c˜ao razo´aveis.
2.3.3 Algoritmos de Otimiza¸c˜ao Combinat´oria
Nas ´ultimas d´ecadas uma grande variedade de problemas surgiram em diversas ´areas, tais como: ciˆencias matem´aticas, ciˆencias da computa¸c˜ao, engenharia, etc. Entre todos os problemas de otimiza¸c˜ao combinat´oria, o problema do caixeiro viajante ´e provavelmente o mais conhecido. Neste problema o caixeiro inicia o percurso em uma cidade, visita cada uma das cidades prescritas na lista e retorna `a cidade de partida, de tal maneira que o comprimento da rota seja o m´ınimo poss´ıvel. A importˆancia deste problema est´a no aspecto que combina as caracter´ısticas t´ıpicas de grandes problemas de otimiza¸c˜ao combinat´oria, com suas complexidades (problemas NP-completo).