A condução de calor numa substância é o fenómeno segundo o qual o calor é transferido das regiões de alta temperatura para as regiões de baixa temperatura. A taxa a que o calor é transferido por condução ( ̇cond) através de uma camada de espessura constante Δx é directamente proporcional à diferença de temperatura ΔT através da camada e da área A, normal na direcção da transferência de calor, e é inversamente proporcional à espessura da camada, podendo ser exposto pela expressão:
̇
[6]
onde a constante de proporcionalidade λ, representa a condutividade térmica do material. (Çengel & Boles, 2007)
A difusividade térmica (α) indica como o calor se difunde através de uma material; depende, por um lado, da condutividade (λ) ou da velocidade de condução da energia
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térmica no interior do material e, por outro, do calor específico (CP) ou da quantidade de energia térmica necessária para aumentar a temperatura de determinado volume do material.
[7]
Uma das maneiras de obter as propriedades térmicas de um material é conhecida como método transiente (ou método TPS), onde se assume que inicialmente a amostra está em equilíbrio térmico com a atmosfera envolvente.
O método TPS é usado para medições de condutividade térmica e difusividade térmica em sólidos e fluidos, numa vasta gama de temperaturas (desde 77K até aos 1073K). A condutividade térmica pode ser medida entre valores compreendidos entre 0,005 até 500 W/m.K. (Anis-ur-Rehman & Maqsood, 2003). As medições são realizadas colocando o sensor entre duas amostras do mesmo material. As superfícies das amostras devem estar planas, de modo a limitar a resistência de contacto entre o sensor e a superfície. Durante o ensaio experimental o sensor actua como fonte de calor (resistência) e como sensor de temperatura. Ou seja, a corrente eléctrica passa através da resistência, aumentando a temperatura; este calor gerado dissipa-se através da amostra a uma taxa dependente das características térmicas do material.
Nos próximos pontos é exposto o modelo teórico e prático deste método. Esses modelos foram baseados nos trabalhos de Canel, Pedrot, & Threhard (2011), Guinart (2010) e de Huang & Liu (2009).
2. 1. Descrição do modelo teórico
O calor na superfície do sensor é regulada pela equação do calor, com o elemento de 3D variável activo:
̇
[8]
Para uma fonte de calor em forma de quadrado, a mudança na temperatura do plano é função do tempo e pode ser calculada a partir de (Gustafsson, 1991 citado por Huang & Liu, , 2009):
( ) ( )
70 sendo:
( ) ∫ { ( )
√[ ( )]} [10]
√ ( )
[11]
onde: T temperatura [ºC] To temperatura inicial [ºC] P potência média total aplicada à resistência [W]
L metade do comprimento e da largura da resistência [m] λ condutividade térmica [W/mK] τ tempo adimensional variável de integração τ tempo adimensional α difusividade térmica [m2/s] t tempo [s]
t0 tempo de correcção para a condutividade térmica [s].
Aparentemente, ΔT (τ) é uma função linear de H(τ), e o declive da recta pode ser usada para calcular a condutividade térmica da amostra. Importa notar que este método apenas é válido se o meio for semi-infinito. Para o meio ser considerado semi-infinito, deve-se calcular o ΔP através da equação [12], que é a distância mínima entre a resistência e os limites da amostra como esquematiza a Figura 6.1.
( ) [12]
Figura 6.1 – Esquema de um meio semi-infinito
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2. 2. Procedimento Experimental
A base do procedimento utilizado inicia-se com a preparação da mistura de cimento, seguindo a mesma metodologia usada anteriormente. Quando o cimento estiver misturado homogeneamente é transferido para um molde com a ajuda de uma espátula de madeira. Com o molde cheio e enquanto o cimento não endurece coloca-se uma termoresistência no manto do cimento. Neste trabalho usou-se uma termoresistência da marca Vishay Precision Group - Micro-Measurements, modelo WWT-TG-W200B-050, com uma resistência em níquel e um isolamento na superfície de Kapton (que permite a sua utilização em líquidos). A resistência normal da RTD é de 50 Ω a 24ºC. As dimensões do sensor são as representadas na Figura 6.2.
Figura 6.2 – Sensor WWT-TG-W200B-050 da Vishay
Para medição das variações de tensão na resistência do sensor RTD foi construída uma
Ponte de Wheatstone, equilibrada a 1/4 de Ponte, que amplifica a tensão; constituída por
3 resistências idênticas com valor de 50±0,001 Ω e pelo sensor RTD. A Figura 6.3 ilustra a Ponte de Wheatstone e na Figura 6.4 pode ser visualizado o equipamento utilizado.
Figura 6.3 – Esquema da Ponte de Wheatstone 5,08mm 5, 08 m m Espessura: 0,3mm
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Figura 6.4 – Material utilizado para o método TPS
Os testes experimentais foram executados 24 horas após o endurecimento do cimento ósseo. Ambas as tensões de entrada e de saída da Ponte de Wheatstone foram continuamente medidas através de sistema de aquisição de dados fornecido pela Agilent
Technologies, Modelo 34972, e com o software BenchLink Data Logger fornecido pela
mesma empresa. Neste procedimento, variando a tensão de entrada e obtendo a tensão de saída calcula-se o valor da resistência do sensor pela relação (Huang & Liu, 2009):
( )
[13]
onde R0 é a resistência nominal do sensor RTD (50Ω a 24ºC), Ventrada a tensão de entrada e Vsaída a tensão de saída da Ponte de Wheatstone [V]. Ao valor calculado da resistência será subtraído o valor da resistência a corrigir (Rcor), que assumiu 0,4Ω no nosso caso. Os dados recolhidos são pós-processados numa folha de cálculo, sendo filtrados os dados desnecessários, em particular os valores finais. De facto, este método é baseado na evolução da temperatura em regime transitório, e deste modo quando o sistema fica estável, significa que a medição está concluída.A expressão que exprime a temperatura em função da resistência medida é fornecida pelo fabricante do sensor (Huang & Liu, 2009):
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Na Tabela 6.1 encontra-se um exemplo (para uma tensão de entrada de 2V) do tratamento de dados que foi efectuado para obter o valor da temperatura em função da resistência pela equação [14].
