Em 1946, Dennis Gabor adaptou a TF com uma técnica chamada de janelamento do sinal. A adaptação de Gabor, conhecida como transformada de Fourier com janelamento (TFJ), coloca o sinal em uma função de duas dimensões: tempo e freqüência (SARKAR; SU, 1998). A transformada de Fourier com janelamento, semelhante à transformada de Fourier, possui uma versão contínua e discreta, que serão vistas a seguir.
7.3.1 Transformada Contínua de Fourier com Janelamento
A TFJ é uma extensão da definição da TF. Na TF, a análise é realizada ao longo de todo sinal, visto que as freqüências são assumidas fixas para todo o período avaliado. Já na TFJ, o sinal é dividido em regiões e aplica-se a TF a cada uma destas regiões.
Para o caso de sinais não-estacionários, a TFJ simplesmente usa a TF para cada segmento de tempo janelado de modo apropriado. A TFJ calcula primeiro a TF dos segmentos de tempo individualmente e então combina linearmente os resultados.
A TFJ (S ), na sua versão contínua, é obtida a partir da seguinte equação (HLAWATSCH; BOURDREAUX-BARTELS, 1992): Snx(t′) ∗φ(t′−t)o= X(t, f ) = Z ∞ −∞x(t ′)θ∗(t′−t)e− j 2πf t′dt′ (92) e a sua inversa (S−1): S−1nX(t, f )o= x(t′)φ(t′−t) = e−2πf t Z ∞ −∞X( f ′)Φ∗( f′− f )ej 2πf td f′ (93) onde: θ é uma função de janelamento e Φ é a sua respectiva TF. Pode-se observar que a função de janelamento está deslocada de t unidades de tempo.
A função S( . ) pode ser vista como a TF do sinal x(t′) previamente limitada por uma função de janelamento φ(t′) ao longo do tempo t. Este método assume que o sinal x(t′) é estacionário dentro da janela limitada φ(t′). Uma função de janelamento muito utilizada é a função gaussiana.
Dado um x(t) real, a TFJ geralmente é um sinal complexo. A definição do espectro da TFJ é basicamente a mesma vista para a transformada de Fourier, exceto pela presença da função de janelamentoφ(t).
Pela definição da TFJ, vê-se que ela é altamente influenciada pelas características da fun-ção de janelamento. Para se obter uma boa resolufun-ção temporal, é necessário que a janelaφ(t) seja estreita em torno do instante de interesse. Contudo, procedendo assim, se obtém pouca resolução espectral.
Em contrapartida, para se obter uma boa resolução espectral, é preciso que a janela seja estreita no domínio freqüência. Como conseqüência, a resolução temporal fica prejudicada. Assim, não é possível se ter, ao mesmo tempo, uma alta resolução espectral e temporal, pois não existe uma janela que seja ao mesmo tempo estreita no domínio do tempo e da freqüência. 7.3.2 Transformada Discreta de Fourier com Janelamento
A transformada discreta de Fourier com janelamento (D ) é dada pela seguinte equação: Dnx[n] ∗φ[n −β]o= X 2π N k = ∞
∑
n=−∞x[n]φ[n −β] e− j2Nπn k (94) e a sua inversa (D−1): D−1 X 2π N k = x[n]φ[n −β] = 1 2π Z 2π 0 X 2π N k ej2Nπn kdω (95) onde: N é o número de amostras e k, β e n∈ N são os índices de amostragem, com k, n eβ = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Assim, a transformada discreta de Fourier com janelamento também é
A magnitude da transformada discreta de Fourier com janelamento (TDFJ) representa as amplitudes das componentes espectrais nas freqüências discretizadas do sinal de entrada x[n]. A TDFJ mapeia o sinal em duas dimensões: tempo e freqüência e apresenta um compro-misso temporal e espectral do sinal analisado.
Os gráficos obtidos pela TDFJ costumam ter representada a variável tempo nas abscissas, a variável freqüência nas ordenadas, e amplitude do módulo ou fase como uma escala de cinza ou cores, conhecido como espectrograma (LATHI, 1998).
