5 T EOREMA ESPECTRAL : OPERADORES UNIT ARIOS ´

Representação integral de um operador unitário

Nesta seção aplicaremos o teorema de Féjer dual obtido anteriormente na solução do problema dos momentos trigonométricos para obter a representação integral de um operador unitárioU em um espaço de HilbertH no seguinte sentido: deseja-mos um operador linear limitado f(U), onde f é uma função cont´ınua no c´ırculo unitárioS¹ ={z∈ _C| |z|=1}, tal que

hψ, f(U)ϕi = Z _2π

0 f(e^it)dσ[ψ,ϕ](t), ∀ψ,ϕ∈_H

para uma função de variação limitadaσ[ψ,ϕ] ∈ BV([0, 2π]). Tal função será obtida usando o teorema de representação de Riesz demonstrado na seção anterior.

Começamos por relembrar que, seU : H → _H é um operador unitário, entãoU

´e invers´ıvel eU⁻¹ =U^∗, ou seja,

hψ,Uϕi=hU⁻¹ψ,ϕi para todoψ,ϕ∈ _H .

Sejaψ∈_H fixado. DenotandoU^k como ak-´esima potˆencia deU, seja

c_k =hψ,U^kψi ,∀k ∈ _Z. (5.1) Ent˜ao

c_k =hψ,U^kψi =hU^kψ,ψi =hψ,U⁻^kψi =c−k

para todokinteiro.

Teorema 5.1 Seja U um operador unitário em um espa¸co de HilbertH . Então para cada ψ∈ _H existe uma única medida de Radonµ[_ψ]em C([0, 2π])tal que

µ[_ψ](_e^ik^(·)) =_c_k _, ∀_k ∈_Z_. _(5.2)

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

Demonstra¸c˜ao:Sejamc_kdefinidos por (5.1) para todokinteiro. Seja ainda Φn(t) =

∑

n k=−n

1−|_k| n

c_ke⁻^ikt, (5.3)

definida para todot ∈_Re para todoninteiro. Definindo Tn =₁+e⁻^itU+e⁻^2itU²+· · ·+e⁻⁽ⁿ⁻¹⁾^itUⁿ⁻¹=

n−1 r

∑

e⁻^irtU^r,

ent˜ao

hT_n−1ψ,T_n−1ψi=

n−1 r,s

∑

=₀

e⁻ⁱ⁽^s⁻^r⁾^thU^rψ,U^sψi =

n−1 r,s

∑

=₀

e⁻ⁱ⁽^s⁻^r⁾^thψ,U^s⁻^rψi

∑

n k=−n

eîkt(n− |k|)hψ,U^kψi, usando o fato queU é unitário e fazendo a mudança de variávelk = r−sna soma dupla acima. Do cálculo acima conclu´ımos que

Φn(t) = ¹

nhT_n−1ψ,T_n−1ψi= ¹

nkT_n−1ψk² ≥₀

para todo n inteiro e para todo t ∈ R, de modo que, pelo teorema de F´ejer dual (teorema 3.3), existe uma ´unica medida de Radonµ[_ψ]_emC([_{0, 2π}])_{tal que}

µ[ψ](e^ik^(·)) =ck (5.4)

para todokinteiro.

Relembremos brevemente af órmula de polariza¸cãoque permite obter uma forma sesquilinear hermiteanaΩ: H ×_H →_Ca partir de uma forma quadrática hermi-teanaq : H →C. De maneira expl´ıcita,

Ω(ψ,ϕ) = ¹

2[q(_ψ+_ϕ)−q(_ψ−_ϕ) +iq(_ψ−iϕ)−i(_ψ+iϕ)] (5.5) para todoψ,ϕ∈ _H . Ainda mais,Ω ´e tal queΩ(ψ,ψ) =q(ψ)para todoψ∈ _H .