Tabela 6.1 – Tratamento de dados realizado no método TPS
Tempo Tensão de Entrada Tensão de Saída Resistência R corregida T=f(R)
[s] [V] [V] [Ω] [Ω] [ºC] 0 2,00 0,07009 57,54 57,14 50,0 0,115 2,00 0,07016 57,55 57,15 50,0 0,23 2,00 0,07023 57,56 57,16 50,1 0,345 2,00 0,07029 57,57 57,17 50,1 0,46 2,00 0,07034 57,57 57,17 50,1 0,575 2,00 0,07040 57,58 57,18 50,1 0,69 2,00 0,07045 57,59 57,19 50,1 0,805 2,00 0,07050 57,59 57,19 50,2 0,92 2,00 0,07053 57,60 57,20 50,2 1,035 2,00 0,07057 57,60 57,20 50,2 1,15 2,00 0,07061 57,60 57,20 50,2 1,265 2,00 0,07064 57,61 57,21 50,2 1,38 2,00 0,07067 57,61 57,21 50,2 1,495 2,00 0,07070 57,61 57,21 50,2 [...]
Para determinar a condutividade e a difusividade térmica usando o método TPS, é necessário calcular o integral H(τ) na equação [10] baseado na resposta da temperatura durante o processo de medição. Este cálculo foi feito com recurso a um programa elaborado em Matlab (Anexo G), que a partir dos valores calculados da temperatura (ver Tabela 6.1), resolve o integral para todos os valores entre 0 e τ, exportando os dados de modo a obter a melhor regressão linear da função ΔT (τ) = f (H(τ)) (Figura 6.5. – curva azul). Para os vários valores de H (τ), é traçada uma curva de tendência linear passante por zero, até que o critério de convergência (R2) seja o melhor (Figura 6.5. – recta vermelha).
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Figura 6.5 – Gráfico da melhor regressão linear da função ΔT (τ) = f ( H(τ) ) O declive da recta representa o valor K, a colocar na expressão [15], obtendo-se o valor da condutividade térmica (λ):
√
[15]
A potência (P) é calculada através da multiplicação da tensão de entrada com a intensidade observada no amperímetro.
O valor da difusividade é obtido através do número de regressões lineares que foram precisas para encontrar a melhor regressão (Canel, Pedrot, & Threhard, 2011).
Após a obtenção destes valores torna-se possível relacioná-los com a massa volúmica (ρ) e obter o calor específico através da equação [7], para posterior comparação com os valores obtidos experimentalmente:
[16]
A massa volúmica do cimento ósseo foi obtida colocando o cimento já curado dentro de um provete graduado que continha água. O quociente entre a massa do cimento e a diferença do volume inicial com o volume final permite obter um valor de 1103,64 kg/m3 para a massa volúmica (valor médio das duas séries de cimento produzidos).
y = 3,1076x
R² = 0,9974
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3ΔT
[ºC]
H(τ)
ΔT (τ) = f ( H(τ) ) Linear (ΔT (τ) = f ( H(τ) ))CAPÍTULO 6
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2. 3. Condutividade e Difusividade Térmica – Resultados
As Tabela 6.2 e 6.3 apresentam os resultados obtidos pelo método TPS para as propriedades térmicas do cimento ósseo, quando este se encontra à temperatura ambiente e quando está num banho termo estatizado a 37ºC simulando o interior do corpo humano.
Tabela 6.2 – Resultados do método TPS (realizado à temperatura ambiente)
TENSÃO
(U) POTÊNCIA (P) CONDUTIVIDADE TÉRMICA (λ) DIFUSIVIDADE TÉRMICA (α)
CALOR ESPECÍFICO (Cp) [V] [W] [W/m.K] [m2/s] [J/kg.K] 2 0,018 0,33 1,8E-07 1684,56 3 0,041 0,27 1,2E-07 2072,32 4 0,073 0,29 1,3E-07 2090,69 5 0,112 0,29 1,0E-07 2699,40 6 0,162 0,31 1,4E-07 2040,40 7 0,218 0,27 7,0E-08 3526,13 8 0,281 0,30 1,8E-07 1545,89 Média 0,29 1,30E-07 2072,32
Desvio Padrão 0,02 4,02E-08 676,47
Tabela 6.3 – Resultados do método TPS (realizado a 37ºC)
TENSÃO
(U) POTÊNCIA (P) CONDUTIVIDADE TÉRMICA (λ) DIFUSIVIDADE TÉRMICA (α)
CALOR ESPECÍFICO (Cp) [V] [W] [W/m.K] [m2/s] [J/kg.K] 2 0,020 0,25 1,20E-07 1828,74 3 0,042 0,22 1,50E-07 1303,07 4 0,075 0,23 1,20E-07 1717,68 5 0,115 0,23 1,20E-07 1732,49 6 0,165 0,24 1,60E-07 1321,58 7 0,222 0,23 1,60E-07 1293,81 8 0,285 0,24 1,20E-07 1806,52 Média 0,23 1,20E-07 1717,68
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