A Fig. 81 apresenta um exemplo (obtido a partir do Matlab) do uso da transformada de Fourier com janelamento onde se pode observar um sinal senoidal, x(t)4, e o seu respectivo espectrograma. 0 2 4 6 8 10 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 x( t) Tempo [s] a) 0 2 4 6 8 10 0 50 100 150 200 250 F re q ü ên ci a [H z] Tempo[s] b)
Figura 81: Exemplo do uso da TDFJ: a) sinal e b) espectrograma.
7.3.3 Utilidade da Transformada de Fourier com Janelamento
Visto que a TFJ fornece uma informação temporal e espectral, esta análise é aplicável para sinais altamente não estacionários que podem envolver diversas situações e comportamentos transitórios, como um torno mecânico, uma prensa, ou um motor (LEE et al., 2006).
7.3.4 Desvantagens da Transformada de Fourier com Janelamento
Em certas circunstâncias, quando um sinal apresenta diversas componentes de freqüência em um pequeno intervalo de tempo, faz-se necessário uma maior definição temporal.
Por outro lado, quando se observa mudanças infinitesimais de freqüência em um sinal, como os observados nos sistemas de controle, ou aqueles vistos na área médica, uma maior resolução da freqüência é desejada.
A transformada de Fourier com janelamento apresenta um compromisso entre a resolução temporal e a resolução espectral, fornecendo a informação de quando e em qual freqüência ocorre um determinado evento no sinal.
Este compromisso existente entre a resolução em freqüência e a duração temporal da ja-nela pode ser descrito pelo princípio da incerteza, ou equação de Heisenberg aplicado à análise de sinais. A equação de Heisenberg é dada por:
∆t∆f ≥ 41π (96)
onde: ∆t é a duração da janela e∆f é a resolução em freqüência (KAISER, 1994).
A informação sobre a freqüência tem precisão limitada pelo tamanho da janela temporal. Uma vez escolhido o tamanho da janela∆t, este será o mesmo para todas as freqüências. Um
exemplo da divisão do sinal em células de resolução é visto na Fig. 82.
Tempo [s] Freqüência [Hz]
∆t
∆f
Figura 82: Representação das células de resolução∆t e∆f para a TFJ.
Além disso, a resolução temporal e a resolução espectral são dependentes do tamanho e da forma da janela utilizadaφ[n −β]. Ambas variáveis são constantes durante a análise da TFJ, logo, não é possível alternar a precisão temporal e/ou espectral da transformada. Isto torna a varredura do espectro de freqüências uniforme, como visto na Fig. 83, onde f0é a freqüência fundamental de um sinal.
Uma janela muito estreita resulta em uma boa identificação temporal de eventos transi-entes, mas ao mesmo tempo tem associado um espectro de baixa resolução, o que reduz a resolução entre as freqüências próximas (CROVATO, 2004).
Já com uma janela larga, se obtém uma baixa identificação temporal de eventos e uma melhor identificação de freqüências adjacentes.
Assim, a análise de transitórios eletromagnéticos em alguns sistemas, por exemplo, com esta configuração de janela, usando este método, não é recomendada.
Uma solução usualmente utilizada para resolver esta questão é escrever um sinal x(t) como uma soma de funções que podem sofrer dilatação tanto no tempo quanto em freqüência que permite avaliar a evolução temporal das freqüências de baixa e alta duração. Esta técnica é conhecida como transformada wavelet e será vista a seguir.
Por fim, cabe dizer que há várias formas de se programar a TDFJ. O IMS Center, por exemplo, programa a TDFJ de um modo um pouco diferente: ao invés de se utilizar os coe-ficientes resultantes da TDFJ como base para obter a assinatura característica do sinal, utiliza uma distribuição da energia do sinal no plano tempo-freqüência.
f0 2 f0 3 f0 4 f0 Freqüência [Hz]
Figura 83: Varredura do espectro de freqüências através da TDFJ.
Há diversas distribuições deste tipo (Wigner-Ville e Cohen, por exemplo), cada uma com suas propriedades únicas. O IMS Center, por exemplo, opta por utilizar a classe de distri-buições conhecida como Cohen. A distribuição Cohen, por sua característica de covariância no tempo e na freqüência, permite deslocar a distribuição no tempo e na freqüência de modo proporcional. Caso o sinal tenha um atraso e seja modulado, a distribuição será deslocada no tempo e na freqüência proporcionalmente ao atraso (AUGER et al., 1996; COHEN, 1995).