Sejaµ[ψ]a medida de Radon obtida no teorema anterior. Comoc_k =hψ,U^kψipara todokinteiro eU é um operador unitário, entãoµ[ψ] define uma forma quadrática hermiteana emH , de modo que pela f órmula de polarização (5.5), podemos obter uma forma sesquilinear hermiteana limitada (poisU é unitário) µ[ψ,ϕ]emH . Por

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

construção,µ[ψ,ϕ] é uma medida de Radon emC([0, 2π])eµ[ψ,ψ] = _µ[_ψ]. Como consequência disso e do teorema 2.13 temos:

Corolário 5.2 Seja U um operador unitário em um espa¸co de HilbertH . Então para cada f ∈ C(_S¹), existe um único operador linear limitado, denotado por f(U), tal que

µ[ψ,ϕ](f) = hψ, f(U)ϕi, ∀ψ,ϕ∈_H . (5.6) Observamos que se f ∈ C(_S¹), entãot 7→ f(eît) é uma função cont´ınua em[0, 2π] com f(0) = f(2π). Uma segunda consequência do teorema 5.1 é:

Corolário 5.3 Seja U um operador unitário em um espa¸co de HilbertH . Então para cada ψ,ϕ ∈ _H e para cada f ∈ C(_S¹) existe uma única fun¸cão de varia¸cão limitadaσ[ψ,ϕ] ∈ BV([0, 2π])cont´ınua por baixo tal que

hψ, f(U)ϕi = Z _2π

0 f(eît)dσ[ψ,ϕ](t). (5.7) Demonstra¸cão: Dadosψ,ϕ ∈ _H e dada f ∈ C(_S¹), o corolário anterior mostra que existe um único operador linear limitado f(U)tal que

µ[ψ,ϕ](f) =hψ, f(U)ϕi,

onde µ[ψ,ϕ] é uma medida de Radon em C([0, 2π]). Logo, o teorema de representação de Riesz, teorema 4.15, garante que existe uma única função de variação limitada cont´ınua por baixo, denotada porσ[ψ,ϕ], tal que

µ[ψ,ϕ](f) = Z _2π

0 f(e^it)dσ[ψ,ϕ](t),

como desejado.

Em particular, podemos concluir que para cada ψ ∈ _H existe uma função de variação limitadaσ[ψ] = σ[ψ,ψ]– na notação do teorema anterior – tal que

hψ,U^kψi = Z _2π

0 e^iktdσ[ψ](t), (5.8) para todokinteiro.

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

Resoluc¸ ˜oes de unidade

Defini¸cão 5.4 Umaresoluç ão de unidadeem um espa¸co de HilbertH é uma fam´ılia de proje¸cões ortogonais(Et)_t_∈_Rtal que:

1. EtEs =EsEt = Et, ∀t ≤s.

2. Se s %t, então Esψ→Etψpara todoψ∈ _H . 3. Se t →∞, então Etψ→ψpara todoψ∈ _H. 4. Se t → −∞, então Etψ →0para todoψ∈ _H.

Seja(_E_t)_t_∈_Ruma resolução de unidade. A condição 2 nos dá que a aplicaçãot 7→_E_t

é fortemente cont´ınua por baixo e as condiç ões 3 e 4 garantem que limt→∞Et = ₁ e limt→−_∞Et = 0 no sentido da convergência forte de operadores lineares emH . Denotamos

E((a,b]) =E_b−Ea, E([a,b)) =E_b⁺ −Ea , E((a,b)) =E_b⁺ −E_a⁺ , E([a,b]) =E_b−E_a⁺ , E({a}) = Ea−E_a⁺ ,

com a convenção E(+_∞) = ₁ e E(−_∞) = 0, E_a⁺ = lim_t&aEt e E_a⁻ = lim_t%aEt. Observamos que o limite operatorialE_a⁺ sempre existe mas não necessariamente é igual aEa.

Desejamos mostrar nesta seção, que é poss´ıvel construir uma resolução de unidade em um espaço de HilbertH a partir de um operador unitário U em H . No Teo-rema 5.3 da seção anterior, obtivemos uma única função de variação limitadaσ[_ψ,_ϕ] definida em[0, 2π]tal que, para cada f ∈ C(_S¹),

h_ψ, _f(U)ϕi = Z _2π

0 f(e^it)dσ[ψ,ϕ](t). Em particular,

hψ,U^kϕi= Z _2π

0 eîktdσ[ψ,ϕ](t), (5.9) para cadakinteiro. Tal função possui a seguinte propriedade:

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

Proposi¸cão 5.5 Sejaσ[ψ,ϕ]a fun¸cão de varia¸cão limitada em[0, 2π]como no teorema 5.3.

Ent˜ao, para cada t∈ [0, 2π], a fun¸c˜aoσ[ψ,ϕ](t)define uma forma sesquilinear hermiteana emH .

Demonstra¸c˜ao:Como Z _2π

0 e^iktdσ[ψ,ϕ₁+ϕ2](t) = hψ,U^k(ϕ₁+ϕ2)i =hψ,U^kψ₁i+hψ,U^kψ2i

= Z _2π

0 e^iktdσ[ψ,ϕ1](t) + Z _2π

0 eîktdσ[ψ,ϕ2](t), então, por unicidade da funçãoσ[ψ,ϕ]na representação (5.7), temos que

σ[ψ,ϕ₁+ϕ2](t) = σ[ψ,ϕ₁](t) +σ[ψ,ϕ2](t) (5.10) para todot∈ [0, 2π]. Ainda, para qualquer escalara∈ _C,

Z _2π

0 e^iktdσ[_ψ,aϕ](t) = h_ψ,U^k(aϕ)i =ah_ψ,U^kϕi =a Z _2π

0 eîktdσ[_ψ,_ϕ](t)_, de modo que, novamente por unicidade da funçãoσ[ψ,ϕ], temos que

σ[ψ,aϕ](t) = aσ[ψ,ϕ](t) (5.11) para todot∈ [0, 2π]e para todoa∈ C. Finalmente, como

Z _2π

0 e^iktdσ[ψ,ϕ](t) = hψ,U^kϕi =hϕ,U⁻^kψi= Z _2π

0 e^iktdσ[ϕ,ψ](t), (5.12) ent˜ao

σ[ϕ,ψ](t) = σ[ψ,ϕ](t) (5.13) para todot ∈ [0, 2π]. Assim,σ[ψ,ϕ](t) ´e uma forma sesquilinear emH , para cada t.

Para mostrar que esta forma sesquilinear é limitada, notamos que, comoσ[ψ,ϕ] é uma função crescente (pois é uma função de variação limitada) e σ[ψ,ϕ](0) = 0, então para todo 0≤t≤2π,

0≤σ[ψ,ψ](t) ≤σ[ψ,ψ](2π) = Z _2π

0 dσ[ψ,ψ](t) = hψ,U⁰ψi =kψk². Da´ı, decorre queσ[ψ,ϕ] é limitada pela seguinte observação:

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

Afirma¸cão 5.5.1 Se Ω : (ψ,ϕ) 7→ _ω(ψ,ϕ) é uma forma sesquilinear em um espaço de HilbertH tal que existe uma constanteC >0 para a qual

|_Ω(ψ,ψ)| ≤ Ck_ψk² (5.14)

para todoψ∈ _H_{, ent˜ao}_ω ´e limitada.

Demonstra¸cão:(afirmação) Como Ω(ψ,ξ) +_Ω(ξ,ψ) = ¹

2[_Ω(ψ+ξ,ψ+ξ)−_Ω(ψ−ξ,ψ−ξ)]

ent˜ao

|_Ω(ψ,ξ) +_Ω(ψ,ξ)| ≤ ¹

2C(kψ+ξk²+kψ−ξk²) = C(kψk²+kξk²). Da´ı, tomandoψtal quekψk ≤1 eξ = aϕ, ondea ∈_Ce|a|=1,kϕk ≤1, ent˜ao

|_Ω(ψ,aϕ) +_Ω(aϕ,ψ)|=|_aΩ(ψ,ϕ) +_aΩ(ϕ,ψ)| ≤2C, e seΩ(_ψ,_ϕ) 6=0, escrevendo

Ω(ψ,ϕ) = |_Ω(ψ,ϕ)|e^iα, α ∈_R e

Ω(ϕ,ψ) = |_Ω(ψ,ϕ)|e^iβ , β∈_R, ent˜ao

|_Ω(_ψ,_ϕ)| |aeîα+aeîβ| ≤2C. Tomandoa=eⁱ^β−α² , então

ae^iα+ae^iβ =2eⁱ^β−α² , de onde

|_Ω(ψ,ϕ)| ≤ C,

para todoψ,ϕ∈ _H tais quekψk,kϕk ≤ 1, e portantoΩ ´e limitada.

Pela afirmação anterior aplicada à forma sesquilinear σ[ψ,ϕ](t), conclu´ımos a

prova.

Comoσ[ψ,ϕ](t) ´e uma forma sesquilinear hermiteana para cadat, obtemos ent˜ao,

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

pelo teorema 2.13, um ´unico operador linear limitadoEt emH tal que

σ[ψ,ϕ](t) = hψ,Etϕi, (5.15) para cadat ∈ [_{0, 2π}]_.

Com isso, podemos mostrar:

Teorema 5.6 Se U é um operador linear unitário em um espa¸co de Hilbert H, então a fam´ılia de operadores lineares(Et)_t_∈[_0,2π_] definida em (5.15) é uma resolu¸cão de unidade em H tal que

hψ,U^kϕi = Z _2π

0 e^iktdhψ,Etϕi (5.16) para todoψ,ϕ∈ _H e para todo k ∈_Z.

Demonstra¸c˜ao:Pelo Teorema 5.3, hψ,U^kϕi =

Z _2π

0 e^iktdσ[ψ,ϕ](t) para cadakinteiro. Colocandoψ =U⁻^rξ, ent˜ao

hU⁻^rξ,U^kϕi= Z _2π

0 e^iktdσ[U⁻^rξ,ϕ](t), o que implica

hξ,U^k⁺^rϕi= Z _2π

0 e^iktdσ[ξ,U^rϕ](t), (5.17) usando o fato queσ[ψ,ϕ](t) ´e uma forma sesquilinear hermiteana para cadat.

Por outro lado,

σ[U⁻^rξ,ϕ](t) =hU⁻^rξ,Etϕi=hξ,U^rEtϕi = Z _2π

0 e^iksdσ[ξ,Etϕ](s), (5.18) e ent˜ao

σ[ξ,Etϕ](s) = hξ,EsEtϕi (5.19) para todost,s ∈ [0, 2π]coms≤t. Mais ainda,

hξ,U^k⁺^rϕi = Z _2π

0 eⁱ⁽^k⁺^r⁾^tdσ[ξ,ϕ](t), (5.20) de modo que, usando a unicidade da funçãoσ[ξ,ϕ], conclu´ımos das equaç ões (5.17),

5. Teorema espectral: operadores unit´arios (5.19) e (5.20) que

hξ,Etϕi =hξ,EsEtϕi para todost,s ∈ [0, 2π]tais quet≤s. Em particular,

E²_t =Et ,

de modo que(Et)_t é uma fam´ılia de projeç ões ortogonais satisfazendo à propriedade 1 de uma resolução de unidade.

A partir de (5.15) notamos de maneira imediata que E0 = 0 e E2π = ₁ e, como a função de variação limitadaσ[ψ,ϕ]é cont´ınua por baixo – pelo corolário 5.3 – então, para todoψ,ϕ∈ _H

lims%thψ,Esϕi =hψ,Etϕi, de modo que

lims%tEs =Et

no sentido da convergência forte de operadores em H, o que conclui a demonstração de que a fam´ılia (Et)_t_∈[_0,2π_] definida em 5.15 é uma resolução

de unidade.

A representação espectral de um operador unitário

Nesta seção desejamos definir a integral de Riemann-Stieltjes com relação a uma resolução de unidade(Et)_t_∈_R como um operador linearRb

a f(t)dEt para todo inter-valo [a,b] ⊂ _Re para toda função cont´ınua f : R → C. Este resultado permitirá obter a chamadaresolu¸cão espectralde um operador unitário.

Iniciamos por mostrar algumas propriedades elementares de uma resoluc¸˜ao de unidade:

Proposi¸cão 5.7 Seja(Et)_t∈_Ruma resolu¸cão de unidade em um espa¸co de HilbertH . 1. Se t ≤s, então Es−_E_t é uma proje¸cão ortogonal.

2. Se t1 ≤t2 ≤t3 ≤t4, ent˜ao

(Et2 −Et₁)(Et₄−Et3) = (Et₄−Et3)(Et2−Et₁) = 0 . 3. Se t₁ <t2 <t3 <t₄, ent˜ao

hψ,(Et₃−Et₁)_ψi =k(Et₃ −Et₁)_ψk² =k(Et₃−Et₂)_ψk²+k(Et₂−Et₁)_ψk².

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

4. Para cadaψ∈_H , a fun¸c˜ao t 7→ hψ,Etψi´e crescente e limitada pork_ψk².

5. Para todo ψ,ϕ ∈ _H, a fun¸cão σ[_ϕ,_ψ] _: t 7→ h_ϕ,Etψi é cont´ınua por baixo e de varia¸cão limitada em cada intervalo[a,b] ⊂_Rcom V_a^b(_σ[ϕ,ψ] [a,b]) ≤ k_ϕk k_ψk. Demonstra¸cão:

1: Dadas duas projeç ões ortogonaisP eQ, tem-se que P−Q é uma projeção orto-gonal se e somente se PQ = QP = Q. Logo, a propriedade desejada decorre da propriedade 1 para resoluç ões de unidade.

2: Decorre imediamente de aplicar sucessivamente 1.

3: ComoEt₃ −Et₁ é uma projeção ortogonal por 1, então

k(Et3−Et2)ψk² =hψ,(Et3 −Et₁)ψi=hψ,(Et3 −Et2)ψi+hψ,(Et2−Et₁)ψi

=k(Et₃−Et₁)ψk²+k(Et₂−Et₁)ψk².

4: Set ≤s, ent˜ao

kEtψk² =hψ,Etψi ≤ hψ,Esψi =kEsψk², ∀ ∈_H , poisEt eEs são projeç ões ortogonais eEtEs =Et. Ainda mais,

k_E_t_ψk² ≤ k_E_tk²k_ψk² ≤ k_ψk²_, ∀_ψ∈ _H _.

5: Sejam fixadosψ,ϕ ∈ _H e seja[a,b] ⊂R. Então para cada partiçãoa =t0 ≤ t1 ≤

· · · ≤ tn =bde[a,b]tem-se

∑

n j=1

|σ[ϕ,ψ](tj)−σ[ϕ,ψ](tj−1)|=

∑

n j=1

|hϕ,(Et_j−Etj−1)ψi|

∑

n j=1

|h(Et_j−Et_j−1)ϕ,(Et_j−Et_j−1)_ψi|

≤

∑

n j=1

k(Et_j−Etj−1)ϕk k(Et_j−Etj−1)ψk

≤

∑

n j=1

k(Et_j −Et_j−1)_ϕk²

!¹₂ _n

∑

k(Et_j−Et_j−1)_ψk²

!¹₂

=k(E_b−Ea)ϕk k(E_b−Ea)ψk ≤ kϕk kψk,

usando 3 e a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

é poss´ıvel mostrar que (ver e.g. o Teorema 12.3, pp. 191-192 de 2 para uma prova) Proposi¸cão 5.9 O fecho de T([a,b])em B([a,b])é o subespa¸co das fun¸cões f ∈ B([a,b]) tais que f(x⁺) existe para todo a ≤ x < b e f(x⁻) existe para todo a < x ≤ b. Em particular, C([a,b]) ⊂I([a,b]).

Se f = _∑ⁿ_j₌₁cjχj é uma função escada em um intervalo [a,b] e (Et)_t∈_R é uma resolução de unidade em um espaço de HilbertH, definimos

Z _b

a f(t)dEt =

∑

n j=1

cj(Et_j−Etj−1). (5.21) Usando a propriedade 1 de resoluç ões de unidade é imediato mostrar que tal definição não depende da representação escolhida para a função f, de modo que fica bem definido um funcional linear f 7→ R_b

a f(t)dEt de T([a,b]) em C que ´e limitado, pois para todoψ∈ _H

Assim, pelo teorema BLT 2.22, tal funcional possui uma ´unica extens˜ao cont´ınua para o fecho I([a,b])deT([a,b]), denotada por

Z _b

a f(t)dEt , ∀f ∈ I([a,b]). (5.22) Em particular, tal operador linear limitado em H é definido para toda função cont´ınua f : [a,b] ⊂_R→_C.

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

Observa¸cão 5.10 A constru¸cão acima permite obter uma constru¸cão alternativa da integral de Riemann-Stieltjes em rela¸cão a uma fun¸cão de varia¸cão limitada α ∈ BV([a,b]): se

f =_∑ⁿ_j₌₁c_jχ_j é uma fun¸cão escada na nota¸cão acima, então podemos definir de unidade, o funcional linear limitado acima pode ser unicamente estendido para o fecho de T([a,b])que contém C([a,b]), permitindo assim definir alternativamente a integral de Riemann-Stieltjes já apresentada na se¸cão anterior.

Do fato que podemos definir o operador 5.22 como o limite forte de 5.21 aproxi-mando f por func¸ ˜oes escada, decorrem as seguintes propriedades:

Proposi¸cão 5.11 Seja(Et)_t uma resolu¸cão de unidade em um espa¸co de HilbertH . Então para toda f,g∈ I([a,b]), tem-se: então basta mostrar o caso em que f é uma função escada e notar queRb

a f(t)dEt é o limite forte de 5.21 na aproximação por essas funç ões. Mas se f = _∑ⁿ_j₌₁cjχj é uma

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

2: Pela continuidade por cima de uma resolução de unidade, novamente basta mostrar o caso em que f é uma função escada f =_∑ⁿ_j₌₁c_jχ_j. Neste caso, para cada

3: Imediato para func¸ ˜oes escada.

4: Como a aplicação A7→ A^∗ é cont´ınua (na topologia fraca) (ver Teorema VI.3 de 4), então basta novamente mostrar o caso em que f =_∑ⁿ_j₌₁cjχjé uma função escada e tomar o limite nas seminormas

kTk_ψ,_ϕ =hψ,Aϕi,

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

para todoAemH limitado. Para uma função escada f tem-se então que

o que mostra este caso, pela unicidade do adjunto de um operador limitado.

5: Combinando 1, 3 e 4, temos Usando os resultados desta seção, obtemos então a seguinte versão do teorema 5.6:

Teorema 5.12 (teorema espectral para operadores unitários) Seja U um operador unitário em um espa¸co de Hilbert H. Então existe uma única resolu¸cão de unidade (Et)_t_∈[_0,2π_] tal que, para toda f ∈ C(_S¹) Demonstra¸cão: O teorema 5.6 nos garante a existência de uma única resolução de unidade(Et)_t_∈[_0,2π_]para um operador unitárioUtal que, para todoψ,ϕ∈ _H e para

5. Teorema espectral: operadores unit´arios

a representac¸˜ao 5.23.

No documento Teorema Espectral para Operadores Lineares Auto-Adjuntos: Uma Abordagem Trigonométrica (páginas 37-51)